2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)练习(学生版+解析)

专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造法 2题型二：倒数法 4三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 5一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.(1)求5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；题型二：倒数法1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；(2)求的通项公式.4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，，（1）证明：数列是等比数列6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为.7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式.8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知满足.(1)证明：数列为等比数列；9．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．(1)求的通项公式；12．（23-24高二上·福建莆田·期末）设数列的前项和为，已知，且(1)求数列的通项公式;专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造法 2题型二：倒数法 4三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 7一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；【答案】(1)；【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；【详解】（1）因为，所以又，所以，所以是以9为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）变形得到是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；【详解】（1）由两边同时除以，可得，所以，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即.3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；【分析】（1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式，即可求得结果；【详解】（1）由已知，所以，又，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，即.4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.(1)求【答案】(1)【分析】（1）由题意列方程，求出数列的首项和公差，求出，可得，变形后构造等比数列，即可求得答案；【详解】（1）因为成等比数列，所以，设等差数列的公差为，，所以，解得，，，对上式两边同时除以得:，即，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，即；5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解；【详解】（1）由，即，可得，且，故，可知是首项为2，公比为的等比数列，则，即，所以数列的通项公式为.题型二：倒数法1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.【答案】【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式.【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，，∴.2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.【答案】【分析】将代入已知可得，进而推得，即可得出数列是等差数列，写出通项即可得出答案.【详解】将代入已知可得.因为，所以，所以有，所以.又，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，所以，.3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；(2)求的通项公式.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意整理可得，即，运算求解即可；（2）取，可得，利用构造法结合等比数列求通项公式.【详解】（1）因为，且，所以，则，解得或；（2）由（1）可得：当时，则，且，可得，则，且，故数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，则，故.4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，，（1）证明：数列是等比数列【答案】（1）证明见解析；【解析】（1）由可得，然后可得答案；【详解】（1）证明：由，知又，∴是以为首项，3为公比的等比数列5．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析；【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解．【详解】，且所以，数列是等差数列，且首项为1，公差为1，．三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和．【答案】502【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.【详解】由，取倒数得，所以，因为，所以，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，则，所以数列的前8项和.故答案为：5022．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则.【答案】【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得.【详解】数列中，，，显然，取倒数得，即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，因此，所以.故答案为：.3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为．【答案】【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式.【分析】因为数列满足，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，在等式两边取倒数可得，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，，所以，.故答案为：.4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则．【答案】19【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得.【详解】∵，则，∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，又，故，∴.故答案为：19．5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为．【答案】【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.【详解】数列中，，，显然，则有，即，而，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．故答案为：6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为.【答案】【分析】对取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.【详解】对两边取倒数得，即，当时，，，，，，将以上各式累加得，又，所以，所以，当时，也满足，所以.故答案为：7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式.【答案】【分析】根据题意先证数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解.【详解】因为，且，可知，则，可得，且，可知数列是首项为2，公比为4的等比数列，可得，所以.8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知满足.(1)证明：数列为等比数列；【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；【详解】（1）解：因为数列满足，，则，且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，所以，，则.10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）由得，得数列以为首项以3为公比的等比数列，由等比数列求通项即可.【详解】（1）当时，，得，当时，

，所以，变形得，即，数列以为首项以3为公比的等比数列，所以，即11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．(1)求的通项公式