高考文科数学一轮复习练习第六篇第4节　基本不等式

第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号基本不等式的理解1,2利用基本不等式求最值3,4,5,8,11,12基本不等式的实际应用7,10基本不等式的综合应用6,9,13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+14)(B)sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)1x2+1解析:当x>0时,x2+14≥2·x·12=x,A正确;sinx的正负不定,B不正确;选项C正确;当x=0时,有2.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(D)(A)a+b2(B)a2+b2≥2ab(a>0,b>0)(C)2aba+(D)a+b2解析:由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=a+又OC=OBBC=a+b2则FC2=OC2+OF2=(a-b)2再根据题图知FO≤FC,即a+b23.(2017·安徽马鞍山模拟)设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有(D)(A)最大值27 (B)最小值27(C)最大值54 (D)最小值54解析:因为x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y≥29x·3y=232x+y=24.已知a>b,且ab=1,则a2(A)3 (B)2+2 (C)2 (D)22解析:由ab=1可得a2+b2a-b=a2(当ab=2时取等号).故选D.5.(2017·江西省抚州市临川一中4月模拟)直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为(C)(A)1 (B)1 (C)2+12 (D)2解析:由直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,可知1a2+b2因为a+b2≤a2+b22ab≤2+126.导学号94626180(2017·四川雅安三诊)对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是(B)(A)(∞,2) (B)[2,+∞)(C)[2,2] (D)[0,+∞)解析:当x=0时,a∈R,当x≠0时,a≥-x2-1|x故a≥2.故选B.7.(2017·江西五市八校第二次联考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p((A)45 (B)85 (C)415 (D)815解析:由题意可得p=a+S=10×2×(p-a当且仅当a=b=6时等号成立,此三角形面积的最大值为85.故选B.8.(2017·安徽省淮南市二模)已知正数x,y满足x+2y2xy=0,那么2x+y的最小值是.

解析:由x+2y2xy=0得1y+2所以(2x+y)=(2x+y)(1y+2x)×12=52+xy+yx≥52+2=答案:9能力提升(时间:15分钟)9.(2017·河南平顶山一模)若对于任意的x>0,不等式xx2(A)[15,+∞) (B)(15,+(C)(∞,15) (D)(∞,1解析:由x>0,xx2+3x+1则t≥2x·当且仅当x=1时,t取得最小值2,xx2+3所以对于任意的x>0,不等式xx2则a≥1510.(2017·山西三区八校二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(D)(A)(1+32)米 (B)(C)(1+3)米 (D)(2+3)米解析:由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC0.5=(t0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°,即(t0.5)2=t2+x2tx,化简并整理得t=x2即t=x1+0.故t=x1+0.75x-1+2≥2+3(当且仅当x=1+311.(2017·福建南平一模)已知x,y都是非负实数,且x+y=2,则8((A)14 (B)1解析:因为x,y都是非负实数,且x+y=2,所以x+2+y+4=8.所以8≥2(x+2)(y+4),化为1(x+2)(y12.已知x2+4xy3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是.

解析:由x2+4xy3=0,得y=3-即有x+y=x+3-x24x=3所以x+1x≥即x+y≥32,当且仅当x=1即x=1,y=12时,x+y取到最小值3答案:313.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值范围是解析:因为x+y4=(x+y4)(1x+4y)=1+y4所以m2-3m>4,解之得m>4或m<1.答案:(∞,1)∪(4,+∞)14.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为.

解析:由题意,ax+y+6=xy≥2axy+6,令t=xy,则t2≥2a·t+6,方程t22a·t6=0,Δ=4a+24>0,所以t=xy=32是方程t22a·t6=0的根,所以a=2.答案:215.若x,y,a∈(