专题02一次函数的图象和性质（原卷版）

专题02一次函数的图象和性质思维导图核心考点聚焦1.识别一次函数2.根据一次函数的定义求参数3.已知点在直线上求代数式的值4.一次函数的图象和性质5.根据函数图象经过的象限求参数6.根据一次函数的增减性求参数7.比较一次函数值的大小8.一次函数图象与坐标轴的交点问题9.画一次函数图象10.判断两个一次函数图象的共存问题11.一次函数图象平移问题12.一次函数的规律探究问题一、函数的自变量的取值范围（1）自变量的取值范围函数自变量的取值范围是根据函数的表达式的形式来考虑的，表达式的形式主要有以下几种：整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零.在实际问题中，自变量的取值范围必须保证每个量都有意义.（2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值．二、函数的图象及画法（1）函数的图象：对于一个函数，把自变量与对应的函数值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形.如：某天气温随时间的变化．（2）已知函数的表达式，绘制函数图象步骤：=1\*GB3①确定自变量的取值范围；=2\*GB3②列表：列出若干自变量与对应的函数值；=3\*GB3③描点：在坐标轴上对应点描点；=4\*GB3④连线：用平滑曲线依次连接.三、一次函数与正比例函数的概念（1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.故正比例函数是特殊的一次函数.（2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数的表达式的一对x，y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标为x，纵坐标为y，方程成立.（3）两个函数图象的交点坐标：就是两个表达式组成的方程组的解.四、一次函数（，为常数，）的图象与性质（1）一次（正比例）函数的图象是一条直线；（2）已知两点可以作图，也可求出表达式；（3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）；（4）所经过象限及函数的增减性（过第一、二象限）（过第三、四象限）（过原点）（过第一、三象限）随的增大而增大经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限（过第二、四象限）随的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限五、一次函数（，为常数，）沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式平移平移变换后的函数关系式沿轴向上平移个单位长度向下平移个单位长度沿轴向右平移个单位长度向左平移个单位长度六、一次函数（，为常数，）关于坐标轴对称后的函数关系式关于坐标轴对称对称变换后的函数关系式关于轴对称关于轴对称七、由函数图象比较函数值的大小函数图象上的点（x，y）是由适合函数的表达式的一对x，y的值组成的，x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低.1.一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.特别注意的是自变量的指数是1，自变量的系数不为0.2.一次函数的图象和性质是需要重点掌握的内容.表达式是一条直线，能求解与x轴，y轴的交点坐标，可以判断一次函数图象经过的象限，以及一次函数的增减性.考点剖析考点一、识别一次函数例题1：下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①②④是一次函数，③不是一次函数，⑤需要添加这个条件才是一次函数，⑥不是一次函数，故选C．考点二、根据一次函数的定义求参数例题2：已知函数是关于的一次函数，则m=，若该函数是正比例函数，则m=，n=．【答案】，，0【解析】当函数是关于的一次函数时，，且，解得；当函数是关于的正比例函数时，，，且，解得，．考点三、已知点在直线上求代数式的值例题3：已知点在函数的图象上，则．【答案】2013【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴，∴．故答案为：2013．考点四、一次函数的图象和性质例题4：关于一次函数，下列说法正确的是（

）A．图象经过第一、二、四象限 B．当时，C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．图象与y轴交于点【答案】B【解析】A、由，则图象必过第二、四象限，由，则图象还过第三象限，即函数图象过第二、三、四象限，故本选项错误；B、令，则，又，y随x的增大而减小，则当时，，故本选项正确；C、，y随x的增大而减小，故本选项错误；D、令，则，图象与y轴交于点，故本选项错误；故选B．考点五、根据函数图象经过的象限求参数例题5：在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第二象限，则的值可以是．（请写出一个符合的值）【答案】（答案不唯一）【解析】∵一次函数的图象不经过第二象限，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴，∴可取．故答案为：（答案不唯一，为正值即可）．考点六、根据一次函数的增减性求参数例题6：当时（写出m的一个值），一次函数的值都是随x的增大而减小．【答案】1（答案不唯一）【解析】一次函数的值都是随x的增大而减小，，，取时，一次函数的值都是随x的增大而减小，故答案为：1（答案不唯一，即可）．考点七、比较一次函数值的大小例题7：若点，都在一次函数的图象上，则．（用“”或“”填空）【答案】【解析】由题意，，随的增大而增大，，，故答案为：．考点八、一次函数图象与坐标轴的交点问题例题8：一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．(2)求的长．(3)已知横、纵坐标均为整数的点称为整点，直接写出内（不含边界）的所有整点坐标．【解析】（1）在中，令，则，即；令，则，即.（2）∵，，∴.（3）如图，易知一次函数的图象经过，和，四个整点，则内（不含边界）的整点为，，，．考点九、画一次函数图象例题9：已知函数．(1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x…_____……____4…(2)在函数中，随着x的增大，y将______（填“增大”或“减小”）；(3)当时，求x的取值范围．【解析】（1）∵，∴列表如下表.画图如图.（2）∵，∴，∴y随x的增大而增大，故答案为：增大．（3））由表格可知，当时，．当时，，，∴当时，x的取值范围是．考点十、判断两个一次函数图象共存问题例题10：下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中为常数，且）的大致图象，其中表示正确的是（）A．

B．C．D．

【答案】A【解析】A．由一次函数的图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故本选项符合题意；B．由一次函数的图象可知，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，故本选项不符合题意；C．由一次函数的图象可知，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，故本选项不符合题意；D．由一次函数的图象可知，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，故本选项不符合题意；故选A．考点十一、一次函数图象平移问题例题11：在平面直角坐标系中，直线沿轴方向向上平移了个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，则的值为．【答案】2【解析】∵，∴当时，，当时，，∴直线与坐标轴的交点坐标为：，∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为；把直线沿轴方向向上平移了个单位长度后，得到的新函数的表达式为：，当时，，当时，，∴直线与坐标轴的交点坐标为：，∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为；∴，∴，∴或（不合题意，舍去）．故答案为：2．考点十二、一次函数的规律探究问题例题12：正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是．【答案】【解析】当时，，点的坐标为．∵四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为．同理，可得：，，，点的坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为．故答案为：．过关检测一、选择题1．下列各点中在直线上的是（

）A． B． C． D．2．下列函数：①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（）A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小C．图象经过点 D．图象与y轴的交点是4．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（

）A． B． C．D．5．已知一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（

）A．一次函数的图象经过点B．一次函数的图象经过第一、二、三象限C．一次函数的图象向下平移4个单位长度可得到正比例函数的图象D．两个函数中，y的值均随着x值的增大而增大二、填空题6．点和点都在直线上，则．（填“＞”“＜”“”或“”）7．已知是关于x的一次函数，则k的值为．8．已知点在一次函数的图象上，则．9．把直线向左平移a个单位长度后，与直线的交点的纵坐标为8，则a的值为．10．如图，直线经过点A，，点在坐标轴上，且，则点的坐标为．三、解答题11．已知y与成正比例，且时，．(1)求y关于x的函数表达式；(2)当时，求y的值．12．已知一次函数，完成下列问题：(1)在直角坐标系中画出该函数的图象；(2)观察图象，当时，y的取值范围是_______；(3)将直线平移后经过点，直接写出平移后的直线表达式________．13．已知一次函数．(1)根据关系式画出函数的图象；(2)求出图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标；(3)求A、B两点间的距离；(4)y的值随x值的增大怎样变化？14．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点．(1)若，两点在该函数图象上，且，则______；(2)求的长；(3)求点到直线的距离．15．如图，平面直角坐标系中，直线（）与x轴、y轴