河北省衡水市武强中学2025届高三上学期期中考试数学试题 含解析

武强中学2024-2025学年度上学期期中考试高三数学试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得，又因为，所以，所以，故选：C.2.若角为第二象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，解得即可.【详解】因为，，又角为第二象限角，解得.故选：B3.已知是关于x的方程的一个根，，则（）A.0 B.2 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】因为是关于x的方程的一个根，，所以是关于x的方程的一个根，于是有，故选：D4.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.【详解】因为，又，即，则，所以，故.故选：D5.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求导，通过赋值逐项判断即可.【详解】因为，所以，则，所以，则，所以.故选：C6.若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解.【详解】，使得成立是真命题，所以,恒成立.所以在上恒成立，所以，因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即实数的最大值为.故选：B.7.已知圆关于直线对称，则的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，即，则因为，且，所以，所以，当且仅当即等号成立，则的最小值是4.故选：D.8.若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，则在上单调递增，且，当时，在上单调递增，满足题设；当时，在上单调递增，此时只需，即；综上，.故选：A二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.设正实数满足，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当且，即，时等号成立，故A正确；对于B，，则，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误；对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的最小正周期为，则（）A.的最大值为2B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可.【详解】易知，其最小正周期为，所以，即，显然，故A正确；令，显然区间不是区间的子区间，故B错误；令，则是的一个对称中心，故C正确；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：ACD11.已知函数，则（

）A.是的极小值点 B.有两个极值点C.的极小值为 D.在上的最大值为【答案】BD【解析】【分析】对应求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而求函数在上的最大值判断D.【详解】由题设，令，则或，令，则，所以、上递增，上递减，故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确；在上，在上递减，在上递增，而，所以在上的最大值为，D正确.故选：BD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为______.【答案】##【解析】【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.【详解】曲线的导数,∵曲线在处的切线的倾斜角为,∴,∴,∴故答案为:.13.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，即，因为在上是增函数，则，所以函数的增区间包含，令，得，所以，所以故的取值范围为.故答案为：14.已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值.【详解】解析：因为，根据正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因为，所以，（当且仅当时取等号），即所以，即面积的最大值为，故答案为：.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.在中，角的对边分别为，面积为S，且.（1）求B；（2）若，，D为边的中点，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可；（2）利用余弦定理先求c，结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可【小问1详解】由三角形面积公式及条件可知：，由余弦定理知，所以，因为，所以；【小问2详解】结合（1）的结论，根据余弦定理有，所以，易知，所以，即.16.设三角形的内角、、的对边分别为、、且．（1）求角的大小；（2）若，边上的高为，求三角形的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.【小问1详解】因为，，为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即，因为，解得：，即．【小问2详解】由三角形面积公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以周长为.17.已知函数．（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．【答案】（1）（2）有最大值，最大值为e【解析】【分析】（1）求导，得到恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出a的取值范围；（2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值.【小问1详解】因为，所以，因为在R上单调递减，所以恒成立，所以，，所以a的取值范围是．【小问2详解】当时，，，令，解得，令，解得，所以当时，单调递增，当，时，单调递减，当时，，又时，，所以有最大值，最大值e．18.已知函数.（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.（2）若在只有一个零点，求.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值.（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，，依题意，，则，，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值.【小问2详解】函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，函数在取得极小值同时也是最小值，当时，；当时，，画山大致的图象，如图，在只有一个零点时，，所以在只有一个零点吋，.19.基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题．（1）已知，R，证明；（2）已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件；（3）已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件.（4）应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：①已知，证明：；②已知，，且，求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，当且仅当时取“”（3）证明见解析，当且仅当时取“”（4）①证明见解析；②.【解析】【分析】（1）由展开即可得结果；（2）根据题意结合（1）中结论分析证明；（3）根据题意结合（1）中结论分析证明；（4）①根据题意结合（2）中结论分