江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷（含解析）

高二年级数学月考试卷2024.11.3一．单选题（5分×8=40分）1．已知是关于x的方程的一个根，aϵR，bϵR.则（

）A．0 B．2 C．1 D．42．已知直线和直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则=A． B． C． D．4．已知点，若直线与线段AB相交，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．6．如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（

）A．1 B． C． D．7．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．8．如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（

）A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是二．多选题（6分×3=18分）9．下列结论正确的有（

）A．直线恒过定点B．直线的倾斜角的取值范围是C．经过点，的直线方程均可用表示D．直线和都经过点，则过两点，的直线方程为10．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，，若，则为钝角B．已知，，则向量在向量上的投影向量是C．若直线经过第三象限，则，D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（

）A．当时，点在棱上B．当时，点到平面的距离为定值C．当时，点在以的中点为端点的线段上D．当时，平面三．填空题（5分×3=15分）12．已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为．13．过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为.14．已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是四．解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15（13分）．（1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程.（4分）（2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；（4分）（3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率.（5分）16（15分）．已知一条动直线，(1)求直线恒过的定点的坐标；（4分）(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；（4分）(3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.（7分）17（15分）．如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点．(1)求证:平面；（4分）(2)求直线与直线所成角的余弦值；（4分）(3)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．（7分）18（17分）．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；（5分）(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．（5分）(3)点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．（7分）19（17分）．如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．

(1)求证：平面平面；（5分）(2)若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值；（5分）(3)在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（7分）参考答案：题号12345678910答案DAADBCBDACDBD题号11答案BCD3．A【详解】令，由即所以5．B【详解】由已知，设关于直线的对称点为，则解得，即，所以．6．C【详解】将直三棱柱展开成矩形，如下图，连接，交于，此时最小，∵，则，而，由且都在面，则面，又，则面，即面，点为侧棱上的动点，当最小时，即，得，又为直角三角形，此时三棱锥的体积为：.故选：C7．B【详解】因为底面，底面，即，根据题意可知为等边三角形，为直角三角形，而，则，取的中点，连接，所以，易知，则，所以三棱锥的外接球的球心为F，，∴该外接球的体积为.8．D【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，故A错误；对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，可得，，.设，，则，.设直线与所成角为θ，则，因为，当时，可得，所以；当时，，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误；对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内，因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，作平面，如图②所示，因为，所以.因为，所以，所以，所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P的轨迹长度为.综上，点P的轨迹总长度为，故C错误；对于D，如图③，由前面建系得，，，，设，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，故D正确．9．ACD【详解】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确；对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误；对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确；对于D，直线和都经过点，则所以点，的直线方程为上，故D正确.故选：ACD.10．BD【详解】对于A，当时，，，，此时为，故A错误；对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，令，则直线为，且经过第三象限，但此时，故C错误；对于D，因为，，所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确；故选：BD.11．BCD【详解】对于A，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在上，故A错误；对于B，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在棱上，由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确；对于C，当时，取的中点的中点，所以且，，即，所以即，又，所以三点共线，故在线段上，故C正确；对于D，当时，点为的中点，连接，由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，设与相交于点O，则，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，由正方形性质可知，又，平面，所以平面，故D正确.12．或【详解】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即，当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点，所以，得到，故直线方程为，即，故答案为：或.13．【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，即可得，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为，即，故答案为：.14．/-0.5【详解】过和分别作，，，，，，，则，即，，，，，二面角的余弦值为，15．（1）；（2）；（3）或.【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，又该直线过点，则，解得，所以所求直线方程为.（2）设与直线平行的直线方程为，又该直线过点，则，解得，所以所求直线方程为.（3）显然直线不过原点，设其方程为，则，整理得，即，因此，解得，而直线，即，其斜率为，所以所求直线的斜率为或.16．(1)(2)(3)【详解】（1）由题意，整理得，所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，即（2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时，此时直线是，显然满足题意；当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时，则纵截距小于或等于零即可，令，则，即，解得；综上所述：（3）设直线方程为，则，由直线恒过定点，得，由整理得：，解得或，所以直线方程为：或，即或，又直线的斜率，所以不合题意，则直线方程为.17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）连接，由三棱柱性质可得平面平面，又平面，故平面；（2）因为平面，平面，所以，而，故两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系：则，连接，则，由，故，故直线与直线所成角的余弦值为；（3）设，，则，设平面的法向量为，有，令，则，，即，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为.18．(1)证明过程见解析(2)(3)【详解】（1）由平面，平面，平面，得，，与底面所成角为．所以三角形为等腰直角三角形，．又由四边形是直角梯形，，可知，所以为等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．则有，所以．又因为，，平面，平面．所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因为T是的中点，点M是的中点，所以，．设平面的法向量为，，，则，得，取，则，得平面的一个法向量为，而,所以点P到平面的距离为．（3）设，注意到A0,0,0，所以，所以，设，注意到P0,0,1，所以，因为A0,0,0，B1,0,0，所以若平面，则当且仅当，即当且仅当，此时，综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面.19．(1)证明见解析(2)(3)存在，．【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理得，∴，∴．在中，，，，∴，