专题九 解三角形及其应用（解析版）-2021届高三《新题速递数学》5月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题九解三角形及其应用

一、单选题

3

1.（2021•四川高三三模（文））设AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，。，J若。=3〃，sinA=-（

则sin8的值为（）

11r5

A.-B.—C.-D.一

51539

【答案】A

【分析】

直接运用正弦定理进行求解即可.

【详解】

a_b3b_b=sin5-1

由正弦定理可知：sinAsinB3sinB5，

5

故选：A

71

2.（2021•北京高三二模）在△ABC中，BC=6,A=—,sin8=2sinC.则A/LBC的面积为（）

3

A.6下＞B.6C.9-73D.4及

【答案】A

【分析】

由余弦定理可得36=。2+尸_灰＞,由正弦定理可得b=2c,解得b和c的值，再由S=；入csinA即可得

解.

【详解】

a2=b2+c2-2Z?ccosA，

36—c，2+b"—be»

vsinB=2sinC＞

.\b=2c.

解得：C=26,Z?=46，

•••^ABC的面积为S=』besinA=1x2有x4宕x且=.

222

故选：A.

3.（2021・吉林长春市•东北师大附中高三其他模拟（理））已知AABC的面积是5=；（/+。2）（其中6c

为AA》。的边长），则A/WC的形状为（）

A.等边三角形B.是直角三角形但不是等腰三角形

C.是等腰三角形但不是直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】

利用三角形的面积公式化简已知条件，结合基本不等式判断出三角形的形状.

【详解】

依题意△ABC的面积是S=（伍2+）,则;历sinA=；（h1+c2）,

2bcsinA=b2+c2>由于。<A<〃,0<sinAW1,所以0<20csinAW2Z?c,

由基本不等式可知从+c2i2/?c，当且仅当匕=c时等号成立，

IT

所以sinA=l,A=一,一角形ABC是等腰直角三角形.

2

故选：D

4.（2021•甘肃高三二模（理））在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,。，若

sinA:sinB:sinC=5:7:9，贝！lcosC=（）

3111

A.---B.---C.—D.---

3514510

【答案】D

【分析】

根据条件sinA:sinB:sinC=5:7:9,由正弦定理得a:A:c=5:7:9,可令。=5f/=7t,c=9rQ>0）,

再利用余弦定理求解.

【详解】

ahc

由正弦定理：^―=——=——=2R

sinAsinBsinC

得。=27?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC

乂因为sinA:sin3:sinC=5:7:9，所以a:b:c=5:7:9

令a=5t,b=1t,c=9t(t>0)

所以cosC=/+，「一25产+49产-8If2=1

2ab2x5rx7r10

故选：D.

5.（2021•江西高三二模（理））如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数行，…

的图形之一，此图形中的余弦值是（）

【答案】C

【分析】

在A8C7）中，利川余弦定理求出BO?，再在A区4。中，利川余弦定理求出/胡。的余弦值.

【详解】

在△ABC中，NACB=45'，

在ABCD中,/。。5=90,+45°=135°,，BO?=l+l+2xlxlx也=2+忘，

2

,.,XnAr\3+1-2—>/22,^5—

在ABAD中，cosNBAD-------产----=----------.

2V36

故选：C

【点睛】

方法点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边，对于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.

TT

6.（2021♦河南开封市•高三三模（理））如图，A,B,C是半径为1的圆周上的点，且N8AC=i，

A6+AC=J匕，则图中阴影区域的面积为（

c

a

-------

A-B.4C.工+且D.互+E

363464

【答案】A

【分析】

设圆心为0,连接。4,OB,0C,BC,易得N3OC=2卫，^OBC=ZOCB=-,在AOBC中，求得

36

BC=2BOc4=6然后在AABC中，利用余弦定理结合AB+AC=J7,求得AC-A8=1,然后由图

6

中阴影区域的面积为S=SAABC+S扇形05c-SQBC求解.

【详解】

如图所示：

__71

ZOBC=ZOCB=-

6

BC=2fiOcos-=73,

6

在z^A6c中，

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cos^,

=(AC+AB)2-3ACAB,

因为A8+AC=«，

所以3=(扃-3ACAB,

解得AC-AB=1,

所以S,v=」AC，A8sin匹=3,SnRC=-OB-OCs\n—^―,

△Abe234A(厄c234

1277-7T

扇形08c的面积为：S=4x^xl2=^

233

所以图中阴影区域的面积为S=S,^+SMMC—5℃=/+专一曰=0，

故选：A

【点睛】

rr2九"TT

关键点点睛：本题关键是由NBAC=g,分别求得NB0C=——，N。BC=9进而求得S“Bc，S扇般畋.，S&1c

336

而得解.

7.(2021♦河南洛阳市•高三三模(理))在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,。，且

(a-扬卜in4=(c+b)(sinC-sin8),设。是AB的中点，若CD=1，则△ABC面积的最大值是()

A.V2-1B.72+1c.3-2立D.3+2夜

【答案】A

【分析】

根据正弦定理、余弦定理、平面向量的加法的几何意义，结合三角形的面积公式、重要不等式进行求解即

可.

【详解】

(a—0Z?卜inA=(c+b)(sinC-sinB)=>(a-0Z?)a=(c+Z?)(c-/?)=>a2—yflab-c2—b2,

所以C?=/+/—，由余弦定理可知：c2=a2+b2-2ab-cosC-

因此有cosC=Ce（0,4）,C=工，

24

因为。是AB的中点，所以有国=（（（%+而），平方得：

CD=-（CA+CB2+2CA-CB）=>4=b2+a2+2ba—=>b2+a2+y/2ba=4，

42

因为Y+b?22a。，所以4一缶822。8=>9?42（2-五），

SsBc~耳sinC———cibV-^―x2x（2—=,^2—1>

故选：A.

【点睛】

关键点睛：由。是AB的中点得到①=g（E+而）是解题的关键.

8.（202卜山西高三二模（理））在445。中，己知而./=3,△ABC的面积为2,则边8c的长有（）

A.最大值2逐B.最小值2番

C.最大值2D.最小值2

【答案】D

【分析】

QinA4

设A3=c,AC="5C=a,则由已知条件可得力ccosA=3,0csinA=4,从而可得-----=—,再结合

cosA3

43

si^A+cos2A=1求得sinA=《,cosA=g,be=5,由余弦定理可得"=从+,2一6,再结合基本不等

式可得答案

【详解】

解：设AB=c,AC=）,BC=a,

因为A从而=3，所以匕ccosA=3，

因为△ABC的面积为2,所以，历sinA=2,即从*sinA=4,

2

,besinA4,口sinA4r.4八

所以-------=-，得------=一，且sinA>0,cosA4>0A,

becosA3cosA3

因为sin?z4+cos2A=1，

43

解得sinA=《,cosA='，所以人c=5,

所以由余弦定理得cosA="+c2—矿="+厂—、2=。，

2bc105

所以a?=r2+12—6,

因为b2+c2i2Z?c=l(),当且仅当6=c=有时，取等号，

所以。2=/+。2-6210—6=4，

所以。的最小值为2,无最大值，即的最小值为2,无最大值，

故选：D

9.(2021.山西晋城市.高三二模(文))在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、。，若c=2b,

sin2A-3sin2B=—sinAsinC,则角C=()

2

【答案】B

【分析】

由正弦定理结合已知条件可得出再利用余弦定理求得cosC的值，结合角。的取值范围可

求得角C的值.

【详解】

因为sin?A-3sin?i3=—sinAsinC,由正弦定理可得"-3b2-—ac

22

,;c=2b,所以,a2-3b2-—a-2b=ab,

2

由余弦定理可得cosC=g£t=Wab_1

2ah~2

TT

因此，c=一.

3

故选：B.

【点睛】

方法点睛：在解三角形的问题中，若己知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到

答案，要选择“边化角”或"角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边”；

（2）若式子中含有。、b、。的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

10.（2021•吉林长春市•东北师大附中高一期中）己知AABC内角A，B,C所对边的长分别为a,A,c,

a=bcosC,则AABC形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】

由余弦定理化简可得/+M，即可判断.

【详解】

2,22

a=hcosC,余弦定理可得a=b・0+"一。，则2a2=1十〃一,

lab

则/+02=62,所以△ABC为直角三角形.

故选：D.

11.（2021•浙江高一期末）“LBC的内角A,B,C所对的边分别是a,h,c若4=105°,3=45°,。=2近,

则c等于（）

A.1B.^2C.6D.2

【答案】D

【分析】

计算C=30。，再利用正弦定理计算得到答案.

【详解】

由已知得C=180°-8-A=30°,根据正弦定理：=,故c=2.

sin45°sin30°

故选：D.

12.（2021•安徽马鞍山市•高三二模（文））在448C中，角A,5,C所对的边分别是mb,c,若ccosA+〃cosC=2,

AC边上的高为遂，则NA8C的最大值为（)

7C7171_27r

A.一B.一C.一D.——

6323

【答案】B

【分析】

由余弦定理可求得Z;=2，再山等面积关系可得ac=2^，利用余弦定理结合基本不等式得出

sinB

cosfi>l--,即可求得sin(B+工71]2

—,再结合3的范围即可得出结论.

ac32

【详解】

,/ccosA+acosC=2,

人242_2〃2扇_2

由余弦定理可得—匕+。・幺二一—=2,整理可得6=2,

2bclab

又AC边上的向为,所以一x2xy/3=—tzcsinB,即ac=2y

22sinB

2

・…=上士。到卫=1--,当且仅当〃二。取等号,

2aclacac

cosB>1--sinB•即Gsin8+3cosB23，即sin]3+g)之

32

714万也力717711172万1

,则5+彳£二丁

31333

式

0,y,故/ABC的最大值为一.

3

故选：B.

【点睛】

旭，由基本不等式得

关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得比

sinB

cosB>\---.

ac

二、多选题

13.（2021•吉林长春市•东北师大附中高一期中）己知AABC的内角A,3，C所对边的长分别为

7T

A=_,a=m,。=4,若满足条件的△ABC有两个，则机的值可以是（）

4

A.2&B.2-^3C.3D.4

【答案】BC

【分析】

在AABC中，由余弦定理建立起关于C的一元二次方程，利用这个方程有二不等的正根求铝，/Z的范围即可

得解.

【详解】

在△ABC中，由余弦定理/=匕2+c，2一2匕ccosA得：/H2=42+c2-2-4ccos—,

4

即。2一4岳+16-m2=0，依题意，关于。的一元二次方程有两个不等的正根，

所以△=（4—4"（16—m2）=4〃厂—32>0=>irr>8,并且16—>>0=病<16>

而，">0,贝“2&<加<4，取加=26或m=3,选项B,C符合条件.

故选：BC

14.（2021.浙江高一期末）在AABC中，角4B,C所对的边分别为访b,c,给出下列命题，其中正确

的命题为（）

A.若A>B>C,则sinA>sin3>sinC；

B.若。=4（）,b=20,8=25。，则满足条件的AABC有两个；

C.若0<tanAtan8<l,则AABC是钝角三角形；

D.存在角A,B,C,使得1@11431131311。<131171+13113+1311。成立；

【答案】ABC

【分析】

A.利用正弦定理判断该选项正确；

B.由于40sin25o<40sin3（T=20,因此满足条件的有两个，所以该选项正确；

C.可以证明tanC<0，A/WC是钝角三角形，所以该选项正确；

D.可以证明tanAtan8tanC=tanA+tanB+tanC,所以该选项不正确.

【详解】

A.若A>8>C，.:。〉力〉c,由正弦定理可得：」一=上=二，则sinA>sin6>sinC,所以该

sinAsinBsinC

选项正确：

B.若a=40,〃=20，8=25°,则40sin250<40sin300=20,因此满足条件的△ABC有两个，所以该

选项正确；

C.若OvtanAtanBcl,则-tanC=tan(A+B)=单〕A+"n>>。•.tanC<0,Ce(0,CG(—,^))

1-tanAtanB2

△ABC是钝角三角形，所以该选项正确；

D.由于当C/工时，-tanC=tan(A+3)~+tan—,tanAtanBtanC=tan>4+tanZ?+tanC,所以

21-tanAtanB

该选项不正确.

故选：ABC

【点睛】

tanyl-LtqnR

关键点睛：解答本题的关键是灵活利用和角的正切公式tan(A+B)=------------------，只有灵活运用该公式

1-tanAtanJB

才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.

第II卷(非选择题)

三、解答题

15.(2021•宁夏高三二模(文))从①a+c=4,8=2②tanA=%巨，a=5③b=6a，c=2,这三

11

个条件中，任选一个，补充在下面问题中并解答.

△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,bsinA->j3acosB=0>，求△A6C的面

积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】答案见解析.

【分析】

乃1

先化简已知条件得5=1，若选择①，结合余弦定理解出4=4,利用面积公式S*BC=/"sin8计算即

可；若选择②，利用同角三角函数的基本关系解出sinA=士叵，结合正弦定理解出b边，再利用余弦定理

14

解出c边，利用面积公式计算即可；若选择③，先利用余弦定理解出c边，再利用面积公式计算即可.

【详解】

解：QZ?sinA—百acos8=0

由正弦定理得sinBsinA--73sinAcosB=0.

sinB（sinA-+cosB）=0.

・.・3c（0,左），sinB^O.

/.sinA-代cosB=0

兀

sinB=yJ3cosB即tan3=>/5，B£（0,九）,故8=§.

若选择①：

由余弦定理得。2=a2+c2-2accosB，

整理得4=a2+c2-2accosB4=a2+c2-ac»

4=（〃+c）2—3ac,解得QC=4,

q一acsinB=—x4x^—=>/3；

LABC222

若选择②:

tanA=Ae（0,£）

112

sinA5>j3

，解得sinA=%^

根据题意得《cosA11

14

sin2A+cos2A=1

5b

在△ABC中，由正弦定理得，一=——，即不万=耳，解得。=7,

sinAsinB-——

142

由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB，

整理得49=25+/一50即c2—5c—24=0,解得c=8（c=—3舍去）,

q=LesinB=—x5x8x-10^:

“△ABC222

若选择③：

在△ABUT,由余弦定理得匕2=a2+c2_2accosB，Bp3a2=a2+4-2ax2x-,

2

化简为/+a—2=0，解得a=1（a=—2舍去）,

=—acsinB=—xlx2x——=2G.

222

【点睛】

思路点睛：

一般地，解有关三角形的题目时，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适.如果式子中含有角的余

弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.

16.（2021黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三三模（文））已知锐角AABC中，角A,B，C的对边分别为

a,b,c,且满足（给一c）cosA-acosC=0.

（1）求角A的大小；

（2）求CQSB+CQSC的取值范围.

【答案】（1）y;（2）（日，J

【分析】

（1）由（2匕一c）cosA—acosC=0,根据正弦定理化简得2s比反osA—s沅8=0,进而求得cosA=；,即

可求解；

（2）由⑴得到。=1一8,根据三角恒等变换的公式，化筒cos8+cosC=si〃（5+，进而得到

rrrr27r\711

-<B+-<—,得到s山8+7的范围，即可求解.

363I6；

【详解】

(1)在AABC中，由(如一c)cosA-acosC=0,

利用正弦定理得(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0.

所以2sinBcosA-(A+C)=0,即IsinBcosA-sinB-0,

因为0<B〈不，可得s%B，0,所以cosA='，

2

71

又因为0<A<%,所以A=一.

3

7t2万2万

(2)由(1)知4=—,可得B+C=——，可得C=——B,

333

2乃)(2冗2兀

所以cosB+cosC=cosB+cosB=cosB+cosBcos-----FsinBsin——

)I33

\

71

sinB+—cosB=sinI+—，

226y

7TTT7T

因为AA3c为锐角三角形，所以0<C<-,且4=生

223

〜、71八7T71―712万~1।

所以一<B<一，—<.B—<—,所以<s"8+看卜1

623632

故cosB+cosC的取值范围为，1・

17.(2021•江西高三三模(理))已知在△ABC中，角A,B,C所对边分别为〃，h,c

(sinA-sinB)2=sin2C-3sinAsinB.

(1)求角C的大小;

(2)若a=2b,求COS[B+5)的值.

【答案】(1)—:(2)

314

【分析】

(1)由正弦定理将(sinA-sin3)2=sin2C-3sinAsinB转化为(a-bf=c?-3出?，化简后结合余弦定

理可得cosC=—L,从而可求出角C的大小;

2

(2)由正弦定理将a=2A转化为sinA=2sin8.再由C=2工可得tanB=正，从而可求出sin民cosB的

35

值，进而可求得COS[B+£

=cosfB+y的值

【详解】

(1)v(sinA-sinB)2=sin2C-3sinAsinB

2

:,由正弦定理得(a-少=c-3ab,即4+廿一=_而

cosC=—

2

ZQCe(0,7i)/.C=；

(2)・.,a=2Z?,.,.由正弦定理得sinA=2sin3,

IT(TTA

,/A+B=—sin----B=2sinB,

3(3)

式冗J3j

:.sin—cosB-cos—sin5=2sinB,即^■cos8-士sin3=2sin3,

3322

..tanB——，

5

Befo,—sinB=也^~,cosB=,

I2)1414

C}J始口冗,D,九5币1旧币币

cosB-\——=cosB+—=cosBcos----sinBsin—=-----------------------------

3)3314214214

18.(2021•天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模)函数/(x)=(sinx+cosx)-+J5cos(2尤+》)・

⑴求函数〃尤)的最小正周期并求当工£0,1时，函数”X)的最大值和最小值；

(2)已知AABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,若/3=1,sinC=2sinB,且〃=2,

求AABC的面积.

【答案】(1)T=7r,最大值为1,最小值为6-1；(2)寺.

【分析】

(1)根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小

正周期公式、单调性进行求解即可；

(2)根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】

(1)/(x)=(sinx+cosx)2+6COS(2I+»)

=l+sin2x-5/3cos2x=2sin2x--+1,

二函数f（X）的最小正周期T=于="；

因为xe[O,g]所以一工42彳一军《女,

L2J333

'冗Sjrjr

因为函数/'（X）在xe0,—单调递增，在XG—上单调递减

所以/（0）=2'-*_1=_石_1，

佣=2x#—lM一1

、乙）乙

所以函数的最大值为1,最小值为6-1;

⑵卜2sin（A—?）+1=1,sin（A一?）=（）

n…715n7171

——<2A——<———=0,即4=一

33333

由正弦定理以及sinC=2sinB,可得c=2Z>,

由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA^4=b2+4b2-2-b-2b--,

2

可得b

4x/3S-ABC=g8csinA=铲•岑=（竽）2X孝=苧.

丁

19.（2021•浙江高三月考）设常数ZwR,已知f（x）=Zcos2x+2gsinxcosx.

（I）若/（X）是奇函数，求上的值及/（X）的单调递增区间；

（II）设左=1,△ABC中，内角A，8,C的对边分别为若/（A）=l,且△ABC的面积S=c加c,

求AA》。周长的取值范围.

,「,7t,7T~I（邪3石

【答案】（I）Z=0，kn——,kn+—,k^Z；（II）,一■—.

4424

1-」\J

【分析】

（I）根据奇函数的性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可;

(II)根据辅助角公式，结合特殊角的正弦函数值、三角形面积公式、正弦定理、正弦型函数的性质进行

求解即可.

【详解】

(I)由题意知，/(0)=后=0,得％=0，

下面对后=0进行检验：

若左=0,则，f(x)=2^sinxcosx=^3sin2x，

对任意xwR都有于(一x)=y/3sin(-2x)=-A/3sin2x=-f(x),

「.7(x)是奇函数，.・・2=().

乂因为f(x)=5/3sin2x,由2Z)—耳<2x<2攵7+5,keZ、

7TTT

所以得Qr——<x<k/r+—，keZ

44

jrTT

:./(x)的单调递增区间为k7T--,k7r+-,ZeZ.

44

(II)当氏=1时/(x)=cos2x+石sin2x=2sin12x+.卜

.­./(A)=2sinf2A+^j=l:得sin(2A+^■卜g

A/八、、人冗(冗13万1%JC

*.*AG(0,71),2Ad---G—,-----,A=一

6166J3

由S=ahc=—Z?csinA=>2a-sinA/.2b-sinB,2c=sinC,

2

「.△ABC的周长为：

a+。+c=g(sinA+sin8+sinC)=[sinB+sin(^--B)]+

=-(sinB+—cosB+-sinB)+—

2224

1(自。SB+-B)+走

2224

4")+走

264

5G(0,争nB+q呜卷nsin(B+q)G(g，l]

(W3行

「.△ABC的周长的取值范围为三,*.

I24」

20.(2021♦河南高三一模(文))在AA3c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

Z?sinC+«sinA=Z7sinB+csinC.

(I)求4

(H)设。是线段BC的中点，若c=2,AO=Ji5,求a.

【答案】(I)—；(11)2a

【分析】

(I)先由正弦定理，将所给条件化为匕c=^+c2-〃，再由余弦定理，即可得出结果；

(H)根据题中条件，得到cosNA£>8+cosNA£)C=0,推出/=?/_44,再由余弦定理得到

/=〃+4一2。，两式联立求出匕，进而可求出。.

【详解】

(I)根据正弦定理，由力sinC+asin4=人$由8+。5出。可得〃(:+〃2=/?2+c2»

即bc=b2-he2-a2，

由余弦定理可得，cosA=0r'='「=L

2bc2

n

因为A为三角形内角，所以A=一；

3

(II)因为。是线段8C的中点，c=2，AD=^3-

所以NA£)8+NA£>C=4,PJi]cosZADB+cosZADC=0,

AD2+BD2-AB2AD2+DC2-AC2

所以1=0，

2ADBD-----2ADDC

22

13+--22l3+~~b2

即————+————=0,整理得a2=2b2-44；

2巫世2巫

22

y-a2-b2+c2-2/?ccosA=户+4-2。，

所以/+4一28=2〃一44,解得。=6或。=一8(舍)，

因此/=2/-44=28，所以a=26

【点睛】

思路点睛：

求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出

对应的方程求解即可.

21.（2021•浙江高三三模）在△A3C中，角A5,C所对的边分别为a,"c,已知

cosA='，sinC=近cosB.

3

（1）求sin8的值；

（2）若c=2,求。的值.

【答案】（1）如；（2）勺叵.

33

【分析】

（1）首先求出sinA,然后由sinC=sin（A+8）=sinAcos5+cosAsin5=J^cos6得到

sinB=V2cosB，然后结合平方关系可得答案；

（2）首先求出sinC，然后利用正弦定理求解即可.

【详解】

（1）因为cosA=§,所以Aw（。,,），sinA=~~~

因为sinC=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB=丘cosB

所以2"cosB+—sinB=忘cosB，即■sin3=cosB,即sin3=V2cosB

3333

因为sin25+cos23=1，所以可解得sinB=&OSB=B

33

（2）因为sinC=5/^cosB=—,c=2,

3sinAsinC

272

csinA4G

所以"=而亍

3

22.（2021・四川高三二模（文））△A6C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

/?sinA=QCOSB-—\.

I6）

（1）求5；

（2）设。=2,b=币,延长AC到点。使AC=2CD，求△BCD的面积.

【答案】（1）—；（2）空.

34

【分析】

（1）根据正弦定理可得sinB=cos（Bq）,进而得tan8=G从而得解：

（2）根据正弦定理解褥sinA,再根据同角关系和sinC=sin（A+B）,得sinC,再由5»垢可

得解.

【详解】

(1)‘."sinA=acos|B-7|.由正弦定理-----=----,可得Z?sinA=asin3,

k67sin/1sin5

.・.口丁得：asinB=QCOS(),

可得：sinB=cosfB-^-\=^-cosB+—sinB

,化简可得：tanB=5/3，

<6j22

・・・B£(0/),・・・8=。.

(2)由一°=-----,可得..a-sinB

sinAsin8sinA==

a-7

可得cosA=2互，

7

3向

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=:------»

14

343。36

所以S=2S=—ahsinC=—x2xA/7X==三’可‘巴"=丁・

ArAi/RJvr^tRSlr^Un22▼

23.(2021・辽宁高三一模)在△ABC中，角4,B,C的对边分别为小b,c

cos2B+cos2C—cos2A=l—sinBsinC

(1)求A；

（2）若a=A求AABC的面积的最大值.

【答案】（1）A=-；（2）也

【分析】

（1）根据题中条件cos25+cos2C-cos2A=1-sinBsinC的特点，将余弦转化为正弦，利用正弦定理转

化为关于。，4c•的式子，用余弦定理求解即可.

（2）结合A=工以及石，题目求的是面积的最大值，想到求A的最大值，利用余弦定理及基本不等

式求解.

【详解】

（1）由已知得:sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC

由余弦定理得：cosA=-

2

71

・・・A£（（）,））,.•.A=—

3

（2）由余弦定理得：3=Z?2+c2-hc>hcy即，be<3

当且仅当Z?=c时，等号成立

...AABC而积最大值为史.

4

【点睛】

（1）观察式子的特点，对正弦、余弦定理的特点要比较熟练.

（2）注意题目的问题是面积的最大值，故联想基本不等式，余弦定理等知识点.

24.（2021.安徽高三三模（文））在△ABC中，角A,B,C的对边分别为c,且a=b（sinC+cosC）.

(1)求3：

(2)若b=l,求△ABC面积的最大值.

【答案】(1)B=-；(2)史上!

44

【分析】

(1)根据题设条件和利用正弦定理，化简得到cos8=sin8,进而求得3的大小.

(2)由余弦定理得到缶c="+c2—1,结合基本不等式，求得ac〈柠色，利用面积公式，即可求解.

【详解】

(1)由题意，在△A6C中，满足a=Z?(sinC+cosC),

利用正弦定理得sinA=sinB(sinC+cosC),

即sin(jB+C)=sinB(sinC+cosC),

即sinBcosC+cos3sinC=sin3sinC+sinBcosC),

可得cosBsinC=sinBsinC,

因为。£(0,万)，可得sinC>0,所以cos3=sin5,即tanB=l，

乂因为5G(0,〃)，所以B=

(2)在△ABC中，由余弦定理cos8="一+'—"，可得也=且+。=1

2ac22ac

所以=cJ+c2—122〃c—1，即"二—=—,当旦仅当I。=。时取等号,

所以AABC的面积S=LacsinB«L-21也.也=也±1

22224

所以AABC面积的最大值为立土.

4

【点睛】

对于解三角形问题的常见解题策略：

对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角''寻求角的关系，利用"角转边''寻求边的关系，利用正、

余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

25.(2021•江西赣州市•高三二模(理))在中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且满足

(2h-V3c)cosA-y/3acosC=0.

（1）求角A的大小;

2122

(2)求2sinB+"+〃的取值范围.

ab

【答案】(D4=9；(2)(-73,2^].

【分析】

（1）利用正弦定理求出cosA=立，又Ae（o,»），即可求出A；

2

（2）由余弦定理及三角形内角和定理把原文太转化为求2j^sin（B-在0<B<菅上的范围，利用三

角函数即可求解.

【详解】

（1）由（2〃一V^c）cosA-6acosC=0,

结合正弦定理可得：2sin8cosA-^sinCcosA-cosCsinA=0

整理得：2sinBcosA->/3sin(A+C)=0,即2sin8cosA-6sinB=0

又sinB>0,所以cosA=@，乂Ae((),))，故4='.