考研数学公式大全(考研,)

高等数学公式篇

•平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

•积的关系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

・倒数关系：

tanacota=1

sinacsca=1

cosaseca=1,

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacos|3+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)

・辅助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

•倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

•半角公式：

sin(a/2)=±^'((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±\'((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±>/((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosaj/sina

・降耗公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

・万能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•积化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-P)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosacosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp="(1/2)[cos(a+3)-cos(a-p)]

•和差化积公式：

sina+sinP=2sin[(a+p)/2]cos[(a-P)/2]

sina-sinp=2cos[(a+0)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-|3)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

•推导公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

部分高等内容

[编辑本段]

•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!4-zA3/3!+zA4/4!-l-...-l-zAn/n!+…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

•三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y";y=y"",有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义•种类似的函数一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

导数公式:

(tgxS=sec2x(arcsinx\=一厂一”

Jl-

(ctgxY=-esc2x

(secx)'=secx・Egx(arccosx)'=——/

(escx)r=-escx•etgx

(arctgxY=1二

xx

(a\=alnal+x

(log“x)'=-^—/、，1

(arcctgx)=-------

xlnal+x7

基本积分表：

^tgxdx=-ln|cos从+C[=[sec2xdx=tgx+C

Jcosx,

Jctgxdx=ln|sinx|+C

j，=fcsc2xdx=-etgx+C

Jsecxdx=ln|secx+/gx|+CJsinx」

jsecx-tgxdx=secx+C

jcscxJx=ln|cscx-c^x|+C

jcscx•ctgxdx=一escx+C

dx

-2-=-arctg-^C

a+xaaaxdx=-^—+C

dx1,\xx-a\厂\na

—In------\+C

22

x-a2ax+ashxdx=chx+C

dx\a+x-

二——7=——Ixn+Cchxdx=shx+C

a-x2aa-x

=ln(x4-Vx2±a2)+C

兄

22

“=Jsin"xdx=Jcos"xdx

ln-2

00n

__________________2_________

[V%2+a2dx=-yjx1+a2+—ln(x+[x?+/)+C

J22

_________c2,_________

(J-122

-a------Inx+yjx-a+C

2

22-2矿,%人

^a-xdx=]—xH----arcsin—FC

2a

三角函数的有理式积分：

.2ul-u2x.2du

sinx=------z-,cosx=------n=tg-,dx-------T

l+w21+w221+w2

一些初等函数:两个重要极限:

「sinx1

双曲正弦：shx=-----------lim-------=I

2I。X

双曲余弦:chx=e—e—lim(l+-)x=e=2.718281828459045...

2,98X

双曲正切:血=啊=

chxe+e

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±ln(x+Vx2-1)

.1.1+x

artnx=一In------

三角函数公式:

­和差角公式:•和差化积公式：

.aC.a+〃oc-B

sin(a±〃)=sinacos0±cosasin0sin。+sinp=2sin.......-cos--------

2

cos(a±/?)=cosacos/工sinasin0

a+/3.a-/3

土为Jga±3sina-sinJ3-2cos------sin--------

tg(a22

l+tga-tg/36Z+Z3a-B

cosa+cos尸二=2cos--------cos------

,,。、ctga-ctgB+\

cts(a±。)=.一5P—22

ctgp±ctgac.a+P.oc—/3

cosa-cos£=-2sin-------sin--------

22

•倍角公式：

sin2a二-2sinacosa

2.2

cos2a-=2cos2a-1=l-2sin2a=cosa-sm~asin3a=3sina-4sin3a

ct2~a—Icos3a=4cos3。-3cosa

ctg2a-

2ctgatca—3tga匚g%

2tgal-3tg2a

tg2a-r2

iTg”

•半角公式:

a1—cosrr

sm^=±,

a.jh-cosa1-C0S6Zsinaal+cosa_l+cosasina

制2=±

1+cosasina1+cosal-cos6Zsinal-cosez

bc

•正弦定理：」一二-op,余弦定理：c~=a2+/cosC

sinAsin8sinC

JI71

•反三角函数性质：arcsinx=---arccosxarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

(­)(〃)

k=0

.•+〃（，—）…（〃4+l）w+…+MV（„）

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f'^)(b-a)

柯西中值定理:/⑵一」⑺

F(h)-F(a)F'C）

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=yji+y'2dx,其中〉/=fgtz

平均曲率去=4q.Aa:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

As

△ada_

M点的曲率:K=lim

AvfOAsds7（1+/2）3

直线：K=0;

半径为a的圆：K=L

a

定积分的近似计算:

b1

矩形法:］7（X”一+/+…+y“_1）

a

梯形法：］7（x）«竺（如+打）+M+…+y„-il

a〃2

b卜

抛物线法:J7（x）a丁。（%+%）+2（y2+>4+…+y-2）+4（%+%+…+y,,.,）］

J3〃

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力：F=pA

引力：”A写M为引力系数

函数的平均值:y一[f(x)dx

b-aJ

均方根:

1sl产⑴力

空间解析几何和向量代数:

222

空间2点的距离：d=\M{M2\=7(x2-x1)+(y2-y,)+a2-zl)

向量在轴上的投影:Pr/“薪曰呵际处湛扬加轴的夹角。

Pr/“（4+2）=Prja}+Prja2

ab=\a\-\b\cos0=ab+4/、,+a力一,是一个数量,

IiII•*Axyxj*•<•

ah+。力、,

两向量之间的夹角:cos。=AAryycz.

也」+42+/2.』b：+b：+b：

ijk

c-axh%ayaz，同=|同卡卜由夕例：线速度：v-wxr.

么么bz

%ay%

向量的混合积:区标]=(MxB)1=久byb.=1万x同洞cosa,a为锐角时,

c

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中”=｛4尻。｝,"。"。,凡“。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程―+，+工=1

abc

AB+czD

平面外任意一点到该平面的距离：dJ-^>l^\

^A2+B2+C2

x=mt

空间直线的方程:土3=匕比=七且r其中§=｛加,”,。｝渗数方程：》=%+九

mnp

[z=z0+pt

二次曲面：

222

1、椭球面:与+斗+今之

alrc

22

2、抛物面:L+±=z,(p,q同号)

2p2q

3、双曲面:

222

单叶双曲面:彳=1

a2b2c2

222

双叶双曲面-4+0=1(马鞍面)

abc

多元函数微分法及应用

全微分：dz=—dx-\----dydu--dx-\-----dy-\-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：«Jz=fx(x,y)^x+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法：&

dz丝

z=f[u(t),v(t)]—=贰

dtav

包av

azaz一

瓦

J私

Z=f[u(x,y),v(x,y)]

ax

当〃=M(x,y),u=v(x,y)时,

,du,du,公=@dx+2dy

du-——ax-\dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

dy_F也=色(_*)+2(一区).史

隐函数尸(x,y)=0,----------x

2

dxF„dxdxF,dyFvdx

生_&__J^v

隐函数F(x,y,z)=0,

dxF.,dyF.

4/Z

竺

工K

F(x,y,u,v)=O"(EG)

一

一

隐函数方程组:0V空IGG

”

—

G(x,y,w,v)=Od(u,v)加

du___\_e(F,G)dv1S(F,G)

dxJ6(x,v)dxJd(u,x)

包___Le(£G)dv__ia(F,G)

SyJS(y,v)⑪JS(u,y)

微分法在几何上的应用:

x=(p(t)

空间曲线y=〃⑺在点M(x°,y°,z。)处的切线方程:与弋===*

/*、*。0)/。0)3«0)

Z-co(t)

在点M处的法平面方程：(p\t0)(x-x0)+“伉)(y—%)+co'(t0)(z-Zo)=0

Ml：；则切向量1F.Fv

若空间曲线方程为:%

G.，G、

G:GZGX'G

曲面尸(x,y,z)=O上一点“(Xo.XpZo)，则:

1、过此点的法向量：万={工(%,凡,70)，4(》0,打,70),£(%,打〃0)}

2、过此点的切平面方程：工(工0，%,70)“-》0)+4(%,打〃0)。一〉0)+工(/,凡,20)(7-。)=0

)'一》。

3、过此点的法线方程:一上也

工OWcpZ。)Fy(x0,y0,z0)Fz(xQ,yQ,za)

方向导数与梯度：

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为:笠=—cos^?+—sin(p

cldxdy

其中夕为x轴到方向/的转角。

函数Z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=—F+—J

oxdy

它与方向导数的关系是:曳*=8门(!/6》)-。，其中0=cosei+sinQj,为/方向上的

dl

单位向量。

；.冬是gra<4/(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设/'式而，为）=力（/,>0）=°，令:九。0，>0）=4，九（/，为）=民心（%,打）=。

A<o,（Xo，yo）为极大值

AC-I〉0时”

A〉。,“。,％）为极小值

则:<AC-炉<0时,无极值

AC-B2=0时，不确定

重积分及其应用：

^f{x,y')dxdy=(rcos0,rsin0)rdrd0

DD1

2

dz（女

曲面z=/(x,y)的面积4=JJ+dxdy

dx、力

jj4(x,y)dbMJJ)2(x,y)db

平面薄片的重心：》=必D

y=__L=-ll__________

MJJ°(x,y)dcT'MJJp(x,y)db

DD

平面薄片的转动惯量：对于入轴=小2ax,y）db,对于），轴/）=j卜2m居/）］。

DD

平面薄片（位于M），平面）对Z轴上质点M（0,0,4）,（〃〉0）的引力：F={FV,FV,FJ,其中:

p（x,y）xda

F尸,力产必当—%JJ。"加3

D（x2+y2+a2yD(x2+y2+a2yD，+y2+〃2)5

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标:<y-rsin^,jjj/(x,y,z)dxdydz=„(几e,z)44田z,

z=zcc

其中：尸(r,e,z)=/(rcos6/sine,z)

x=rsin^cos^

球面坐标，y=rsin^sin^,dv-rd(p-r^m(p-d6-dr-r2^m(pdrd(pdd

Z=rcos(p

2乃nr((p,O)

j|j/(x,y,z)dxdydz=sin(pdrd(p(10=^d0^d(p^F{r,(p,0)r2s\n(pdr

000

重心：刖’'=心'其中M=X=jjj/Wv

Q.

2222

转动惯量：Ix=JJJ(y+z)/xlv,Iy=JjjU+z)/xlv,■-JJJ*+丁)心

。cQ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设/'(x,y)在L上连续，L的参数方程为：['=*),则:

y二收⑺

P_________________

J/(x,y)ds=+力(«</?)特殊情况:

Lay=夕Q)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为r=夕⑺，则：

[y=甲3

p

Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{尸@。),)+Q[(p(t),以f)]"(f)}dt

La

两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qfy=j(Fcosa+geos/3)ds,其中a和尸分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:!J(争-着心4),=gPdx+Qdy格林公式:!J(半-翼)公力=^Pdx+Qdy

当「=一＞,。=%,即:以一丝=2时，得到。的面积：A=[\dxdy=—cfxdy-ydx

dxdy21

•平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),0(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且义=丝。注意奇点，如(0,0),应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

♦二元函数的全微分求积：

在义="时，Pdx+Qdy才是二元函数“(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(*,y)

”(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x()=yo=°。

(Xo，)b)

高斯公式

吟意4-^-)dv=,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=可(Pcosa+。cos0+Rcosy)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：divv=—+^+—,HP：单位体积内所产生的流体质量，若div”0,则为消失…

dxdy&

通量：^A-nds=J1A〃ds=JJ(Pcosa+Qcos(3+Rcos/)ds,

因此，高斯公式又可写成:JJJdivZdu=抄4,如

cz

曲面积分

对面积的曲面积分:JJ/(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)邛+1(x,y)+z；(x,y)dxdy

工％

对坐标的曲面积分:J]P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

0R(x,y,z)dxdy=士y,z(x,yS\dxdy,取曲面的上侧时取正号；

||p(x,y,z)dydz=±y,z),y,z\dydz，取曲面的前侧时取正号；

JjQ(x,y,z)dzdx=±胆口,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

%

两类曲面积分之间的关系：JJpdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos0+Rcos/)J.v

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

匕型.逡―,空—空、―,丝.dP_<­

f[1人TT八

ydydzdzdxdxdyr

dydzdzdxdxdycosacos0cos/

dddda

上式左端又可写成:JJ=w

IdxSydzSydz

PQRQR

空间曲线积分与路径无关的条件:"=学dP_dR8Q_dP

dydzdzdxdxdy

ijk

Asa

旋

-一

&-

ax办R

p。

向量场耳沿有向闭曲线r的环流量qPdx+Qdy+Rdz=-tds

rr

常数项级数：

等比数歹！J：l+q+/+…+

i-q

等差数歹U：1+2+3-1----Fn=+D"

2

调和级数：1+工+工+…是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法—根植审敛法(柯西判别法)：

2<1时，级数收敛

设：/?=limW7，则<P>1口寸，级数发散

2=1时，不确定

2、比值审敛法：

「<1时,级数收敛

设：p=贝小夕〉1时，级数发散

“f8U

"[0=1时，不确定

3、定义法：

s“=/+%+…+”“;lims“存在，则收敛；否则发散。

“f8

交错级数〃।-“2+%-“4+…(或-"1+“2-“3+…,%>0)的审敛法---莱布尼兹定理：

如果交错级数满足八皿，二口,那么级数收敛且其和其余项，“的绝对值匕区％铲

>00

绝对收敛与条件收敛：

(1)«1+M2d---------|-MnH------,其中〃"为任意实数；

(2)|W1|+|M2|+|W3|+---+|W„|+--

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:z：发散，而zg匚收敛；

级数:，与收敛;

n

〃级数:z.P41时发散

p>l时收敛

幕级数:

23„/凶<1时，收敛于」一

1+尤+%+%,+••,+•¥+•,•(1—X

\|x|N1时，发散

对于级数⑶劭+4好+。2》2+…+。“/'+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

/|x|<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。

\凶=R时不定

Ip丰0时，/?=—

求收敛半径的方法：设lim—=p,其中4,即+1是(3)的系数，则(2=0时，R=+8

〃\P=+00时，R=0

函数展开成塞级数：

函数展开成泰勒级数：〃x)=/(X0)(X-Xo)+UR(X-Xo)2+...+S2(X-%)"+•••

2!n\

余项：Rn=匕魅2(了一元0严J。)可以展开成泰勒级数的充要条件是：］而&=0

(〃+1)!5°

x0=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+/(0)%+/也/+……

2!n\

一些函数展开成鬲级数：

(1+x)=l+mx+------x-+•••+-----------------x+--(-1<X<1)

2!〃！

v-3r5r2„-i

sinx=x---+-------1-(-1)"-1—----1•…(-00<%<+oo)

3!5!(2/1-1)!

欧拉公式：

cosx=

eu=cosx+isinx或«

sinx=

三角级数:

00

=冬+

/(f)=4+ZA,sin(〃初+。“)Z(a〃cosnx+htlsinnx)

M=l2n=l

其中,a0=aA0,an=Ansin(pn,bn=Ancos/,cot=x。

正交性：Lsinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cos…任意两个不同项的乘积在［-万,乃］

上的积分=0。

傅立叶级数:

/(x)=—+^(aflcosnx+bnsinnx\周期=2万

2Z}=1

]兀

an=—(x)cosnxdx(n=0,1,2-••)

冗-n

其中

]n

bn=—j/(x)sin〃xdx(〃=1,2,3…)

—n

1171~1兀2

1+H------(相加)

?+3+•“五6

111冗

+H土(相减)

FW-"2412

2口

正弦级数：%=0,bn--j/(x)sinn%Jxn=1,2,3…f(x)=X。"sin是奇函数

冗o

/(On^+WX'COS/JX是偶函数

余弦级数：仇,=0,an=—f(x)cosnxdxn=0,1,2…

冗o

周期为21的周期函数的傅立叶级数:

，/\a。Zm++rtc,

/(x)=W+\(%cos丁K17CX+bJ“s.m丁YITCX)，周期=2/

2A=1II

[rmix

%=7J/*)cos—j—dx(〃=0,l,2…)微分方程的相关概念:

其中；

2,=7J7(x)sin竿dx(n=1,2,3…)

一阶微分方程：y'=/(x,y)或P(x,y)dx+Q{x,y)dy=0

可分离变量的微分方程：•阶微分方程可以化为8。，)6=/(对心的形式，解法：

Jg(y)"y=J/(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成包=/(x,y)=夕(x,y),即写成上的函数，解法：

axx

设”=工，则生=“+x包，〃+@£=夕(瓜),；.虫=上二分离变量，积分后将上代替”,

xaxdxaxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

1、一阶线性微分方程:@+P(x)y=Q(x)

dx

，当Q(x)=0时，为齐次方程，y=Ce网"

一阶线性微分方程:［当。(x)w0时，为非齐次方程，y=(jQ(x)』2%x+C)eJ"、"

2、贝努力方程:@+P(x)y=Q(x)y",(〃/0,1)

dx

全微分方程：

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

与a

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中片=P(x,y)，：=Q(x,y)

oxdy

：.u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

/(x)三。时为齐次

宗++0(x)y=/(x),「

/(x)w0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中p,q为常数;

求解步骤：

1、写出特征方程：(A)r2+pr+4=0,其中心r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数;

2、求出(△)式的两个根外

3、根据不々的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

(*)式的通解

八，七的形式

rxriX

两个不相等实根(p2-4q>0)y=c}e'-\rC2e

两个相等实根(p2-4q=0)r,x

y=(G+c2x)e

一对共辄复根(p2-4q<0)

y=*©cos/3X+C2sin你)

。=a+〃?，r^-a-ip

一匕”业纥或

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+py'+qy=f(x),p,夕为常数

/(x)=e*,(x)型，4为常数；

f(x)=e"'［《(x)cos5+E,(x)sin0c］型

1、行列式

1.〃行列式共有小个元素，展开后有"!项，可分解为2■行列式；

2.代数余子式的性质：

①、和%的大小无关；

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;

③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|山；

3.代数余子式和余子式的关系：

4.设”行列式O：

n(w-l)

将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为A,则R=(T)下D；

“("一|)

将D顺时针或逆时针旋转90’,所得行列式为D2,则D2=(-1)~D；

将。主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D,,则2=0;

将。主副角线翻转后，所得行列式为则。4=。；

5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积;

③、上、下三角行列式(|^|=|k|):主对角元素的乘积；

npiT)

④、|，|和|/|：副对角元素的乘积X(-l)2；

⑤、拉普拉斯展开式：AO'=AC：=|AC:A=O>A(-Dm"W

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.对于”阶行列式|川，恒有：=+,其中S.为A阶主子式;

4=1

7.证明同=0的方法：

①、|A|=-|A|；

②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(4)<“；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.4是〃阶可逆矩阵：

o|4|^0(是非奇异矩阵)；

or(A)=n(是满秩矩阵)

oA的行(列)向量组线性无关；

o齐次方程组Ax=0有非零解；

。VBeR",Ax=b总有唯一解；

oA与E等价；

。4可表示成若干个初等矩阵的乘积；

<=>A的特征值全不为0；

。A『A是正定矩阵；

oA的行(列)向量组是R"的一组基；

。4是R"中某两组基的过渡矩阵；

2.对于”阶矩阵4：AA'=A'A=\A\E无条件恒成立;

3.(AT)*=(A.)T(A-')r=(Ar)-1(4了=(47)"

(AB)T=BrAT(A8)*=B'A'(ABY'=B'A'

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

4

若4=2.I,则：

、A-

1

'|A|=|A,||A2|---|AS|；

‘Aj、

IK4'=A；.

、A六

②、［o.；(主对角分块)

③、(：2d副对角分块)

小(ACY'(A-'-A-'CB'}/4*4、什、

@>I„=,;(拉普拉斯)

I。切(OB')

冷(AOX'(A^'O\/自版-底、

⑤、|八J=|...;(拉普拉斯)

1C刈(廿"B')

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.-个机X”矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=

/MX”

等价类：所有与A等价的矩阵组成的个集合，称为•个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;

对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(8)oAB；

2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1:

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)

①、若(4,E)‘(E,X),则A可逆，且X=A-；

②、对矩阵(AI)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A",即：(A,B)~(E,A-'B)；

③、求解线形方程组：对于"个未知数"个方程Ax=b,如果(4,))(E,x),则A可逆，且*=4%；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

’4'

②、A=4.，左乘矩阵A,4乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素；

③、对调两行或两列，符号,且E(