2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）期中数学复习试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）期中数学复习试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2分）已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与圆O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．（2分）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝54．（2分）下列说法中，正确的有（）（1）长度相等的弧是等弧；（2）三点确定一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2π B．π C． D．6．（2分）如图，▱ABCD中，AD∥BC，CD＝4，∠B＝60°．若点P在线段BC上，则符合要求的点P的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）某招聘考试分笔试和面试两项，笔试成绩和面试成绩按3：2计算平均成绩．若小明笔试成绩为85分，面试成绩为90分分．8．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1．则m＝．9．（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是°．10．（2分）如图，在扇形OAB中，C为，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O°．11．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为°．12．（2分）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E＝210°°．13．（2分）⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO＝38°．14．（2分）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，AD＝2，则BC＝．15．（2分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c都为有理数）的一个解是x1＝4﹣2，则方程的另一个解是．16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD内部找一点E，则线段DE的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）3x（x+2）＝2x+4．18．某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量＝当月的销售量一上月的销售量，月增长率＝×100%，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆（万辆），月增长率为20%．（1）下列说法正确的是．A.2月份的销售量为0.4万辆B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆C.5月份的销售量最大D.5月份销售的月增长率最大（2）6月份的销售量比1月份增加了多少万辆？（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，AD＝BE．求证：（1）DE∥AB；（2）DC＝EC．20．如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，求小路的宽度．21．如图，△ABC中，AB＝AC，交AC于E．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠BAC＝50°，求∠EBC和∠EDC的度数．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．23．已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，，BE交AD的延长线于点F，延长BE、AC交于点G．求证：BF＝FG．24．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E．（1）求证CE是⊙O的切线；（2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为．25．某商店经销的某种商品，每件成本价为40元．经市场调研，售价为50元/件；销售单价每提高1元，销售量将减少5件．如果商店将一批这种商品全部售完，问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？26．已知点A在⊙O上，（1）在图①中，点B在⊙O上，用尺规作图：在，使得△ABC为等腰三角形；（2）用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，分别满足下列要求：①在图②中，使得△ABC为直角三角形；②在图③中，使得△ABC为等腰三角形，且AB＝AC．27．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝45°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你又什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决：①该弧所在的圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为．（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，请你利用图1证明∠BPC＜45°；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，，点M在直线CD的左侧，且∠DMC＝30°．①用尺规作出点M的运动路径，并求线段MB长的最小值；②过点M作MH⊥CD，垂足为H，若S△MCD不小于，则DH长的范围是．

2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）期中数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：在数据3，7，7，3，2中，出现的次数最多，则这组数据的众数为6．故选：B．2．（2分）已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与圆O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为5cm∵点O到直线l的距离为10cm，∴直线l与⊙O的位置关系是相离．故选：C．3．（2分）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【解答】解：∵x2﹣4x＝2，∴x2﹣4x+6＝1+4，∴（x﹣7）2＝5，故选：D．4．（2分）下列说法中，正确的有（）（1）长度相等的弧是等弧；（2）三点确定一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）能够重合的弧叫等弧，则（1）错误；（2）不共线的三点确定一个圆，则（2）错误；（3）平分（不是直径）弦的直径垂直于弦，则（3）错误；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，则（4）正确．故选：D．5．（2分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2π B．π C． D．【解答】解：连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝2m，∵AB7+BC2＝27，∴AB＝BC＝m，∴阴影部分的面积是（m5），故选：C．6．（2分）如图，▱ABCD中，AD∥BC，CD＝4，∠B＝60°．若点P在线段BC上，则符合要求的点P的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：如图，连接AC，连接AK．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∵BK＝KC＝3，∴BA＝BK，∵∠B＝60°，∴△ABK是等边三角形，AK＝BK＝KC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴以AD为直径作⊙O交BC于P2，P3，此时△ADP3，△ADP3是直角三角形，当∠DAP1＝90°时，△DAP是直角三角形，∴符合条件的点P有三个，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）某招聘考试分笔试和面试两项，笔试成绩和面试成绩按3：2计算平均成绩．若小明笔试成绩为85分，面试成绩为90分87分．【解答】解：小明的平均成绩是：＝87（分）．故答案为：87．8．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1．则m＝3．【解答】解：∵x1、x2是方程x8﹣4x+m＝0的两个根，∴x2+x2＝4，x5x2＝m，∵x1+x5﹣x1x2＝5∴4﹣m＝1，∴m＝3故答案为：39．（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是120°．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为120．10．（2分）如图，在扇形OAB中，C为，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O72°．【解答】解：连接OC，∵AO＝OC，OC＝OB，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC，∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°，∴∠AOB+2∠ACB＝360°，又∵∠ACB＝2∠AOB，∴3∠AOB＝360°，∴∠AOB＝72°，故答案为：72．11．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为68°．【解答】解：连接OB，∵BC为切线，∴OB⊥OB，∴∠OBC＝90°，∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∵∠ODA＝∠BCC＝68°，∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝22°，∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°．故答案为：68．12．（2分）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E＝210°30°．【解答】解：连接CE，如图，∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠B+∠AED＝210°，∴∠CED＝210°﹣180°＝30°，∴∠CAD＝∠CED＝30°．故答案为30．13．（2分）⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO＝38°52°或128°．【解答】解：如图，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝38°，∴∠AOB＝104°，∴∠C＝∠AOB＝52°，∴∠C′＝180°﹣52°＝128°，故答案为52°或128°．14．（2分）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，AD＝2，则BC＝6．【解答】解：设AB、BC、DA与⊙O的切点分别为E、H、G、F，∵AB、BC、DA都是⊙O的切线，∴AF＝AE，BE＝BH，DG＝DF，∴AD+BC＝AF+DF+BH+CH＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD，∵AD＝2，AB+CD＝8，∴BC＝AB+CD﹣AD＝7﹣2＝6，故答案为：4．15．（2分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c都为有理数）的一个解是x1＝4﹣2，则方程的另一个解是．【解答】解：设方程的另一个根为x2，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3中，a、b、c是有理数，∴、都是有理数，∴x1+x2，x2•x2均是有理数，∵方程的一个根是，∴方程的另一个根是，故答案为：．16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD内部找一点E，则线段DE的最小值为．【解答】解：如图，以BP的中点O为圆心，在矩形ABCD中，AD＝BC＝4，∵∠BCP＝90°，∴所画圆是Rt△BCP的外接圆，弦BC左侧圆弧上任意一点E与BC构成的∠BEC与∠BPC共弦，∴∠BEC＝∠BPC，连接OD与圆的交点即为DE的最短距离，作OH⊥DC于点H，∴H是PC的中点，∴OH是△PBC的中位线，∴OH＝BC＝2，∵P为CD的中点，∴CP＝DP＝CD＝3，∴PH＝CP＝，∴DH＝DP+PH＝7+＝，∴OP＝＝＝，∴OE＝OP＝，∵OD＝＝＝，∴DE＝OD﹣OE＝﹣＝．故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）3x（x+2）＝2x+4．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣6＝0，∴x2﹣7x＝5，∴x2﹣8x+9＝5+2，即（x﹣3）2＝8，∴x﹣3＝±，∴x1＝7+，x2＝3﹣；（2）7x（x+2）＝2x+8，3x（x+2）﹣4（x+2），（3x﹣4）（x+2）＝0，3x﹣2＝0或x+3＝0，∴x1＝，x2＝﹣6．18．某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量＝当月的销售量一上月的销售量，月增长率＝×100%，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆（万辆），月增长率为20%．（1）下列说法正确的是B．A.2月份的销售量为0.4万辆B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆C.5月份的销售量最大D.5月份销售的月增长率最大（2）6月份的销售量比1月份增加了多少万辆？（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．【解答】解：（1）A．∵月增量＝当月的销售量一上月的销售量，∴无法得到2月份的销售量，故选项错误；B．∵（0.3+0.2﹣2.2+0.3+0.4）÷6＝0.26，∴2月份至3月份销售的月增量的平均数为0.26万辆，故选项正确，符合题意；C．∵6月份的月增量为8.4＞0，∴5月份的销售量小于6月份的销售量，即5月份的销售量不是最大，故选项错误；D．因为不知道8月份的销售量，无法计算月增长率，故选项错误；故选：B；（2）设1月份销售量为x可得：x+0.8+0.2﹣2.2+0.7+0.4＝x+8.3，∴x+1.8﹣x＝1.3，∴增加了3.3万辆；（3）不同意这种观点，理由如下：月增长量为正，月增长量为负，3月份增长量为3.2＞0，7月份增长量为﹣0.2＜8，即销售量不是持续减少．19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，AD＝BE．求证：（1）DE∥AB；（2）DC＝EC．【解答】证明：（1）连接BD，AE，∵AD＝BE，∴＝，∴∠ABD＝∠EAB，∵∠ABD＝∠AED，∴∠AED＝∠EAB，∴DE∥AB．（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠EDA+∠ABE＝180°，又∵∠EDA+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABE，∵DE∥AB，∴∠CED＝∠ABE，∴∠CED＝∠CDE，∴DC＝EC．20．如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，求小路的宽度．【解答】解：设小路的宽度是xm，根据题意得出：（16+2x）（12+2x）﹣16×12＝×16×12，整理得：x2+14x﹣32＝7，解得x1＝2，x2＝﹣16（不合题意，舍去）．答：小路的宽度是2m．21．如图，△ABC中，AB＝AC，交AC于E．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠BAC＝50°，求∠EBC和∠EDC的度数．【解答】（1）证明：连接AD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABE＝40°，∴∠EBC＝25°，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC＝50°．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【解答】解：（1）根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞2，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k＝5或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣6k为完全平方数，则k的值为2．23．已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，，BE交AD的延长线于点F，延长BE、AC交于点G．求证：BF＝FG．【解答】证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠ACB+∠ABD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵，∴∠ACB＝∠ABE，∴∠BAD＝∠ABE，即∠BAF＝∠ABF，∴FB＝FA，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠GAF＝90°，∠ABF+∠G＝90°，∵∠BAF＝∠ABF，∴∠GAF＝∠G，∴FA＝FG，∴BF＝GF．24．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E．（1）求证CE是⊙O的切线；（2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为．【解答】（1）证明：连接DO，如图1，∵OC∥AD，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD， 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ODE＝90°，A是OE的中点，∴AD＝OE＝3＝OA，∵OA＝OD＝3，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，由勾股定理得：DE＝＝3，∴阴影部分的面积＝S△ODE﹣S扇形OAD＝﹣＝．故答案为：．25．某商店经销的某种商品，每件成本价为40元．经市场调研，售价为50元/件；销售单价每提高1元，销售量将减少5件．如果商店将一批这种商品全部售完，问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？【解答】解：设每件售价为x元，则可售出这种商品[150﹣5（x﹣50）]件，根据题意得：（x﹣40）[150﹣5（x﹣50）]＝1500，整理得：x7﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x4＝70，当x＝50时，150﹣5（x﹣50）＝150；当x＝70时，150﹣5（x﹣50）＝50．答：每件售价为50元时，销售这种商品150件，销售这种商品50件．26．已知点A在⊙O上，（1）在图①中，点B在⊙O上，用尺规作图：在，使得△ABC为等腰三角形；（2）用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，分别满足下列要求：①在图②中，使得△ABC为直角三角形；②在图③中，使得△ABC为等腰三角形，且AB＝AC．【解答】（1）解：如图①所示△ABC，△ABC1，△ABC2，△ABC4为所求作的等腰三角形；理由如下：由作图可知：AB＝AC＝AC1，∴△ABC，△ABC1，为等腰三角形；又∵C7，C3是线段AB的垂直平分线与⊙O的交点，∴AC2＝BC7，AC3＝BC3，∴，△ABC5，△ABC3为等腰三角形；（2）①解：如图②所示△ABC为所求作的直角三角形；理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形；②如图③所示△ABC为所求作的等腰三角形；理由如下：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴AE⊥DG，DF⊥AG，∴点H是△GAD的垂心，∴GH⊥AH，根据垂径定理得：AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴△ABC为所求作的等腰三角形．27．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝45°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你又什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列