专题11二元二次方程组的列方程（组）解应用题（5大考点5种题型）

专题11二元二次方程组的、列方程（组）解应用题（5大考点+5种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：二元二次方程考点二：二元二次方程组考点三：二元二次方程组的解法考点四：一元二次方程的应用考点五：分式方程的应用考点一：二元二次方程考点二：二元二次方程组考点三：二元二次方程组的解法(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.考点四：一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．考点五：分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．题型一：二元二次方程【例1】．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）写出一个二元二次方程_______________，使得该方程有一个解是．【答案】（答案不唯一）【分析】此题为开放型的题目，答案不唯一，根据二元二次方程的定义及该方程的解直接写出方程即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查二元二次方程的定义，方程的解，理解方程的解和二元二次方程的定义是解题的关键．【变式1】．（2022秋·上海·八年级校考期中）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是______．【答案】x6y=0或x+y=0【分析】把y看成常量，方程就是关于x的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可．【详解】解：x25xy6y2=0，（x6y）（x+y）=0，∴x6y=0或x+y=0．故答案为：x6y=0或x+y=0．【点睛】本题考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成关于x的一元二次方程是解决本题的关键．题型二：二元二次方程组【例2】．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）下列方程组中是二元二次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程组是二元二次方程组，根据定义逐一分析即可．【详解】解：不符合整式方程组的条件，故A不符合题意；不符合整式方程组的条件，故B不符合题意；的最高次项的次数是1，故C不符合题意；符合二元二次方程组的条件，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查二元二次方程组的识别，掌握该定义是求解本题的关键．【变式1】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组的解的情况是（

）A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解C．没有实数解 D．不能确定【答案】B【分析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.【详解】将①代入②，得故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.【变式2】．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和．【答案】（答案不唯一）【分析】根据方程组的解可得，再由平方差公式得到，则可写出满足条件的一个方程组为．【详解】解：方程组的解为和，，，方程组可以是，故答案为：答案不唯一）．【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件写出符合题意的方程组是解题的关键．【变式3】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组的解只有一组，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围．【详解】解：，由，得或，，．当时，代入得：，原方程组的一组解为：，当时，代入得：，原方程只有一组解，无解，．．故答案为：．【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得，是解题的关键．题型三：二元二次方程组的解法【例3】．（2022秋·上海·八年级期中）解方程组.【答案】，，，．【分析】先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．【详解】解：由原方程组变形得：，

由①变形得：y=x，把y=x代入②得：，解得，把代入②解得：，所以解为：，，由③变形得：y=x，把y=x代入②得：，解得，把代入②解得：，所以解为：，，综上所述解为：，，，．【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．【变式1】．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）解方程组：【答案】或【分析】根据①得，即或，分别与②联立解方程组即可求解．【详解】解：由①得，则或，∴或，解得：或．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键．【变式2】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）解方程组：．【答案】【分析】设，，解关于a、b的方程组求出的a、b值，再列出关于x和y的方程组求解即可.【详解】解：设，，则原方程组化为：，解得：，即，解得：，经检验是原方程组的解，所以原方程组的解是．【点睛】本题考查换元法解分式方程组，以及二元一次方程组的解法，掌握换元法是解答本题的关键.【变式3】．（2022秋·上海·八年级校考期中）解方程组：【答案】，【分析】由①可知代入②可得一个关于x的一元二次方程，进行解答，求出x值，再进一步求y即可．【详解】由得：，代入化简得，解得，，分别将，代入，得，．原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，掌握十字相乘法，把原方程组转化为两个二元一次方程组是解决本题的关键．【变式4】．（2022秋·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）解方程组：【答案】【分析】把方程①因式分解得出x与y的关系式，分别带入方程②即可解得．【详解】由①得x=y，x=6y把x=y带入②得把x=6y带入②得【点睛】此题考查了求方程组的解，解题的关键是对方程用十字交叉法进行因式分解．【变式5】．（2022秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程与无理方程是“相似方程”，理由见解析；(2)和，它们是“相似方程”，公共解为(3)或或【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；（2）联立两个两个方程，求出它们的公共解，如果只有唯一解，即说明两个方程是“相似方程”，如果没有唯一解则说明两个方程不是“相似方程”；（3）联立两个方程得到，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可．(1)解：分式方程与无理方程是“相似方程”，理由如下：两边用时乘以得：，∴，∴，∴或，经检验和都是原方程的解；∵，∴，∴，∴，解得或，∴分式方程与无理方程有一个相同的解，∴分式方程与无理方程是“相似方程”；(2)解：联立得：，∴，∴，∴，∴原方程组的解为，∴方程和方程有一个公共解，∴和，它们是“相似方程”，公共解为(3)解：∵关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，∴，∴，当时，即不符合题意；当时，则，∵x、y都是整数，∴或或【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元二次方程，解二元一次方程组等等，正确理解题意是解题的关键．题型四：．一元二次方程的应用【例4】．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据每天的销售利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定的值．【解答】解：设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：，．要求每件盈利不少于25元，应舍去，故为所求．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1】．（2023春•长宁区校级月考）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？【分析】设这周每只文具盒的售价为元，则每只文具盒的利润为元，销量为只，根据总利润是4500元列出方程，即可求解．【解答】解：设这周每只文具盒的售价为元，由题意知：，整理得，解得，即这周每只文具盒的售价为35元．【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】．（2021春•浦东新区期中）联华超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率．（2）从四月份起，联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：销售单价（元34353637383940月平均销售量（件430425420415410405400若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率；（2）利用销量每件商品的利润求出即可．【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为．（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件，设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去），元．答：销售单价应定为35元，商品获利4250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．【变式3】．（2021春•浦东新区月考）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？【分析】根据月利润每件利润月销售量，可求出售价为300元时的原利润，设售价应定为元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月利润每件利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，月销售量为件，依题意，得：，整理，得：，解得：，（舍去）．答：售价应定为250元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型五：分式方程的应用【例5】．（2023春•杨浦区期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？【分析】设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，根据甲计划缴纳养老保险金的年数比乙要多4年，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，根据题意得：，整理得：，解得：，，经检验，，均为所列方程的解，不符合题意，舍去，符合题意．答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式1】．（2023春•松江区期末）松江区于4月22日，举办“”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成．已知厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．【分析】设原计划每天生产对护膝，实际每天生产对护膝，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比计划提前3天完成，可列出关于的分式方程，解答检验即可．【解答】解：设原计划每天生产对护膝，则实际每天生产对护膝，根据题意，可列方程，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），经检验，当时，，是原方程的解，答：原计划每天生产100对护膝．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】．（2022春•静安区校级期中）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．【分析】提速前后路程没变，关键描述语为：“列车从到地行驶的时间减少了”；等量关系为：提速前的列车所用时间提速后的列车所用时间．【解答】解：设提速前的列车速度为．则：．解之得：．经检验，是原方程的解．所以，提速前的列车速度为．因为．所以可以再提速．【点评】考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【变式3】．（2023春•浦东新区校级期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？【分析】设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．【解答】解：设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，由题意得，，解得：，，经检验：，都是原方程的根，但，不符合题意，故舍去，则甲平均每小时骑行千米．答：甲平均每小时骑行10千米，乙平均每小时骑行8千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．一、单选题1．（2023下·上海·八年级专题练习）下列方程组中是二元二次方程组的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程组是二元二次方程组，根据定义逐一分析即可．【详解】解：不符合整式方程组的条件，故A不符合题意；不符合整式方程组的条件，故B不符合题意；的最高次项的次数是1，故C不符合题意；符合二元二次方程组的条件，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查二元二次方程组的识别，掌握该定义是求解本题的关键．2．（2023下·上海宝山·八年级统考期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：．故选：D．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．3．（2023下·八年级单元测试）方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分解因式，将x−y＝1代入可得x＋y＝3，据此可求出x，y．【详解】解：由得：（x＋y）（x−y）＝3，∵x−y＝1①，∴x＋y＝3②，由①＋②得2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入x−y＝1得y＝1，∴方程组的解为，故选：A．【点睛】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是将二次方程通过因式分解和整体代换转化为解二元一次方程组．4．（2023下·上海·八年级专题练习）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式方程的实际应用．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，根据工作时间工作总量工作效率，结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则原计划每天绿化的面积万平方米，依题意得：即．故选：C．5．（2023下·上海·八年级专题练习）二元二次方程组的解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论．【详解】解：，由①得x＝﹣1或y＝2，当x＝﹣1时，代入②得∶y＝1，当y＝2时，代入②得∶x＝±，所以方程组的解或或．故选：C．【点睛】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键．6．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）方程组有实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】①②得出，求出，根据方程组有实数解得出，再求出k的取值范围即可．【详解】解：，①②，得，即，∵方程组有实数解，∴一元二次方程有实数根，∴，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了解高次方程组和一元二次方程根的判别式，方程组消元转化成一元二次方程是解此题的关键．二、填空题7．（2023下·八年级单元测试）已知方程组，消去y，化简后所得到的方程是．【答案】【分析】利用代入消元法即可消去y．【详解】解：，由①得：③，将③代入②得：，化简得：，故答案为：．【点睛】本题考查了代入消元法，解题关键是通过变形将y转化为含有x的式子．8．（2023下·上海·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）写出一个二元二次方程组，使它的的解是和．【答案】（答案不唯一）【分析】根据方程组的解可得，，则可写出满足条件的一个方程组为（答案不唯一）．【详解】解：方程组的解为和，，，方程组可以是，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了高次方程组，能熟记二元二次方程组的定义是解此题的关键，方程组中共含有两个不同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程组，叫二元二次方程组．9．（2023下·上海浦东新·八年级统考期末）写出二元二次方程的一对整数解是．【答案】（任意写一组即可）【分析】根据整数解的条件先确定正整数解，再确定负整数解及其他即可．【详解】解：∵，∴其整数解为或或或或或或或；故答案为：（任意写一组即可）【点睛】本题考查的是二元二次方程的整数解，熟练的求解二元二次方程的整数解是解本题的关键．10．（2023下·八年级单元测试）把方程组，化成两个二元二次方程组是．【答案】，（答案不唯一）【分析】可以把①×2得到③，用③和②组成一个新的二元二次方程组，把②×2得到④，用①和④组成一个新的二元二次方程组即可【详解】解：用①×2得：，②×2得，∴②③组成新方程组为：；∴①④组成新的方程组为：，故答案为：，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了二元二次方程组，熟知相关知识是解题的关键．11．（2023下·八年级单元测试）方程组的解只有一组，则的取值范围是．【答案】【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围．【详解】解：，由，得或，，．当时，代入得：，原方程组的一组解为：，当时，代入得：，原方程只有一组解，无解，．．故答案为：．【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得，是解题的关键．12．（2023下·八年级单元测试）把方程化为两个二元一次方程，它们是和．【答案】【分析】先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或．【详解】解：∵，∴，∴或．故答案为：；．【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解．13．（2023下·上海·八年级专题练习）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为．【答案】（答案不唯一）【分析】分别列两个方程代入x，y的值就可以．【详解】解：把代入符合要求；故答案为：．【点睛】本题考查了二元二次方程组定义，方程组的解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等．14．（2023下·上海·八年级专题练习）甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙两人一起加工，6天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x天．y天可列方程组为．【答案】【分析】根据“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一个等量关系；根据“如果甲乙两人一起加工，6天可加工完”得到第二个等量关系，据此列出方程组即可．【详解】解：由题意，得，故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，工程问题中常用的关系式有：工作时间=工作总量÷工作效率．15．（2023下·上海·八年级期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：．【答案】【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程．【详解】解：由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．三、解答题16．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）解方程组：【答案】或【分析】由②得从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可．【详解】解：由②得：，∴，即或，∴原方程组可化为两个二元一次方程组，，解得：解得：所以原方程组的解是，．【点睛】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键．17．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）．【答案】，．【分析】①②得③，由①得或，和③组成方程组，再得出答案即可．【详解】解：．①②得③，由①得，解得或，和③组成方程组，或，解，得，，解，整理得，没有实数解，故方程组的解为，．【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．18．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）．【答案】，．【分析】由①②得，代入②得出或，和③组成方程组，再得出答案即可．【详解】解：，①②得③，即，把代入②得，整理得，∴或，和③组成方程组，和，解，得，无实数解，，得，．故方程组的解为，．【点睛】本题考查了解二元二次方程方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．19．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）．【答案】，，，【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：将①因式分解得：，∴或将②因式分解得：∴或∴原方程化为：，，，解这些方程组得：，，，∴原方程组的解为：，，，．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．20．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）解方程组：【答案】，【分析】首先对原方程组中的第一个方程进行化简，用含y的表达式表示出x，然后分别重新组合，成为两个方程组，最后解这两个方程组即可．【详解】解：方程可变形为，即为或，∴原方程组可变形为两个方程组①，②；解方程组①，得，解方程组②，得，∴原方程组的解为，．【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合．21．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？【答案】甲、乙两店各进货箱和箱【分析】设甲店进货x箱，乙店进货箱，根据“甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元”列出方程解题即可．【详解】解：设甲店进货x箱，乙店进货箱，列方程得：，解得：或（舍去），经检验：是原方程的解，∴乙店进货（箱）答：甲、乙两店各进货箱和箱．【点睛】本题考查分式方程解应用题，注意分式方程需要验根，解题的关键是分析题意出列方程．22．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据：甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案．【详解】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据题意可得：，解这个方程，得，经检验，都是原方程的根，但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去，万元；答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．23．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，最后，小正同学用42元买了这两种水果，且两者的千克数相同．(1)这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？(2)小正同学最终买了多少千克的水果？【答案】(1)苹果每千克的价格是6元；梨每千克的价格是4元(2)最终购买了千克水果【分析】（1）设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元，根据等量关系：48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，列出分式方程求解即可；（2）设梨和苹果各买了y千克，由题意列出一元一次方程，求解即可．【详解】（1）解：设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元，根据题意得：，解方程得：，，经检验，、都是原方程的解，但不符合题意，故舍去，∴（元）；答：这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元；（2）解：设梨和苹果各买了y千克，由题意得：，解得：，∴（千克），答：最终购买了千克水果．【点睛】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是关键．注意分式方程要检验．24．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）已知甲