2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题06数列求和(裂项相消法)练习(学生版+解析)

专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：等差型 2题型二：无理型 4题型三：指数型 5题型四：通项裂项为“”型 7三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练 8一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）类型二：无理型=1\*GB3①如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.二、典型题型题型一：等差型1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：．3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，．(1)求证：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足.(1)证明：为等差数列；(2)若数列的前项和为，证明：.题型二：无理型1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，且，求；(3)证明：．2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设______，求数列的前n项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列中，，是和的等比中项．(1)求的公差；(2)若数列的前项和为，且，求.4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．题型三：指数型1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列满足．(1)求的通项公式；(2)记数列的前n项和为，证明：．2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列．(1)求数列的通项公式：(2)设，数列的前项和为，证明：．5．（2024·河南南阳·一模）已知数列，若.(1)求证：数列是等比数列;(2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.题型四：通项裂项为“”型1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．(1)证明：是单调递减数列．(2)求数列的前项和．2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列中，．(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求的前n项和.4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)已知数列，求数列的前项和．5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列中，为的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．3．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．(1)计算，并求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足(1)求证:为等比数列；(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和.8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列，满足．(1)求；(2)若，求数列的前项和．9．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且．(1)求，；(2)求数列的前n项和．10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差数列与等比数列中，已知，，且，.(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前项和.11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为．求证：．12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：等差型 2题型二：无理型 5题型三：指数型 9题型四：通项裂项为“”型 13三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练 18一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）类型二：无理型=1\*GB3①如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.二、典型题型题型一：等差型1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式；（2）求出，由裂项相消法可求出数列的前项和.【详解】（1）因为，令得，因为，所以，两式相减得，即．所以，所以，即，所以当时，，又，所以．（2）由（1）可得，所以.2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设出数列的公差，再由已知列出方程组，求出即可得解.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算推理即得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，，由恒成立，得数列单调递增，因此，所以.3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，．(1)求证：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式；（2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围．【详解】（1）因为，，两边同时除以可得：，从而，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则；（2）由，，所以，则，所以，所以则，因为中的每一项，所以为递增数列，所以，因为，所以，即实数的取值范围为.4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足.(1)证明：为等差数列；(2)若数列的前项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）对递推公式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可证明；（2）根据（1）中所证求得，再根据裂项求和法求得，进而适度放缩即可证明.【详解】（1）证明：因为，所以，即.因为，所以是首项为2，公差为3的等差数列.（2）由（1）可知，所以.因为，所以.因为，所以，故.题型二：无理型1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，且，求；(3)证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求出结果；（2）根据（1）得到，再利用裂项相消法，即可求出结果；（3）利用，即可证明结果.【详解】（1）因为①，当时，②，所以①②得到，即，又，满足，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以，即.2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设______，求数列的前n项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，；(2)答案见解析【分析】（1）设出等差数列的公差，由题意列方程求出首项和公差，即可求得答案；（2）不论选①、选②还是选③，都要利用（1）的结果，可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.【详解】（1）由题意知等差数列的前n项和为，，，设公差为d，则，解得，故，；（2）若选①，则，故；若选②，则，故；若选③，则，故.3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列中，，是和的等比中项．(1)求的公差；(2)若数列的前项和为，且，求.【答案】(1)0或2(2)12或3【分析】（1）根据是和的等比中项列出关系式，可得或；（2）当时，为常数列，可得，进而可得；当时，，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）由题意得，因，得，解得或．（2）当时，，则，所以．当时，，则，所以．故或．4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.【详解】（1）因为点均在二次函数的图象上，可得，则有：当时，；当时，；且也符合，所以．（2）由（1）可得：，所以，所以.题型三：指数型1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列满足．(1)求的通项公式；(2)记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由，变形为，结合求解；（2）由，利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：由题意可得，即，则有，又，

因此是常数列，即，则；（2）设，，所以，，

故．2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）降次作差即可得到，再根据等比数列的通项公式即可得到答案；（2）裂项求和得到，再计算出的范围即可得到的范围.【详解】（1）时，，即，所以.时，，所以，即，因为，所以，所以是首项为1公比为2的等比数列，所以.（2）由(1)得，所以.显然是递增数列，且，所以，即，所以，解得.实数的取值范围是.3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用变形整理可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用裂项相消法求和.【详解】（1）由题意知：且，两式相减，可得，，可得，又，当时，，即，解得或（舍去），所以，从而，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）由，可得，所以.4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列．(1)求数列的通项公式：(2)设，数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由等差数列以及等比数列的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得，结合裂项相消法代入计算，即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，即，又为等比数列，则也成等比数列，则，联立解得，则数列的公比为，即，所以，当时，，且也满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，，且，则，记，则，则，因为，所以.5．（2024·河南南阳·一模）已知数列，若.(1)求证：数列是等比数列;(2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可得证；（2）结合（1）中结论，利用裂项相消法求得，从而将恒成立不等式转化为，再利用对数函数的性质即可得解.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）易知，所以，所以，则恒成立，所以要使不等式对任意正整数恒成立，只须，由题意可得且，则，所以，解得，所以，即实数的取值范围是.题型四：通项裂项为“”型1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．(1)证明：是单调递减数列．(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据与的关系依次求出，，再利用作商法可确定数列的单调性.（2）先对通项分母有理化，再分奇偶进行讨论求解.【详解】（1）证明：当时，，得．因为，所以．当时，，则，所以，即．因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，因为为正项数列，所以．当时，，也适合该式，所以．因为，且，所以是递减数列．（2）解：由已知得：，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列中，．(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解.（2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解.【详解】（1）因为，由题意知，所以，即，故数列是以为公差的等差数列．又，所以，所以，即．（2），则，．3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求的前n项和.【答案】(1),(2)【分析】（1）由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解；（2）由裂项法求和结合对分类讨论即可求解.【详解】（1）由题意得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，又因为，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）由题意，若，则，若，则，所以的前n项和.4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)已知数列，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和的关系、等比数列的定义即可解答.（2）利用裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）由，，当时，，即；当时，，整理得，即.，当时上式也成立.数列是以首项，为公比的等比数列，则，即.（2），.5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由题意构造出形式即可得；（2）借助裂项相消法求和即可得.【详解】（1）因为，且，所以，即，又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，所以；（2）由（1）知，所以，所以，故.三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.【详解】（1）当时，由，即，解得：，所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；所以，则，当时，，当时，满足条件，所以的通项公式为（2）由（1）知，，所以，故，即2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列中，为的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意，推得，且，得到是等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）方法一：由（1）求得，结合裂项相消法求和，即可求解；方法二：由（1）求得，分为奇数和为偶数，结合相消法求和，即可求解.【详解】（1）解：由数列中，为的前项和，，当时，，两式相减得，可得，当时，，则，所以是等比数列，首项为3，公比为3，所以，所以数列的通项公式为.（2）解：方法一：由（1）知，可得，所以.方法二：由，当为奇数时，当为偶数时，所以数列的前项和.3．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．(1)计算，并求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由，可得，可得，法一：可得为常数列，可求数列的通项公式；法二：可得，利用累乘法可求数列的通项公式；（2）由（1）可得，进而可求的前项和.【详解】（1）由题可知，，得，由，得．由已知，可得，两式相减得．解法一：整理得：．又满足上式．从而对均成立．因此为常数列，即有，故．解法二：整理得：．又满足上式．故．即．当时符合上式，故．（2）由（1）可知．．因此=.4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足(1)求证:为等比数列；(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.（2）由（1）求出数列的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得.【详解】（1）数列中，，则，而，即，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列..（2）由（1）知，，，，，所以数列的前n项和.5．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，求得，再证明即可.【详解】（1）因为，所以又，所以，所以是以9为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以.6．（2024·浙江·二模）已知等差数列的前n项和为，且.(1)求；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据的关系求通项公式即可；（2）裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）由①所以当时，②①②得：，整理得：，所以.（2）由（1）知，所以，所以.7．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组