第二章第三节二次函数与一元二次方程不等式

第三节二次函数与一元二次方程、不等式课程标准1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.考情分析考点考法:本节是高考的必考内容之一,常与函数、导数、解析几何等内容相结合命题,重点考查不等式的求解等问题.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.【微点拨】二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.3.三个二次的对应关系(其中a>0)判别式Δ=b24acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c的图象方程ax2+bx+c=0的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=b没有实数根ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1,或x>x2}__R__ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀【微点拨】1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.2.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为(m,n),则x=m与x=n为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根.4.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(∞,a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集为(a,a).【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0C.不等式x2≤a的解集为[a,a]D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R【解析】选AB.C.对于不等式x2≤a,当a>0时,其解集为[a,a];当a=0时,其解集为{0},当a<0时,其解集为∅.D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅.2.(必修第一册P52例3变条件)不等式x25x+6≥0的解集为 ()A.{x|6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤6}【解析】选A.不等式x25x+6≥0可化为x2+5x6≤0,即(x+6)(x1)≤0,解得6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|6≤x≤1}.3.(必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合A=x|x2-2x-3≤0,B=xy=A.2,3 B.2,3C.2,3 D.2,3【解析】选C.因为x22x3≤0,所以x+1x-3≤0,即1≤x≤3,所以A=x|-1≤x≤3,B=x|x4.(忽略a=0的情形致误)不等式ax2ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 ()A.0,+∞B.0,+∞C.-∞,-43D.-∞,-43【解析】选B.①当a=0时,1>0成立,②当a≠0时,只需a>0解得a>0,综上可得a≥0,即实数a的取值范围为0,+∞.【巧记结论·速算】1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足a>02.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足a<03.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足a<04.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足a>0【即时练】1.“3<m<1”是“不等式m-1x2+m-1x1<0对任意的x∈R恒成立”的 (A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=1时,m-1x2+m-1x1<0对任意的x∈R当m≠1时,则m<1Δ<0,解得3<m<1,故m的取值范围为{m|3<故“3<m<1”是“3<m≤1”的充分不必要条件.2.若关于x的不等式mx2mx1≥0的解集是⌀,则m的取值范围是 ()A.[4,0] B.(4,0]C.[0,4) D.(4,0)【解析】选B.当m=0时,mx2mx1≥0即1≥0,解集是⌀,当m≠0时,不等式mx2mx1≥0的解集是⌀,需满足m<0解得4<m<0,所以m的取值范围是(4,0].【核心考点·分类突破】考点一一元二次不等式的解法【考情提示】一元二次不等式是高考的热点问题,它常与集合的交集、并集、补集相结合出现在选择题中.含参数的一元二次不等式常与导数、圆锥曲线相交汇出现在解答题中,重点考查分类讨论思想和推理论证能力.角度1不含参数的一元二次不等式[例1]解下列不等式:(1)2x2+5x3<0;(2)3x2+6x≤2;(3)9x26x+1>0;(4)x2<6x10.【解析】(1)因为Δ=49>0,所以方程2x2+5x3=0有两个不相等的实数根,解得x1=3,x2=12画出函数y=2x2+5x3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为{x-3<x<(2)原不等式等价于3x26x+2≥0.因为Δ=12>0,所以方程3x26x+2=0有两个不相等的实数根,解得x1=3-33,x2=3+33,画出函数y=3x26x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为{(3)因为Δ=0,所以方程9x26x+1=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=13.画出函数y=9x26x+1的图象如图③所示.由图可得原不等式的解集为{xx≠(4)原不等式可化为x26x+10<0,因为Δ=4<0,所以方程x26x+10=0无实数根,画出函数y=x26x+10的图象如图④所示,由图象可得原不等式的解集为∅.【解题技法】解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式的解集为R或∅).(3)求:求出对应的一元二次方程的根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.角度2含参数的一元二次不等式[例2]解关于x的不等式.(1)x2+ax+1<0(a∈R);(2)ax2(a+1)x+1<0.【解析】(1)Δ=a24.①当Δ=a24≤0,即2≤a≤2时,原不等式无解.②当Δ=a24>0,即a>2或a<2时,方程x2+ax+1=0的两根分别为x1=-ax2=-a-x-综上所述,当2≤a≤2时,原不等式无解;当a>2或a<2时,原不等式的解集为x-(2)若a=0,原不等式等价于x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等价于x-1a(x1)>0,解得x<1a若a>0,原不等式等价于x-1a(x1①当a=1时,1a=1,x-1a(②当a>1时,1a<1,解x-1a(x1)<0,得③当0<a<1时,1a>1,解x-1a(x1)<0,得1<综上所述,当a<0时,解集为{x|x<1a或x当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1a当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1a<x<1}【解题技法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【对点训练】1.(2024·莆田模拟)不等式1-xx-3<0的解集是A.-1,3B.-3,1C.{xx<1或x>3}D.{xx<3或x>1}【解析】选C.由1-xx-3<0,可得(x1)(x3)>0,所以x<1或x>3,所以不等式的解集为{xx<1或2.不等式-2x+5x【解析】不等式-2x+5x-2>0等价于-2解得2<x<52所以不等式-2x+5x-2答案:x3.(2024·玉林模拟)已知关于x的不等式ax2b≥2xaxa,(1)若不等式的解集为x-2≤x≤-1,求a,(2)若a<0,b=2,解不等式.【解析】(1)原不等式可化为ax2+a-2xb由题知,2,1是方程ax2+a-2xb=0的两根,由根与系数的关系得a<0-a(2)当a<0时,原不等式化为x-当2a>1,即a<2时,解原不等式可得1≤x≤2当2a=1,即a=2时,原不等式即为x+12≤0,解得当2a<1,即2<a<0时,解得2a≤x综上所述,当2<a<0时,不等式的解集为x2当a=2时,不等式的解集为-1;当a<2时,不等式的解集为x-1≤考点二三个二次的关系[例3](1)(2024·通辽模拟)已知不等式ax2+bx1>0的解集为x-12<x<-13,则不等式xA.{x|x≤3或x≥2}B.{x|3≤x≤2}C.{x|2≤x≤3}D.{x|x≤2或x≥3}【解析】选A.因为不等式ax2+bx1>0的解集为x-所以ax2+bx1=0的两根分别为12,13,即-12+-13=-所以不等式x2bxa≥0可化为x2+5x+6≥0,其解集为{x|x≤3或x≥2}.(2)(多选题)(2024·安庆模拟)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x-12<xA.b>0B.c>0C.a+b+c>0D.ab+c>0【解析】选ABC.由题意可知,方程ax2+bx+c=0的解为x1=12,x2=2,且a则ba=x1+x2=32,ca=x1x解得b=32a,c=a令fx=ax2+bx+c=ax232axaa对于A,b=32a>0,故A正确对于B,c=a>0,故B正确;对于C,a+b+c=f1=a32aa=32a>0,故C对于D,ab+c=f-1=a+32aa=32a<0,故D【解题技法】一元二次不等式与方程的关系的解题策略1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.【对点训练】(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为xm<x<n,其中n>mA.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集为xD.cx2+bx+a>0的解集为xx<【解析】选ABC.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为xm<x<n,所以a因为n>m>0,令fx=ax2+bx+c,所以b2a>0,即b>0,故B由上所述,易知f0<0,c<0,由题意可得m,n为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则m+n=ba,mn=c则1n·1m=ac,1n+1m即1n,1m为方程cx2+bx+a=0则不等式cx2+bx+a>0的解集为x1n<x<1m考点三一元二次不等式恒(能)成立问题角度1在R上的恒成立问题[例4](2024·重庆模拟)当a∈(t1,t2)时,不等式2-ax-x21-x+x2<3对任意实数x恒成立,则A.7 B.6 C.7 D.8【解析】选B.由于1x+x2=(x-12)2+34>0,则不等式2-ax-x依题意,不等式4x2+(a3)x+1>0对任意实数x恒成立,则Δ=(a3)216<0,解得1<a<7,于是t1=1,t2=7,所以t1+t2=6.【解题技法】ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的条件1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足(1)a=b=0,c>0或(2)a>02.ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足(1)a=b=0,c<0或(2)a<0角度2在给定区间上的恒成立问题[例5]金榜原创·易错对对碰(1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2mx+m6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是________.

【解析】由已知得,m(x12)2+34m6<0(m≠0)在x∈[1,3]方法一:令g(x)=m(x12)2+34m6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m6<0,所以m<67,则0<m<67.当m<0时,g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=m6<0,所以m<6,综上所述,m的取值范围是{m0<m方法二:因为x2x+1=(x12)2+34>0,又因为m(x2x+1)6<0,所以m<6x2-x+1.因为函数y=6x2-x+1=6(x-12)

2+答案:{m0<(2)若mx2mx1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为________.

【解析】设g(m)=mx2mx1=(x2x)m1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则g(1)<0,g(2)<0,即x2-x-1<0,2x2-2x-1<0,解得1-3答案:(1-32,【解题技法】在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.角度3不等式能成立或有解问题[例6](一题多法)若关于x的不等式x2ax+7>0在2,7上有实数解,则a的取值范围是 ()A.-∞,8 B.-∞,8C.-∞,27 D.【解析】选A.方法一:(分离参数法)不等式x2ax+7>0在2,7上有实数解,等价于不等式a<x+7x在2,7上有实数解因为函数f(x)=x+7x在(2,7)上单调递减,在(7,7)上单调递增又由f(2)=2+72=112,f7=7+所以fxmax<f7=8,所以a<8,即实数a的取值范围是-∞,8方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2ax+7>0在(2,7)上无解,则4-2a+7≤049-7a+7≤0,解得a≥8,因此不等式x2ax+7>0在【解题技法】一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.(4)最后一定要注意检验区间的开闭.【对点训练】1.(2024·大同模拟)已知命题p: