大学物理课件：刚体定轴转动

刚体定轴转动教学基本要求一.理解描写刚体定轴转动的物理量：力矩、转动惯量、角动量等概念；二.掌握刚体绕定轴转动的转动定理；三.理解刚体定轴转动的转动动能，正确应用机械能守恒定律；四.掌握运用刚体定轴转动规律解决刚体简单系统力学问题的方法.1.刚体：系统内任意两质点间距保持不变；2.刚体的一般运动形式：平动＋转动；刚体平动质点运动平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或刚体内任意两点间的连线总是平行于其初始位置的连线。3.刚体的定轴转动：刚体的转轴是一定直线；本节内容：刚体运动学；4.1刚体定轴转动的角量描述2.角位移

1.角坐标

方向:右手螺旋方向；

（逆正、顺负）<0q0>q规定：逆时针方向转动：顺时针方向转动：(1)3.角速度矢量(2)4.1.1刚体定轴转动的角速度和角加速度5.角加速度

4.刚体定轴转动:转动方向可用角速度的正负表示；(3)a.刚体上每一质点均作圆周运动；b.刚体上任一质点的角量均相同（线量一般不同）；c.刚体运动的描述仅需一个坐标：；6.定轴转动的特点:4.1.2刚体匀变速转动公式

刚体定轴匀变速转动质点匀变速直线运动刚体匀变速转动：其定轴转动的角加速度为恒量；4.1.3.角量与线量的关系1.角量2.角量与线量关系例题4.1.1回转工作台是铣床的主要附件之一，可分别以立式与水平两种方式安装于主机工作台。回转工作台立式放置与尾座配合使用时，可对较复杂的工件进行圆周分度钻削或铣削，广泛应用于汽车零部件制造、机械加工等行业。设回转工作台以角加速度

由静止状态加速转动。试求：（1）工作台转足10圈需要多长时间；（2）何时工作台转速达到

。解利用表4.1中匀变速转动公式即可求解此题（1）由

得：

解得：（2）由匀变速角加速度公式可得：例题4.1.2训练宇航员适应高加速环境的离心机如图所示，设宇航员所在处距离心机圆心

，试求（1）若宇航员法向加速度的值为

，离心机的恒定角速度多大？（2）若离心机在

内由静止匀加速到上述恒定角速度，宇航员的切向加速度多大？解（1）由于角速度恒定恒定，故有：（2）离心机的角加速度为：

姑离心机边缘处的切向加速度为：1.力矩：使刚体产生角加速度的物理量；

2.转动定律：刚体定轴转动的动力学方程；3.转动惯量：刚体定轴转动惯性的量度；本节内容：刚体动力学；4.2刚体定轴转动定律

:力臂力矩：刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢，则

对转轴Z的力

1.力矩P*O(1)矩为：4.2.1刚体定轴转动定律

注意：

1.若力不在转动平面内，则可把力分解为平行、垂直于转轴方向的两个分量：其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩为:O3.刚体内力矩互相抵消：o注意：内力矩对刚体动力学效应无贡献；2.合力矩等于各分力矩的矢量和：(2)例题4.2.1研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质量

，半径

，与工件间的滑动摩擦因数为

。解：分析

摩擦力矩在卡盘不同部位是不同的，如图所示在卡盘上取一半径为r、宽为dr的细圆环：细圆环的质量:细圆环受到的摩擦力矩:则整个卡盘所受到的摩擦力矩

(1)(2)(3)O设质点与转轴刚性连接，F作用于转动平面内：O刚体质元受外力，内力，则有：外力矩内力矩2刚体定轴转动定律刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与其所受合外力矩成正比，与刚体对该定轴的转动惯量成反比.

定义转动惯量：刚体定轴转动的转动定律：例题4.2.2轴流式通风机的叶轮以初角速度

绕过O点的转轴转动如图所示。设叶轮所受空气阻力矩大小与

的平方成正比，比例系数

。若叶轮对转轴O的转动惯量为

，轴与叶轮间的摩擦不计，试求：（1）经过多长时间叶轮的

减为

的一半；（2）在该时间间隔内叶轮转过的转数。解：分析

由刚体定轴转动定律可解。（1）由题意知叶轮所受阻力矩方向与其转动方向相反，其大小为：(1)由刚体定轴转动定律得：对上式分离变量并积分得：得到所需时间为：(2)(4)(3)（2）由刚体定轴转动定律得：对上式分离变量并积分得：得转过的转数为：(5)(6)例题4.2.3质量

的两物体分别悬挂在质量

的定滑轮两端如图示。设定滑轮半径

，且滑轮与绳索间无滑动，轮与轴承间的摩擦力及绳索质量均忽略不计，试求（1）两物体的加速度；（2）绳中的张力。解：分析

本题的研究对象由两物体与定滑轮构成刚体系。两物体均可简化为质点，定滑轮简化为定轴转动圆盘，于是受力分析如图所示。故由刚体定轴转动定律及牛顿第二定律联立可求解。对分别选竖直向下、上为正建立一维坐标系，设：由两物体受力分析图示，应用牛顿第二定律得：对定滑轮应用定轴转动定律得：且有：滑轮对其中心轴的转动惯量：(2)(1)(3)于是得：(4)1.物理意义：转动惯性的量度；(1)(1)质量离散分布刚体的转动惯量：(2)2.转动惯量的计算方法：4.2.2

刚体的转动惯量(2)质量连续分布刚体的转动惯量(3)(积分遍布整个刚体)注意：1.r是dm距离转轴的垂距；

2.积分遍布整个刚体；

3.关于质量元：（三种情况）；(2)对质量面分布的刚体：：质量面密度；(3)对质量体分布的刚体：：质量体密度；(1)对质量线分布的刚体：：质量线密度；例题4.2.4质量为

，长度为

的均匀细杆，试求细杆对如下定轴的转动惯量。（1）转轴

过中心并与杆垂直；（2）转轴

过杆的端点并与杆垂直。解

分析建如图所示坐标系，质量连续分布，写微元积分即可得结果。在

处取长为的质元质量为:

质元对轴转动惯量为：（1）细杆对轴转动惯量细杆对轴转动惯量为：（2）同理细杆对转轴的转动惯量：讨论：1.结论：同一刚体对不同转轴，对应不同转动惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！

2.由上述结果看出：平行轴定理：质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为

，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量为：4.2.3平行轴定理由例题4.2.4结果：细杆对通过杆端点且与杆垂直转轴的转动惯量为：4.3.1刚体定轴转动的角动量定理

1.刚体对定轴的角动量定轴转动时刚体上各质元绕同一轴做圆周运动，各质元的角动量为：刚体定轴转动的角动量：结论：刚体对定轴的角动量等于刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘积。4.3刚体定轴转动的角动量守恒定律2.刚体定轴转动的角动量定理刚体对转轴的角动量定理：作定轴转动时刚体对转轴的角动量随时间的变化率，等于刚体相对同一转轴所受外力的合力矩。刚体对定轴角动量定理的积分形式：转动刚体所受

合外力矩的冲量矩，等于转动刚体在该时间间隔内角动量的增量。4.3.2刚体定轴转动的角动量守恒定律1.刚体对定轴的角动量守恒定律，则若刚体对定轴的角动量守恒定律：定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量守恒。d.角动量守恒定律是自然界的基本定律；b.内力矩不改变系统的角动量；c.在冲击等问题中常量；不变，不变，不变.

变，也变，不变.a守恒条件:讨论：刚体角动量守恒举例：A.动量守恒定律；B.能量守恒定律；C.角动量守恒定律；D.电荷守恒定律；E.质量守恒定律；F.宇称守恒定律；a.花样滑冰、花样跳伞等；b.跳水运动；c.直升机的设计；自然界的守恒定律：

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

例题4.3.1机械动力传递技术常用摩擦啮合器使两个飞轮啮合，以达到动力传递的目的。如图所示C为摩擦啮合器，忽略其质量不计，若已知飞轮A、B的转动惯量分别为

，且初始状态A的转速

，B静止。设A、B两飞轮啮合后一起转动，试求其角速度。设为两飞轮啮合后共同角速度：解：分析以飞轮A、B和啮合器

C

作为刚体系统考虑。啮合过程系统受到轴向正压力、重力、支持力和啮合器之间的切向摩擦力，前三者对转轴的力矩为零，啮合器之间的切向摩擦力对转轴有力矩，但为系统内力矩，系统受到的外力矩为零，故系统的角动量守恒。注意到啮合器C质量不计，因此有：例题4.3.2质量

、半径

的圆盘，绕过圆心

且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速度为

。如图所示若有两个质量为相同、速度大小相同、方向相反并沿同一直线发射的子弹，且子弹同时射入圆盘并驻留盘内一起转动，已知

点到该直线的距离为

，试求子弹射入后瞬间圆盘的角速度。整理得：解：分析将圆盘与子弹视为刚体系统，由于两子弹质量相同，故当子弹同时射入圆盘瞬间，作用于系统的合外力矩为零，即两子弹所受重力的力矩为零，系统的角动量守恒，故得到：1、力矩的功2、力矩的功率(1)力矩的功：(2)(3)4.4刚体绕定轴转动的动能定理4.4.1

力矩的功4.4.2刚体绕定轴的转动动能2、刚体绕定轴转动的动能定理(4)(5)1、刚体绕定轴的转动动能刚体绕定轴转动动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量.(6)刚体绕定轴转动的机械能：(6)例题4.4.1

长

、质量

的匀质木棒如图所示，可绕水平轴O在铅直平面内转动，初态木棒自然铅直悬垂，设质量为的子弹以

的速率从A点射入棒中并与棒一起运动。已知A、O两点间距

，试求：（1）棒开始运动时的；（2）棒的最大偏转角度。解：分析将子弹与木棒视为刚体系，子弹射入木棒瞬间，系统所受重力及轴对木棒的约束力均过转轴O，因此对转轴的合外力矩为零，故系统角动量守恒。（1）设木棒铅垂、子弹未射入时为刚体系初态，子弹射入棒开始运动时为刚体系末态，由角动量守恒定律得：解得棒开始运动时刚体系的角速度为：

（2）把木棒、子弹、地球视