2024-2025学年江苏省苏州市木渎高级中学高一（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省苏州市木渎高级中学高一（上）调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若A={0,2}，B={2,4}，则A∪B=(

)A.{2} B.{0,2} C.{0,2,4} D.{2,4}2.不等式2−xx≥0的解集为(

)A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤2}

C.{x|x<0或x≥2} D.{x|x<0或x>2}3.“a>b”是“ac2>bcA.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题：

p1：∃x∈N，x2−2是质数；

p2：∀x∈R，x+|x|=0；

p3：∃x∈N+，x2+1∈N；

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.设A={x|x<a}，B={x|1≤x≤2}，且A∩B=⌀，则实数a的取值范围为(

)A.a<1 B.a≤1或a≥2 C.a<1或a>2 D.a≤16.若a>b>0，则下列不等式不一定成立的是(

)A.b2a2<b2+1a27.已知正实数a，b满足1ab+1a2=1A.4 B.2 C.22 8.德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A，B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合.若全集U={x||2x−9|≤7,x∈N}，A={x|x2−7x+10<0,x∈N}，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为A.8 B.16 C.32 D.64二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.命题“∀x>1，x2<1”的否定是“∃x≤1，x2≥1”

B.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件

C.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件

10.设全集为U，设A，B是两个集合，定义集合T(A,B)=(A∩∁UB)∪(B∩∁A.T(A,A)=⌀ B.T(⌀,A)=A

C.T(A,U)=A D.T(A,B)=T(B,A)11.已知不等式2kx2+kx−3A.若k=1，则不等式的解为−14<x<34

B.若不等式对∀x∈R恒成立，则整数k的取值集合为{−2,−1,0}

C.若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围是−34<x<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，A∪(∁UB)=U，试写出一个符合要求的集合B=13.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为3千米时，运费为9万元，仓储费为4万元，则运费与仓储费之和的最小值为______万元．14.设非空集合S={x|m≤x≤l}，当x∈S时，有x2∈S，①若m=1，则S=______；②若l=12，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在①“x∈A”是“x∈B“的充分不必要条件；②A∪B=B；③A∩B=⌀这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合A={x|a−1≤x≤a+1}，B={x|−1≤x≤3}．

(1)当a=2时，求A∪B．

(2)若选_____，求实数a的取值范围．16.(本小题15分)

数形结合是研究数学问题的常用方法，试解决以下问题．

(1)如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，利用这个图形，我们可以得到基本不等式的几何解释：CD长不超过圆的半径，即ab≤a+b2，若取AB的中点F，连接CF，试用a，b表示CF的长度(直接写出结果)，比较CF与圆半径大小，并给出代数证明．

(2)如图2，直角三角形FAC与直角三角形CBH相似，A，C，B三点共线，AF=bx，BC=by，AC=ax，BH=ay，根据HF与AB的长度大小关系，试写出一个用a，b，x，17.(本小题15分)

已知正实数a，b满足ab=a+c+3．

(1)若c=−ab，求实数a的取值范围；

(2)若c=kb(c>0)，且a+b的最小值不大于6，求实数k的最大值．18.(本小题15分)

已知二次函数y=ax2+bx+c．

(1)设y<0的解集为{x|1<x<2}，若存在实数x，使得不等式x2+cx+b+4<0成立，求实数a的取值集合；

(2)设y<0的解集为{x|c<x<a}，且{a,b,c}⊆{−4,−1,1,3}，求不等式cx2+bx−2a<0的解集；

(3)若对任意19.(本小题17分)

已知集合A中含有三个元素x，y，z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn={1,2,3,⋯,2n}(n∈N∗，n≥4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”．

(1)试判断集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性质P，并说明理由；

(2)若集合B={3,4,a}具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；

(3)证明：集合M具有性质P参考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.D

6.C

7.A

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.{1}(答案不唯一)

13.12

14.{1}

[−15.解：(1)当a=2时，A={x|1≤x≤3}，

A∪B={x|−1≤x≤3}．

(2)若选①：“x∈A”是“x∈B“的充分不必要条件，则A⊆B，

∵a−1<a+1，∴A≠⌀，

∴a−1≥−1a+1≤3，解得0≤a≤2，

∴实数a的取值范围是[0,2]．

若选②A∪B=B，则A⊆B，

∵a−1<a+1，∴A≠⌀，

∴a−1≥−1a+1≤3，解得0≤a≤2，

∴实数a的取值范围是[0,2]．

若选③A∩B=⌀，则A⊆B，

∵a−1<a+1，∴A≠⌀，

∴a+1<−1a−1>3，解得a>4或a<−2，

∴16.解：(1)连结OF，因为AB为直径，O为圆心，所以OF⊥AB，

又因为AC=a，BC=b，所以AO=a+b2，OC=a+b2−b=a−b2，

OF为圆的半径，CF=(a+b2)2+(a−b2)2=a2+b22≥OF=a+b2，

故CF大于等于圆的半径，证明如下：

(a2+b22)2−(a+b2)2=a2+b2−2ab4=(a−b)217.解：(1)因为a>0，b>0，且ab=a+c+3，

若c=−ab，则ab=a−ab+3，整理得ab2−(a+3)b+a=0．

将其看作b为未知数的一元二次方程，可得Δ=(a+3)2−4a2≥0a+3a>0，解得0<a≤3．

所以实数a的取值范围是(0,3]；

(2)若c=kb，由ab=a+kb+3，解得b=a+3a−k，结合a、b均为正数，得a−k>0．

所以a+b=a+a+3a−k=a−k+18.解：(1)因为ax2+bx+c<0的解集(1,2)，

所以ax2+bx+c=0的根为1和2，且a>0，

所以1+2=−ba,1×2=ca，故b=−3a，c=2a，

所以x2+cx+b+4<0，即x2+2ax+4−3a<0，

因为存在实数x，使得不等式成立，

所以Δ=4a2−4(4−3a)>0，解得a>1或a<−4，

又a>0，所以a>1，

所以实数a的取值集合为(1,+∞)；

(2)因为ax2+bx+c<0的解集为{x|c<x<a}，且{a,b,c}⊆{−4,−1,1,3}，

所以a>0a>c≠0且ax2+bx+c=a(x−c)(x−a)=ax2−a(a+c)x+a2c，

所以b=−a(a+c)c=a2c⇒a=1b=−(c+1)，故c∈{−1,−4}，

若c=−1，则b=0∉{−4,−1,1,3}，不合题意；

若c=−4，则b=3，此时Δ=b2−4ac=9−4×(−4)=25>0满足题意，

综上，a=1，b=3，c=−4，

所以不等式cx2+bx−2a<0，即为4x2−3x+2>0，

由Δ=9−32=−23<0，知：不等式的解集为R；

(3)令19.解：(1)集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质P，理由如下：

(i)从集合A中任取三个元素x，y，z均为奇数时，x+y+z为奇数，不满足条件③，

(ii)从集合A中任取三个元素x，y，z有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设y=2，x<z，

则有z−x≥2，即z−x≥y，不满足条件②，

综上所述，可得集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质P．

(2)证明：由3+4+a是偶数，得实数a是奇数，

当a<3<4时，由a+3>4，得1<a<3，即a=2，不合题意，

当3<4<a时，由3+4>a，得4<a<7，即a=5，或a=6(舍)，

因为3+4+5=12是偶数，所以集合B={3,4,5}，

令a+b=3，b+c=4，c+a=5，解得a=2，b=1，c=3，

显然a，b，c∈S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以集合B是集合S4的“期待子集”得证．

(3)证明：

先证充分性：

当集合M是集合Sn的“期待子集”时，存在三个互不相同的a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于M，

不妨设a<b<c，令x=a+b，y=a+c，z=b+c，则x<y<z，即满足条件①，

因为x+y−z=(a+b)+(a+c)−(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即满足条件②，

因为x+y+z=2(a+b+c)，所以x+y+z为偶数，即满足条件③，

所以当集合M是集合Sn的“期待子集”时，集合M具有性质P．

再证必要性：

当集合M具有性质P，则存