华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题09一元二次方程的应用8类模型(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)(原卷版+解析)

专题09一元二次方程的应用压轴题八种模型全攻略(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一一元二次方程的应用--传播问题】 1【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】 3【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 4【题型四一元二次方程的应用--数字问题】 6【题型五一元二次方程的应用--营销问题】 8【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】 10【题型七一元二次方程的应用--工程问题】 13【题型八一元二次方程的应用--行程问题】 14【过关检测】 17【典型例题】【题型一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【变式训练】1．（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出个小分支．2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是人．【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】例题：（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）某地2021年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2023年在2021年的基础上增加投入资金1600万元．从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？【变式训练】1．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）由于换季，原售价为元的某种服装连续两次降价处理，现按元的价格销售，设平均每次降价的百分率为，则可列方程．2．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册．(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·北京石景山·八年级统考期末）如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽．【变式训练】1．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行通道，如图所示，阴影部分为通道，其余部分种植花卉，同样宽度的通道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设通道的宽为x米，根据题意可列方程为．

2．（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为15米），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．(1)求矩形的另一边长是多少米？（用含的代数式表示）(2)矩矩形的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由．【题型四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程________．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【题型五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？2．（2023春·八年级单元测试）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？

【变式训练】1．（2023春·上海·八年级专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？【题型七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【题型八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是__．2．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（

）个球队参加比赛．A．6 B．7 C．8 D．92．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）电影《长津湖之水门桥》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役的一部分为背景，上演了一段可歌可泣的历史，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约6亿元，以后每天票房按相同的增长率增长；三天后累计票房收入达14.7亿元，若设平均每天票房的增长率为，则可以列方程为（

）A． B．C． D．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（

）

A． B．C． D．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10二、填空题6．（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）某公司5月份的营业额为100万，7月份的营业额为121万，已知6、7月的增长率相同，设增长率为，则根据题意可列方程为．7．（2023春·江苏·八年级统考期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程．8．（2023·上海·八年级假期作业）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．9．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为元．10．（2023春·安徽·八年级期中）如图，在中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动．（1）；（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过秒后的面积等于．三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．

(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？13．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台3月份的销售量是10万件，5月份的销售量是14.4万件．(1)该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？(2)经市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出5件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利700元，则售价应降低多少元？14．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设长为x米．(1)___________米（用含x的代数式表示）；(2)若长方形围栏面积为210平方米，求的长；(3)长方形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．15．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．16．（2023·湖北宜昌·统考一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．

专题09一元二次方程的应用压轴题八种模型全攻略(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一一元二次方程的应用--传播问题】 1【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】 3【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 4【题型四一元二次方程的应用--数字问题】 6【题型五一元二次方程的应用--营销问题】 8【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】 10【题型七一元二次方程的应用--工程问题】 13【题型八一元二次方程的应用--行程问题】 14【过关检测】 17【典型例题】【题型一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】15人【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x人，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意，得，即，解方程，得，（舍去）．答：每轮传染中平均每人传染了15人，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出个小分支．【答案】【分析】设每个支干长出个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每个支干长出个小分支，根据题意得，即，解得：（舍去）故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是人．【答案】5【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程．【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：，整理得：，解得，（舍去）．答：参加这次会议的有5人，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为，此题难度不大．【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】例题：（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）某地2021年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2023年在2021年的基础上增加投入资金1600万元．从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？【答案】从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为．【分析】设年平均增长率为x，根据2023年在2021年的基础上增加投入资金1600万元，列出方程求解可得．【详解】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x．根据题意得：．解得(舍去)，答：从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）由于换季，原售价为元的某种服装连续两次降价处理，现按元的价格销售，设平均每次降价的百分率为，则可列方程．【答案】【分析】利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册．(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8740册【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，根据题意，得解得，（不合题意，舍去）该校这两个月藏书的月均增长率为20%；（2）（册），所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·北京石景山·八年级统考期末）如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽．【答案】2m【分析】设甬路的宽为m，先得出，即，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设甬路的宽为m，∵矩形中，，，∴四边形是正方形，∵点为边中点，m，∴，∴，即，即据题意列方程，得：．整理，得．解得

，（不合题意，舍去）．答：甬路的宽为2m．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是得出以及找到等量关系．【变式训练】1．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行通道，如图所示，阴影部分为通道，其余部分种植花卉，同样宽度的通道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设通道的宽为x米，根据题意可列方程为．

【答案】【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为米，宽为米的矩形，结合花卉种植面积共为306平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，∴种植花卉的部分可合成长为米，宽为米的矩形．根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为15米），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．(1)求矩形的另一边长是多少米？（用含的代数式表示）(2)矩矩形的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)（30﹣3x）米(2)能，【分析】（1）根据题中条件即可求出的长；（2）根据矩形的面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1）修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），米，即另一边长是米；（2）矩形的面积能为，理由如下：由题意得：，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意；答：矩形的面积能为，的长为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为25或36．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程________．【答案】或【分析】已知设其中的一个奇数为，且设其中的一个奇数为，分两种情况讨论：若为较小的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程；若为较大的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程，即可正确解答．【详解】①若为较小的奇数，则另一个奇数为，∵两个连续奇数的积为323，∴；②若为较大的奇数，则另一个奇数为，∴；故答案为：或【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．【题型五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克水果应涨价5元【分析】设每千克应涨价元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价元，由题意列方程得：，解得：或，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；答：每千克水果应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可；（2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得，（不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：．答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．2．（2023春·八年级单元测试）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为(2)下调后每辆汽车的售价为21万元【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可．【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：，解得：（不符合题意，舍去），答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：解得：，∵尽量让利于顾客，∴；答：下调后每辆汽车的售价为21万元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？

【答案】2秒【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为，由题意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：经过2秒，的面积为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·上海·八年级专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．【答案】【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可．【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，依题意可得，解得：，即长为．故长为时，平行四边形的面积等于．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键．2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）过点P作于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得；【详解】（1）解：过点P作于E，设x秒后，点P和点Q的距离是．，∴，；∴经过或，P、Q两点之间的距离是；（2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为．①当时，，∴，即，解得；②当时，，则，解得（舍去）；③时，，则，解得（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．【题型七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天故答案为：；（2）根据题意，得：或∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【题型八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故乙走的步数是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是__．【答案】【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），，即甲走的步数是，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480米(2)70分钟【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，由题意得：，解得：，经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，则，答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：小明从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（

）个球队参加比赛．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得．【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）电影《长津湖之水门桥》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役的一部分为背景，上演了一段可歌可泣的历史，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约6亿元，以后每天票房按相同的增长率增长；三天后累计票房收入达14.7亿元，若设平均每天票房的增长率为，则可以列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解．【详解】设平均每天票房的增长率为，则可以列方程为，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】A【分析】根据题意可知：标价（折数10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；【详解】设每本《几何原本》的进价为元，则：由题意可得：，解得：；故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价（折数10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：设行车通道的宽度为．根据题意，得．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故乙走的步数是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题6．（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）某公司5月份的营业额为100万，7月份的营业额为121万，已知6、7月的增长率相同，设增长率为，则根据题意可列方程为．【答案】【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．7．（2023春·江苏·八年级统考期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程．【答案】【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可．【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，由题意得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．8．（2023·上海·八年级假期作业）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．【答案】12【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：，解得：(不合题意，舍去)．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为元．【答案】56【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，根据题意得：，整理得：，解得：．∵要使顾客获得实惠，∴．即该商品的销售定价为56元．故答案为：56．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023春·安徽·八年级期中）如图，在中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动．（1）；（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过秒后的面积等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案；（2）过点Q作于点E，则，当运动时间为t秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：过点Q作于点E，则，如图所示，当运动时间为t秒时，，，，，依题意得：．当时，，解得：，；当时，，解得：（不符合题意，舍去），．∴经过1或7或秒后，的面积等于．故答案为：1或7或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有台被染上病毒，2轮后就有台被感染病毒，依题意，得，解得，（舍去）．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有台电脑被感染．由于，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．

(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【答案】(1)(2)6元【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量（该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润每个的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：设平均每月的增长率是，（个），解得，（舍）答：平均每月的增长率是．（2）设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，依题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去）答：每个“冰墩墩”应降价6元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台3月份的销售量是10万件，5月份的销售量是14.4万件．(1)该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？(2)经市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出5件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天