青海省西宁市海湖中学2024-2025学年高二上学期第一阶段测试数学试卷

海湖中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．2．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．已知，且，则（

）A． B．C． D．4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（

）A． B．C． D．5．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．长方体中，，，是的中点，是的中点.则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．8．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则下列说法正确的是（

）A．是平面的一个法向量 B．四点共面C． D．10．下列说法中，正确的有（

）A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为B．直线在轴的截距是2C．直线的倾斜角为30°D．过点且倾斜角为90°的直线方程为11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．存在点P，使得与所成的角为C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．若，则P的轨迹的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则与夹角的余弦值为.13．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱14．已知直线l倾斜角的余弦值为-55，且经过点(2,1)，则直线l的方程为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知的三个顶点为.求边上的中线所在直线的方程.16．如图，三棱柱，为的中点，，设(1)试用表示向量；(2)若，异面直线与所成角的余弦值．17．已知空间向量，，.(1)若，求；(2)若，求的值.18．如图，在三棱柱中，=2，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．（统一以DB,DC,DA1分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系）（1）求证：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（统一以AB,AD,AP分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系）（1）求证：BM//平面PAD．（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

海湖中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题答案一单选题号12345678答案DCCBBBAD二多选题号91011答案ADCDACD三填空12.【答案】/13.614.2x四解答15.15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.【答案】(1)；(2).解析：（1）因为的三个顶点为，所以直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以直线的方程为，化为一般式方程为；（2）因为，所以的中点为，又因为，所以直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为，化为一般式为.16．如图，三棱柱，为的中点，，设(1)试用表示向量；(2)若，异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)解析：（1）因为D为中点，所以，由．所以，所以．（2）由题意知，，所以，，，所以，所以异面直线AE与所成角的余弦值为．17．（15分）已知空间向量，，.(1)若，求；(2)若，求的值.解析：（1）空间向量，，，因为，所以存在实数k，使得，所以，解得，............................................................4分则．............................................................7分（2）因为，则，解得，所以，........................11分故．............................................................15分18．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．（1）求证：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）解析：（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面ABC．（2）由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．不妨设，由题可知，，，，．由，可得．设平面的法向量为，而，，则有,取，得．设平面的法向量为，而，，则有，取，得．设平面与平面夹角为，则，所以，即平面与平面夹角的正弦值为．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（1）求证：BM//平面PAD．（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．解析：（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，∴，.∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD．（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即A