251直线与圆的位置关系（第1课时）（教学设计）高二数学选择性（人教A版2019）

2.5.1直线与圆的位置关系（第1课时）教学设计教学目标理解直线和圆的三种位置关系．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．会用代数法来判断直线与圆的位置关系．能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题．教学重难点重点：会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数法来判断直线与圆的位置关系．难点：能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题.学情分析与教材分析学情分析：学生刚刚学完直线的方程与性质及圆的方程，研究直线与圆的位置关系即为学生的眼前问题，而且有直线与直线位置关系研究的经验，学生应该可以想到“联立求解”的方法，通过分析交点个数研究直线与圆的位置关系，但是数形结合的方法需要教师的点拨，求弦长问题需要强化练习。教材分析：本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线与圆的位置关系。学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系，本章已经学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。教学过程创设情境，引入新知教师：古诗里描写道：“海上生明月，天涯共此时。”，它生动地描绘了月出的绚丽景象。大家有没有想过，在月出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？学生：思考并回顾初中知识，马上得出答案回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．教师：教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法.设计意图：直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.教师：在前面平面解析几何学习中，我们学习了：①直线的方程，圆的方程；②用方程研究两条直线的位置关系，请思考：类比用方程研究两条直线位置关系的方法，如何利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的三种位置关系呢？学生：类比思考，带着问题进入本届新课.新课探究回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？学生：回顾所学知识，翻阅相关笔记，得出答案联立两条直线方程，构成方程组，方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系.探究：类比以上方法，得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法.师生：类比探究，与同桌进行讨论，得出答案，教师巡视，适当提示.联立直线方程和圆的方程，构成方程组，代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数，从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系.应用新知例1已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.预设：联立直线与圆的方程，得消去，得，所以方程③有两个解，直线与圆有两个公共点所以，直线与圆相交的位置关系为：相交．教师：以上判断直线与圆的位置关系的方法，称之为代数法.追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长?师生：共同分析，已判断直线与圆有两个交点，若能求出两个交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长.学生：根据共同分析的思路进行自主求弦长.预设：解方程，得，．把，分别代入方程①，得，．所以，直线与圆的两个交点是，．因此所求弦长．师生：共同总结，1、代数法判断直线与圆的位置关系的步骤：①联立：将直线方程和圆的方程联立②消元：消元得到一元二次方程③算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性④定论：根据∆的正负性，下结论2、代数法计算弦长：计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；预设：联立直线与圆的方程，得消去，得，所以所以，直线与圆相交，有两个公共点，它们位置关系为：相交.解方程③得，分别代入方程①，得，．所以，直线与圆的两个交点是，．因此所求弦长．新课探究思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？学生：观看动画，思考分析，寻找其他方法判断直线与圆的位置关系.教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？d:圆心到直线的距离，r：圆的半径学生：自主分析总结，并得出结论：应用新知例1已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．学生：根据刚刚的探究，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.预设：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．QUOTE所以直线l与圆C相交，有两个公共点．教师：以上判断直线与圆位置关系的方法，称之为几何法.追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长?知识小贴士：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧师生：根据垂径定理，可以构造一个直角三角形，然后利用勾股定理即可求得弦长.学生：根据共同分析的思路进行自主求弦长.预设：解如图，由垂径定理，得，解得师生：共同总结，1、几何法判断直线与圆的位置关系的步骤：①算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r.②算d：计算圆心到直线的距离d，③下结论：根据d与r的大小关系，下结论2、几何法计算弦长：借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；预设：圆的方程圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．QUOTE所以直线l与圆C相交，有两个公共点．由垂径定理，得．思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？学生：回顾初中知识，并比较总结，得出结论：用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？学生：相互讨论和探讨，得出结论：解法1，即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大.解法2，即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系.利用图形的几何性质，有助于简化计算.例2过点作圆的切线，求切线的方程．师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，联立消元后的一元二次方程只有个解，即，从而求出学生：根据刚刚的共同分析，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.预设：设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2．因为直线与圆相切，所以方程组，只有一组解．消元，得．①因为方程①只有一组解，所以．解得或．因此，所求切线的方程为，或．教师：以上求切线方程的方法为：代数法师生：共同总结，1、代数法求圆外一点的切线方程：①设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论；②写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y③联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算∆；④列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程2、注意事项：①过圆外一点的切线一定会有两条②若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在例2过点作圆的切线，求切线的方程．师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，圆心到直线的距离d=r，从而求出学生：根据刚刚的共同分析，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.预设：设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2，即．由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得QUOTE1−2𝑘𝑘2+1=1，解得或．因此，所求切线的方程为，或．师生：共同总结，1、几何法求圆外一点的切线方程：①设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论；②写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y③算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r；④列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程；2、注意事项：①过圆外一点的切线一定会有两条②②若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在例2过点作圆的切线，用两种方法求切线的方程．师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；预设：法一：1°当切线的斜率不存在时，即切线的方程为,易知，直线与圆相切，符合题意；2°设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2．因为直线与圆相切，所以方程组，只有一组解．消元，得．①因为方程①只有一组解，所以．解得．因此，所求切线的方程为，或．法二：1°当切线的斜率不存在时，即切线的方程为,易知，直线与圆相切，符合题意；2°设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2，即由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得QUOTE1−2𝑘𝑘2+1=1，解得．因此，所求切线的方程为，或．能力提升题型一：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围例题1已知直线方程,圆的方程.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?法一：将直线代入圆的方程,得,∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点;当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点;当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.法二：已知圆的方程可化为(x2)2+(y1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线的距离.∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点;当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点;当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法总结：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，利用∆>0（相交）、∆<0（相离）、∆=0（相切）建立不等式（方程）即可解出参数的范围（值）几何法：求圆心到直线的距离d和圆心半径r，利用d<r（相交）、d>r（相离）、d=r（相切）建立不等式（方程）即可解出参数的范围（值）题型二：求过圆上一点的圆的切线方程例题2已知过点P(2,2)的直线l与圆相切,求直线l的方程.法一：圆的圆心坐标，半径，又，所以，易知在圆上，且直线l与圆相切所以，所以所以，所求切线方程为：，即法二：圆的圆心坐标，半径，设过点的直线的斜率为，（1）当k不存在时，直线l为：，易知与圆不相切，不符合题意；（2）当k存在时，则直线方程，即，由于直线和圆相切，故，得，所以，所求切线方程为：，即方法总结:求过圆上一点P的圆C的切线方程法一：先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程.法二：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程.注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在.题型三：过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题例题3已知圆，直线.求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.预设：直线，可化为，联立解得故直线恒过定点.由，配方得，所以圆心，半径为，直线恒过定点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短.因为直线的斜率为，故直线的斜率为，解得.此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为.方法总结：过圆内一定点动直线被圆截的最短、最长弦长问题先求动直线的定点坐标，若定点在圆内，则该动直线被圆截的弦长有最大值和最小值：最大值：当动直线同时过定点和圆心时，弦长最长，为直径；最小值：当定点为弦的中点时，即定点与圆心的连线与动直线垂直时弦长最短，结合垂径定理，构造直角三角形，勾股定理可求最短弦长.课堂小结随堂限时小练1．直线与圆的位置关系为（）A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心C．相切 D．相离【详解】圆，即，其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系为相切.故选：C2．若圆被直线平分，则（

）A．2 B． C． D．【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得.选D.3．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为．【详解】联立直线和圆，解得，设圆的标准方程为，则有，解得，所以圆的标准方程为.4．已知圆，则圆在点处的切线方程为．【详解】因为点在圆上，又的圆心为，所以，易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：，所以圆在点处的切线方程为，即．5．过点M（2，4）向圆引切线，求其切线的方程．【详解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外．当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直线与圆相切，故，解得．所以切线方程为24x－7y－20＝0．又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2．6．直线与圆交于两点，则弦的长（

）A． B． C． D．【详解】设圆的圆心为，半径，因为到直线的距