专题23圆（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练

专题2.3圆（全章分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，内接于，，则的度数为（）A． B． C． D．2．（2023下·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（

）

A． B． C． D．3．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值是（）

A．2 B．4 C．6 D．84．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023上·山东日照·九年级统考期中）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（）

A． B． C． D．6．（2023上·云南昆明·九年级校考期中）如图，、分别为、的切线，切点为、，连接交、于、．若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2023上·山东德州·九年级统考期中）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点A运动到时，点到达；当点A运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（

）

A． B．C．当与相切时， D．当时，9．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为（

）A． B． C． D．10．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，点A在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则．12．（2022上·广东江门·九年级校考期中）如图，点A，B，C在上，若，则的度数是．

13．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在中，，垂足为是上一点，过、三点的圆交于点，若，则．14．（2023上·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图，已知、均是的弦，，垂足分别为M，N，若，则的长为．15．（2023上·浙江湖州·九年级统考期末）⊙为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点，重合），连结，，．则四边形的面积关于线段的长的函数解析式是．16．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是．

17．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，，点P为内部一点，且满足，且，以点P为圆心，r为半径作圆，若与的两边有且仅有两个交点，那么r的取值范围是．18．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图所示，，为⊙O的直径，、分别交⊙O于E、D，连结、．（1）求证：；（2）若，，求的长．20．（8分）（2023上·山东威海·九年级校联考期中）已知，如图，在圆O中，为直径，C为圆上一点，平分并交圆O于点D，点E在上，且．

（1）求证：平分；（2）若圆O的半径，，求的长．21．（10分）（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余．

（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（10分）（2023上·全国·九年级专题练习）如图，的顶点、在上，边、分别与相交于、，连结．

（1）求证：．（2）填空：①若恰为的中位线，，则．②若点恰平分，时，则当时，四边形是菱形．23．（10分）（2023上·辽宁大连·九年级校考期中）如图，，分别与相切于点A，B，点D在上，且，，垂足为E．（1）求证：；（2）若的半径，，求的长．24．（12分）（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十中学校考期中）已知，在半圆中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦．

（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；（3）如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M的运动路径的总长______；②点M到的距离的最小值是______．参考答案：1．C【分析】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，适当添加辅助线是解题关键．解：连接，，，，．故选：C．2．C【分析】连接、，根据弧、弦、圆的关系可得，从而可得和是等边三角形，即，即可求解．解：连接、，∵，∴，∵，∴和是等边三角形，∴，∴，故选：C．

【点拨】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．B【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．作于，连接、，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，则最小时，最大，根据垂线段最短得到当时，的值最大，从而得到的最大值为4．解：作于，连接、，如图，∵，∴，而为定值，最小时，最大，∴当时，的值最大，最大值，∴的最大值为4．故选：B．

4．C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是真命题，故①正确；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，被平分的弦不是直径，所以命题是假命题，故②错误；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，是真命题，故③正确；④不在同一直线上的三个点确定一个圆，是真命题，故④正确；所以正确的有①③④共3个，故选：C．【点拨】本题主要考查的是确定圆的条件、圆周角定理与垂径定理，弧弦圆心角定理．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．B【分析】连接，根据三角形内心的定义可得平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据圆周角定理得出，最后根据等边对等角和三角形内角和定理进行求解即可．解：连接，

∵点I是的内心，∴平分，∵，∴，∵点O是外接圆的圆心，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．6．C【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由切线的性质得到，由等腰三角形的性质求出、的度数．由切线的性质得到，由等腰三角形的性质求出，得到、的度数，由三角形内角和定理即可求出的度数．解：∵、分别为、的切线，切点为、，∴半径，半径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．7．B【分析】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得的度数是解答此题的关键．先由圆周角定理可得的度数，再由扇形的面积公式求解即可．解：∵，∴，∴扇形的面积为，，故选：B．8．C【分析】本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断A、B选项，如图：当AB与⊙O相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键．解：如图，由题意可得：

∴，故A不符合题意；，故B不符合题意；如图，当AB与⊙O相切时，

∴，∴，∴，故C符合题意；如图：当时，

∴∴，，∴，故D不符合题意；故选：C．9．D【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可．解：连接，．，点的坐标为，令，则，解得，，，，，，∴，∴轴．，∴点在上，∵，∴，∴，∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，点运动的路径长是．故选：D10．D【分析】根据已知得出与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当时，取到最小值为，即可得出图象．此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出与x之间的函数解析式是解题关键．解：∵A点在半径为2的上，过线段上的一点P作直线，与过A点的切线交于点B，且，∴，，∴，解得：，∴，故此函数为二次函数，∵，∴当时，取到最小值为，根据四个选项的图象只有D符合要求．故选：D．11．【分析】在上截取，连接，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解．解：在上截取，连接，∵C是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形．12．/100度【分析】本题考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形性质，掌握这些是本题解题关键．利用圆周角作为桥梁间接求出的度数．解：如图，在圆上取一点D，连接，

∵，∴，∵四边形为圆O内接四边形，∴与互补，∴，故答案为：．13．/35度【分析】本题考查圆中求角度，涉及直角三角形性质、圆周角定理等知识，首先根据，，得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键．解：在中，，，，，，在中，，则，故答案为：．14．4【分析】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．先根据垂径定理得出、分别是与的中点，故是的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．解：∵垂足分别为，∴、分别是与的中点，∴是的中位线，故答案为：4．15．【分析】根据旋转的性质得到，，推出点，点，点三点共线，得到是等边三角形，即可得到结论．解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，∴，，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴点，点，点三点共线，∴是等边三角形，∵四边形的面积，∴故答案为：【点拨】本题考查了圆的有关知识，三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．16．【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解．解：若直线与半圆有交点，则

直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是，∴，又∵半圆的半径，∴，∴代入解析式，得，当直线过点时，把代入直线解析式，得，即当，直线和半圆有交点．17．【分析】本题考查切线的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质．根据题意，求出与相切，以及与相切时，的半径，即可．掌握切线的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．解：∵，，∴，当与相切时，设切点为，则：，∴，当与相切时，设切点为，则：，∵，∴，∵与的两边有且仅有两个交点，∴；故答案为：．18．3【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，

过作于，在正十二边形中，，，，正十二边形的面积为，，，的近似值为3，故答案为：3．19．（1）见分析；（2）【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，（1）连接，就是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出，根据圆周角定理即可得出，便可证得．（2）由于，那么就是三角形中边上的高，可用面积的不同表示方法得出．进而求出的长．解题的关键是用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等．解：（1）如图，连接，则，在等腰三角形中，，∴（等腰三角形三线合一），∴，∴；（2）∵，，∴根据勾股定理得：，∵，，∴，∴．20．（1）见分析；（2）【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，注意利用圆中的隐含条件，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．（1）由为直径，得到，可证明，，再由平分，根据等量代换可得，即可证明；（2）设与交于点M，由勾股定理求得的长，证明，求得的长，再证明，根据相似三角形的性质即可求解．解：（1）证明：为直径，，，，又平分，，，，平分．（2）解：，.，，设与交于点M，如图，则，

，，，即，，，易证，，即，．21．（1）证明见分析；（2）【分析】本题考查了圆周角、勾股定理、垂径定理：（1）利用圆周角定理及角的等量代换即可求证结论；（2）连，延长交于点，由垂径定理得：，，在中、在中和在中，利用勾股定理即可求解；熟练掌握基础知识是解题的关键．解：（1）证明：是的直径，，，，（2）解：连，连接并延长交于点，如图：

由垂径定理得：，，在中，根据勾股定理得：，设半径为，在中，由得：，，为直径，，在中，根据勾股定理得：．22．（1）证明见分析；（2）①；②【分析】（1）由圆内接四边形性质可得，进而可得，即可证得结论；（2）①由三角形中位线定理可得，再由平行线性质可得，结合，可得，再利用三角形内角和定理即可求得答案；②连接，根据菱形性质可推出：、均为等边三角形，再利用圆周角定理即可求得答案．解：（1）证明：四边形是的内接四边形，，，，，，，．（2）解：①如图，

由（1）得，恰为的中位线，，，，，，故答案为：．②如图3，连接，

四边形是菱形，，，，、均为等边三角形，，，，，，故答案为：．【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形性质，等边三角形的判定及性质，三角形内角和定理，菱形的判定及性质