广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末考试数学

湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试高二数学说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过和两点直线的斜率是（）A.1 B. C. D.2.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（）A.11 B.13 C.63 D.783.若圆被直线平分，则（）A. B.1 C. D.24.函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（）A.在处的切线的斜率大于0 B.是函数的极值C.在区间上不单调 D.是函数的最小值5.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（）喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生52025女生151025合计203050参考数据及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510828A.不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关B.根据小概率的的独立性检验认为两者有关C.根据小概率的的独立性检验认为两者有关D.根据小概率的的独立性检验认为两者无关6.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）A.20 B.25 C.225 D.4507.如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（）A. B. C. D.8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（）A. B.3 C. D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.10.已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.如图，在棱长为2正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（

）A.存在点E，使得平面B.当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2C.点E到直线的距离的最小值为D.当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.12.展开式中项的系数为________.13.已知，若为奇函数，则______.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记等差数列的前项和为，已知，且．（1）求和；（2）设，求数列前项和．16.四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．（1）求证:平面平面；（2）当为中点时，求二面角的正弦值．17.已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．18.学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.19已知函数.（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；（2）在（1）条件下，判断函数的单调性；（3），若是的极大值点，求a的取值范围.湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试高二数学说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过和两点的直线的斜率是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜率公式可得.【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率.故选：A2.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（）A.11 B.13 C.63 D.78【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程为一定过点，先求出，代入回归方程即可得出，进而可得的值.【详解】依题意，因为，所以，因线性回归方程为一定过点，所以，所以.故选：D.3.若圆被直线平分，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得.故选：D.4.函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（）A.在处的切线的斜率大于0 B.是函数的极值C.在区间上不单调 D.是函数的最小值【答案】A【解析】【分析】根据的图像分析的单调性和最值，即可判断BCD；对于A：根据导数的几何意义分析判断.【详解】由图象可知：当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）；可知在内单调递减，在内单调递增，则为的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误；对于A：可知，即在处的切线的斜率大于0，故A正确；故选：A.5.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（）喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生52025女生151025合计203050参考数据及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关B.根据小概率的的独立性检验认为两者有关C.根据小概率的的独立性检验认为两者有关D.根据小概率的独立性检验认为两者无关【答案】B【解析】【分析】根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值比对即得.【详解】由数表知，，而，所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关．故选：B6.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）A.20 B.25 C.225 D.450【答案】C【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法，所以甲和乙不同的选择方法有种.故选：C7.如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得到，再平方求解.【详解】解：由题意得，故，，则.故选：C.8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（）A. B.3 C. D.6【答案】D【解析】【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和即得.【详解】依题意，，即是公差为2的等差数列，而，于是，即，则，所以数列的前24项和为：.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断.【详解】依题，，解得故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.10.已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性.【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，所以，故D正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（

）A.存在点E，使得平面B.当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2C.点E到直线的距离的最小值为D.当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC，利用两平面的法向量的夹角即可求解D.【详解】对A选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图：则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，设,2,，所以，，，假设存在点，使得平面，则，，解得，所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；对于B，点E为线段的中点时，,,,设平面的法向量为，则，取，则，,故点到平面的距离为，故B正确，对C选项,,2,，,点到直线的距离为，故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误；对D选项，点E为线段的中点时，,,,设平面的法向量为，则，取，则，设,,,设平面的法向量为，则，取，则，若存在点，使得平面与平面所成角为，则，化简得，解得或，由于，所以，故D正确，故选：ABD．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.12.展开式中项的系数为________.【答案】30【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.【详解】展开式的通项表达式为，当时，，.故答案为:30.13.已知，若为奇函数，则______.【答案】0【解析】【分析】求导后利用奇函数的性质得到，代入计算再结合指数函数的性质可得结果.【详解】，因为为奇函数，所以，即，化简可得，因为，所以.故答案为：0.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______．【答案】【解析】【分析】引入参数，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，运用余弦定理可得出，结合离心率公式即可得解.【详解】

在中，设，由正弦定理得，则，所以由双曲线的定义可知，，故，在中，，解得，所以在中，，，，又，解得，所以离心率．故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与的关系，进而结合离心率公式即可得解.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记等差数列的前项和为，已知，且．（1）求和；（2）设，求数列前项和．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；（2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设的公差为，因为，所以，又，所以，解得，所以，．【小问2详解】，所以．16.四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．（1）求证:平面平面；（2）当为中点时，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证；（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】底面是正方形，，平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面．【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，所以，所以，即二面角的正弦值为.17.已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入法求得值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；（2）由余弦定理可得．【小问1详解】因为点M（1，m）在椭圆上，所以，因为m>0，所以，因为a＝2，b＝1，所以，所以，，所以【小问2详解】因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝，因为∠F1MF2是钝角，所以，又因为，所以，解得，故横坐标x0的范围为.18.学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）13个工时【解析】【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.【小问1详解】设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.则，所以【小问2详解】依题意知服从超几何