寒假作业03图形的旋转与中心对称-2024年九年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业03图形的旋转与中心对称1.旋转1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点P旋转后得到点，这两个点叫作对应点.2）旋转三要素：=1\*GB3①旋转方向；=2\*GB3②旋转中心；=3\*GB3③旋转角度3）旋转的性质：=1\*GB3①旋转前后图形全等；=2\*GB3②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；=3\*GB3③对应点到旋转中心的距离相等.4）旋转的作图：=1\*GB3①确定旋转中心、旋转方向、旋转角（三要素）；=2\*GB3②确定图形关键点；=3\*GB3③将图形关键点与旋转中心连接起来，按规律旋转（角度、距离），得到对应点；=4\*GB3④依次连接对应关键点.2.中心对称1）中心对称的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称.该点叫作对称中心.（两个图形）2）中心对称的性质：①两图形全等；②对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分（旋转180°）；③对应线段平行（绕直线外旋转180°——平行）.3.中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°后，如果旋转后图形与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.（一个图形）4.关于原点对称的点的坐标：点P（x，y）关于原点对称的点为Q（－x，－y）.1．下列图形中，是中心对称图形的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选B．2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】两个点关于原点对称，∴这两个点的坐标符号相反，点关于原点对称的点的坐标是．故选C．3．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（

）A．点A与点是对称点B．C． D．【答案】D【解析】A．∵与关于点O成中心对称，点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意；B．∵对应点到对称中心的距离相等，∴，故B正确，不符合题意；C．∵与是对应线段，∴，故C正确，不符合题意；D．与不是对应角，∴不成立，故D符合题意．故选D．4．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【解析】由旋转的性质得：，，∴，∵，，∴，∴．故选B．5．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【解析】如图，由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，∵三条线段的垂直平分线正好过点B，∴旋转中心是点B．故选B．6．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【解析】∵，∴，∴整个函数图象，每隔个单位长度，函数值就相等，∵，∴m的值与时的函数值相同，由旋转的性质可得，∴，∴所在的抛物线方程为，当时，.故选A．7．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】过点作轴于，轴于，在等腰中，，，，，，，将绕原点逆时针旋转，得到，，，，，，，，故选B．8．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．(1)若，，求的长；(2)若，，连接，求的度数．【解析】（1）将绕点顺时针旋转得到，∴，∴，，∴，∴的长为．（2）如图所示，连接，由（1）可知，，∴，∴是等腰三角形，在中，，∴，∴，∴的度数为．9．如图，在平面直角坐标系中有点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）．(1)求的长度；(2)直接写出旋转中心的坐标；(3)将点绕着（2）中的旋转中心作与线段一样的旋转变化，直接写出对应点的坐标．【解析】（1）∵点，，∴．（2）设旋转中心，∵点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）．∴，∴，解得，故旋转中心为．（3）∵，点，，∴，，∴，∴旋转变换是以P为中心，逆时针旋转，设点O变换的对应点是M，∴．10．如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)与关于原点对称，写出点、、的坐标；(2)是绕原点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标．【解析】（1）如图，即为所求，，，；（2）如图，即为所求，，，．11．把一副三角板如图甲所示放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到（如图乙所示），此时与交于点，则线段的长度为（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【解析】∵，，∴，则．∵旋转角为，∴．又∵，∴是等腰直角三角形，则，，∵，∴，则．在中，根据勾股定理可得．故选D．12．如图，已知绕点A逆时针旋转（）得到，且，交于点，交、于点、，则以下结论：①；②；③连接、，则；④当的长度最大时，平分．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】绕点A逆时针旋转得到，，，，，，，，，，，故①正确；，，，，，，又，，，故②错误；连接、，，，垂直平分，故③正确；当最大时，即最短，，，平分，故④正确．故正确的个数是3个，故选C.13．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为；；；；．其中正确的结论是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，∵，，∴是等边三角形，∴，故正确；∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴为直角三角形，，∵是等边三角形，∴，∴，故正确；过点作，交的延长线于点，则，∵，∴，∴，故错误；过点作于点，∵是等边三角形，∴，∴，∴，故正确；将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点，易知是边长为的等边三角形，是边长为的直角三角形，∴，故正确；∴①②④⑤正确，故选．14．如图，直线：分别与轴、轴交于点、，将绕点逆时针旋转得到直线，则对应的函数表达式为．

【答案】【解析】∵当，当时，，∴，∴,如图所示：过点作交于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，

，，，又，，在与中，，，，，则点的坐标是，．设直线的解析式是，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：．故答案为：．15．如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．①与面积相同；②；③若，连接和，则；④若，，，则．【答案】①②③【解析】延长，并截取，连接，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，根据旋转可知，，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即与面积相同，故①正确；∵，，∴是的中位线，∴，∵，∴，故②正确；当时，，∴，，，，∵，∴，即，故③正确；∵，∴根据②可知，，∵当时，，为中线，∴，∴，∴，∴，故④错误.综上分析可知，正确的是①②③．16．已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D，则的长度为．【答案】【解析】如图所示，过点作于点，

∵等腰中，，．∴，∴，,∴，如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转时，过点作交于点，

∵，∴，，在中，，，∵等腰，，．∴，∵以点为旋转中心逆时针旋转，∴，∴，，在中，,∴，∴，∴；如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转时，过点作交于点，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴.综上所述，的长度为或，故答案为：或．17．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由旋转性质可得：，，∵，∴，，∴，故选B．18．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】过点作，如图：则.由题意可得：，，∴，∴，∴，，∴点的坐标为，故选B.19．（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接，相交于点O，与交于点E，

∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，，∴，∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，∴，∴A，，C三点共线，∴，又∵，∴，，∵重叠部分的面积，∴重叠部分的面积；②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，故选A．20．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

【答案】/【解析】∵为高上的动点．∴.∵将绕点顺时针旋转得到，是边长为的等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则.在中，，则，则当三点共线时，取得最小值，即.∵，，，∴，∴.在中，,∴周长的最小值为，故答案为：．21．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是．【答案】【解析】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，∴旋转3次为一个循环，∵，∴点在射线的延长线上，∴点在x轴的正半轴上，∵，是正三角形，∴由旋转的性质可得，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴同理可得，，，∴，∴，∴，∴由旋转的性质可得，，∴如图所示，过点作轴于点E，∵，∴，∴，∴，，∴点的坐标是．故答案为：．22．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角