4.基坑工程(马海龙)第四章-支挡结构内力-4-王亚军

基坑工程第4章支挡结构内力ExcavationEngineering

2§4.1文克勒地基模型§4.2文克勒地基上无限长梁的解答§4.3文克勒地基上竖直梁的计算§4.4支挡结构的弹性支点法§4.5平面连续介质有限元法第4章支挡结构内力基坑支护工程要达到的目的，是一个可开挖的、稳定的系统，这取决于支挡结构强度（变形）与基坑稳定（主要是土体的相关稳定）这两大方面。竖向支挡结构主要有排桩（钢筋砼灌注桩、型钢水泥土搅拌墙）、地下连续墙等形式，水平向的支撑则有钢筋砼（钢管）内支撑、锚杆（锚索）等形式。根据具体的支挡形式，基坑的稳定性有抗倾覆稳定性、抗隆起稳定性嵌固稳定性、抗渗透稳定性，以及基坑整休稳定性等。因此，基坑工程的计算主要包括这两方面，一是支挡结构内力与变形计算，二是基坑的相关稳定性计算。概述挡土结构内力分析是基坑工程设计中的重要内容。随着基坑工程的发展和计算技术的进步，挡土结构的内力分析方法，从早期的古典分析方法，到解析方法，再到解决复杂问题的数值分析方法，经历了不同的发展阶段。古典分析方法主要包括平衡法、等值梁法、塑性铰法等。平衡法又称自由端法，适用于底端自由支承的悬臂式挡土结构和单锚式挡土结构。等值梁法又称假想铰法，可以求解多支撑（锚杆）的挡土结构内力。塑性铰法又称太沙基法，该方法假定挡土结构在横撑（除第一道撑）支点和开挖面处形成朔性铰，从而解得挡土结构内力。解析方法是通过将挡土结构分成有限个区间，建立弹性微分方程，再根据边界条件和连续条件，求解挡土结构内力和支撑轴力。常见的解析方法主要有山肩帮男法、弹性法和弹塑性法。早期的古典分析方法和解析方法由于在理论上存在各自的局限性而难以满足复杂基坑工程的设计要求，因而现在已应用得很少。目前常用的分析方法主要有平面弹性地基梁法，又称弹性支点法（规范推荐方法）和平面连续介质有限元方法。教材重点介绍了平面弹性地基梁法。地下结构计算模型：进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变关系，表达这种关系模式称为地下结构模型。土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构性、流变性、剪胀性。影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、应力历史。§4.1文克勒地基模型Winkler地基模型假定地基是由许多独立的且互不影响的弹簧组成，即假定地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变形s成正比，而p不影响该点以外的变形。文克勒地基模型:解析解：指能以函数的形式解析地表达出来地解答。如文克勒地基上梁的解答。数值解：把梁或板微分方程离散化，最终得到一组线性代数方程，从而求得近似地数值解。有限单元法有限差分法─地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度（kN/m3）；

─地基上任一点所受的压力强度（kPa）；

─作用点位置上的地基变形（m）。表达式Winkler地基模型：

柔性基础

刚性基础s1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比。把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根弹簧代替。压力与变形成正比。基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图形按直线规律变化。适用范围：1）地基主要受力层为软土；2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层地基；3）塑性区较大时；4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系代替群桩。优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传递剪力。关于基床系数k的确定：

根据式（4-1）的定义，基床系数k可以表示为：

k=p/s

由上式可知，基床系数k不是单纯表征土的力学性质的计算指标，其值取决于许多复杂的因素，例如基底压力的大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载影响等。因此，严格说来，在进行地基上梁或板的分析之前，基床系数的数值是难于准确预定的。

12基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。物理意义：使土体产生单位位移所需的应力；（1）按基础的预估沉降量确定

对于某个特定的地基和基础条件，可用下式估算基床系数：

k=p0/sm

式中p0——基底平均附加压力；sm——基础的平均沉降量。

对于厚度为h的薄压缩层地基，基底平均沉降sm=σzh/Es≈p0h/Es，代入上式得：

k=Es/h

式中

Es——土层的平均压缩模量。

如薄压缩层地基由若干分层组成，则上式可写成

式中

hi、Esi——第i层土的厚度和压缩模量。

14（2）按载荷试验成果确定如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p及其对应的沉降值s。承压板边长30cm

太沙基建议的方法：1ch×1ch的方形载荷板砂土考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。粘性土（3）其他方法（表格法等）基床系数k

值土的分类土的状态kN/m3淤泥质粘土3.0～5.0淤泥质粉质粘土5.0～10粘土，粉质粘土软塑可塑硬塑5.0～2020～4040～100砂土松散中密密实7.0～1515～2525～40砾石中密25～4017

基床系数k的取值对计算结果的影响：

在常用k

值范围内（k＝0.1～50MN/m3

），对弯矩影响不大，但对地基沉降影响很大。18如果将图（c）中的刚性基础换成一根梁的话，就转化为文克勒地基上梁的问题。作用在梁上的力有地基反力p，梁上的分布荷载q，以及作用在梁上的集中力F和弯矩M0

等。§4.2文克勒地基上无限长梁的解答根据材料力学，梁挠度ω的微分方程式为：21梁的位移——挠度和转角：

直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角。22

在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；

顺时针转向的转角

为正，逆时针转向的转角

为负。23

弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：梁的挠曲线的概念：24

直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。(a)(b)25梁的挠曲线近似微分方程：

在材料力学中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。26

在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有27从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q=w'沿x方向的变化率，是有正负的。28再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"

，正弯矩对应于负值的w"

，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w

2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程一般记为因此，梁挠度ω的微分方程式为：294.2.1无限长梁的解答一、微分方程根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：由梁的微单元的静力平衡条件∑M=0、∑V=0得到：

将上式连续对坐标x取两次导数，便得：

对于没有分布荷载作用（q=0）的梁段，上式成为：

上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。

采用文克勒地基模型时文克勒地基上梁的挠曲微分方程柔度特征值：λ单位为m-1,其倒数为特征长度。λ值与地基基床系数和梁的抗弯刚度有关，λ值越小，则基础的相对刚度愈大。四阶常系数线性常微分方程特征方程特征方程根

解得该方程的通解为：式中C１、C２、C３和C４为积分常数

当基础是无限长梁时，在特定荷载情况下，可以获得文克勒地基上无限长梁的解析解。对有限长梁，施加边界力后视为无限长梁，采用无限长梁的公式计算叠加，可以得到有限长梁的解答。1.集中荷载作用下的解答(1)竖向集中力作用下边界条件：当x→∞时，w→0。将此边界条件代入上式，得C１=C２=0。梁的右半部，上式成为：

对称性：在x=0处，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，则上式成为

F0Ox4-8静力平衡条件：再在O点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有V=－F0/2，由此得C=F0λ/2kb

。F0+V符号规定F0Ox将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数：

对F0左边的截面（x＜0），需用x

的绝对值代入计算，计算结果为w和M时正负号不变，但q和V则取相反的符号。

（2）集中力偶作用下当x→∞时，w→0，C１=C２=0。

当x=0时w=0，所以C3=0。

M0M0/2在右侧截面有M=M0/2，由此得C4=M0λ2/kb，于是

M0Ox求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：

当计算截面位于M0的左边时，上式中的x取绝对值，w和M取与计算结果相反的符号，而q和V的符号不变。

2、多个集中荷载作用下无限长梁计算集中力集中力偶把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加，即得到共同作用下的总效应：集中力集中力偶注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处；正确利用对称性；

2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx值分别查表得到；

4.2.2有限长梁思路：把有限长梁转化为无限长梁计算。

以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由边界条件的解答。附加荷载FA、MA和FB

、MB称为梁端边界条件力。设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别为Ma、Va及Mb、Vb，则

解上述方程组得：1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端A,B处的内力，并叠加为2、在无限长梁A、B处施加梁端边界条件力MA，PA，MB，PB,使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va，-Mb，-Vb；可求出梁端边界条件力。3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。有限长梁的计算步骤：掌握有限长梁的计算3.柔度指数梁的柔度特征值

表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值按ll值的大小将梁可划分三种：计算模式：对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简化方法计算；对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无限长梁计算；对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷载与梁端的最小距离x<π/λ时，按有限长梁计算。在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。

在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，称为半无限长梁。如图4-1中的条形基础抗弯刚度EI=4.3×103MPa·m4，长l=17m，底面宽b=2.5m，预估平均沉降sm=39.7mm。试计算基础中点C处的挠度、弯矩和基底净反力。例题4-1主要步骤：首先判断梁的柔度；将有限长梁转化为无限长梁计算；求得边界条件力；将外荷载和梁端边界条件力同时作用于无限长梁，求得待求截面处弯矩、挠度等结果。【解】（1）确定基床系数k设基底附加压力p0约等于基底平均净反力pj：

将单桩视为文克勒地基上的一根竖直梁，梁上作用水平荷载，文克勒地基则由水平向放置的若干弹簧构成，与长梁类似，通过建立竖向梁的挠曲微分方程，计算桩身的弯矩、剪力、挠曲等。§4.3文克勒地基上竖直梁的计算文克勒地基上竖直梁的水平反力（抗力）与变形的关系为：4.3.1水平抗力系数的比例系数m此式忽略桩土之间的摩阻力对水平抗力的影响以及邻桩的影响。─作用在桩身的水平反力，或地基土的水平反力，（kN/m2）；

─水平反力系数，或水平基床系数，（kN/m3）；

─水变形，（m）；

地基水平抗力系数kx的分布和大小，将直接影响挠曲微分方程的求解和桩身截面内力的变化。各种计算理论假定的kx分布图式不同。较为常用的有下列四种计算方法。

①常数法：假定沿深度为均匀分布即kx=k。这是我国学者张有龄在三十年代提出的方法。②

k法：假定在桩身第一挠曲零点以上按直线分布即kx=kz；以下段为常数，即kx=k。③m法：假定kx沿深度z成正比增加，即kh=mz。图4-3（c）。④c值法：假定kx沿深度z按cz1/2的规律分布，即kx=cz1/2。

实测资料表明：m法（当桩的水平位移较大时）和c值法（当桩的水平位移较小时）比较接近实际。

实测资料表明，m法（当桩的水平位移较大时）和c值法（当桩的水平位移较小时）比较接近实际。在采用m法进行水平受荷桩设计计算时，水平抗力系数的比例系数m应按单桩水平静载试验确定，如无试验资料，可参考表4-1取值。

上述四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同，其计算结果有所差异。目前应用较广并列入设计规范中的是“m”法。按“m”法计算时，地基系数的比例系数m值可根据试验实测决定，无实测数据时可参考下表中的数值选用；非岩石类土的比例系数m值序号土的分类m或m0（MN/m4）1流塑粘性土IL>1、淤泥3～52软塑粘性土1>IL>0.5、粉砂5～103硬塑粘性土0.5>IL>0、细砂、中砂10～204坚硬、半坚硬粘性土IL<0、粗砂20～305砾砂、角砾、圆砾、碎石、卵石30～806密实粗砂夹卵石，密实漂卵石80～120基于“m”法弹性单排桩基桩内力和位移计算“m”法的基本假定是认为桩侧土为文克尔离散线性弹簧，不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力，桩作为弹性构件考虑，当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形，任一深度h处所产生的桩侧土水平抗力与该点水平位移x成正比，即px=kxx，且水平基床系数kx随深度成线性增长，即kx=mh。基于这一基本假定，进行桩的内力与位移的理论公式推导和计算。（1）挠曲微分方程4.3.2桩的挠曲微分方程

桩顶若与地面平齐（Z=0），且已知桩顶作用有水平荷载H0及弯矩M0，此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力px，如图1所示。从材料力学中知道，梁轴的挠度与梁上分布荷载q之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为式中：E、I——梁的弹性模量及截面惯矩。因此可以得到图1所示桩的挠曲微分方程为图1桩身受力图示

在公式推导和计算中，取图1和图2所示的坐标系统，对力和位移的符号作如下规定：横向位移顺x轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩当左侧纤维受拉时为正值；横向力顺x轴方向为正值，如下图2所示。图2力与位移的符号规定

式中：E、I——桩的弹性模量及截面惯矩；

px——桩侧土抗力px=kxx，kx为水平基床系数；

b0——桩的计算宽度；

x——桩在深度z处的横向位移（即桩的挠度），m。将上式整理可得：

或式中：

——桩-土变形系数，（1）（2）土反力计算宽度b0由试验研究分析得出，桩在水平外力作用下，桩后的桩侧土受到挤斥，除了桩身宽度内桩侧土受挤压外，在桩身宽度以外的一定范围内的土体也受到一定程度的影响（空间受力）。且对不同截面形状的桩，土受到的影响范围大小也不相同。为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状，将桩的设计宽度b（直径或边长）换算成相当于实际工作条件下的影响宽度b0，又称桩的土反力计算宽度。桩的土反力计算宽度可按以下方法确定：（1）方形截面桩：当实际宽度b>1m时，b0=b+1；当b≤1m时，bo

=1.5b+0.5。（2）圆形截面桩：当桩径d>1m时，b0=0.9（d+1）；当d≤1m时，b0=0.9（1.5d+0.5）。

从上式中不难看出：桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度（包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有关，

是与桩土变形相关的系数。（1）

式（1）为四阶线性变系数齐次常微分方程，在求解过程中注意运用材料力学中有关梁的挠度xz与转角

z、弯矩Mz和剪力Qz之间的关系即

若地面处（Z=0）桩的水平位移、转角、弯矩和剪力分别以x0、

0、M0和Q0表示，解方程组（1），得到桩身任一截面的转角

Z、弯矩MZ，及剪力QZ的计算公式：

（2）（3）（4）（5）

A1、B1……C4、D4——16个无量纲系数，根据不同的无量纲深度可将其制成表格供查用（可参见《公桥基规》）。根据土抗力的基本假定，可求得桩侧土抗力的计算公式：（6）px=kxx，kx=mz

以上求算桩的内力位移和土抗力的式（2）～（6）五个基本公式中均含有x0、

0、M0、Q0这四个参数。其中M0、Q0可由已知的桩顶受力情况确定，而另外两个参数x0、

0则需根据桩底边界条件确定。由于不同类型桩，其桩底边界条件不同，现根据不同的边界条件求解x0、

0如下。1．摩擦桩、支承桩x0、

0的计算

摩擦桩、支承桩在外荷作用下，桩底将产生位移xh、

h。当桩底产生转角位移

h时，桩底的土抗力情况如右图所示，与之相应的桩底弯矩值Mh为式中：A0——桩底面积；

I0——桩底面积对其重心轴的惯性矩；

C0——基底土的竖向地基系数，Co=m0h。

这是一个边界条件，此外由于忽略桩与桩底土之间的摩阻力，所以认为Qh=0，这为另一个边界条件。将分别代入式（4）、（5）中得又解以上联立方程，并令，则得

根据分析，摩擦桩且ah>2.5或支承桩且ah≥3.5时，Mh几乎为零，且此时Kh对、……等影响极小，可以认为Kh=0，则上式可简化为均为

Z的函数，已根据

Z值制成表格，可参考《公桥基规》。(7)2.嵌岩桩、的计算

如果桩底嵌固于未风化岩层内有足够的深度，可根据桩底xh、

h等于零这两个边界条件，解得也都是

Z的函数，根据

Z值制成表格，可查阅有关规范。(8)（二）计算桩身内力及位移的无量纲法

按上述方法，用基本公式（2）、（3）、（4）、（5）计算xz、

z、Mz、Qz时，计算工作量相当繁重。若桩的支承条件及入土深度符合一定要求，可采用无量纲法进行计算，即直接由已知的M0、Q0求解。1．的摩擦桩及的支承桩将式（7）代入式（2）得式中：（9a）

同理，将式（7）分别代入式（3）、（4）、（4-5）再经整理归纳即可得（9b）（9c）（9d）2．

h>2.5的嵌岩桩将式(8)分别代入式(2)、(3)、(4)、(5)再经整理得（10a）（10b）（10c）（10d）（三）桩身最大弯矩位置ZMmax和最大弯矩Mmax的确定

目的：用于检验桩的截面强度和配筋计算（关于配筋的具体计算方法，见结构设计原理教材内容）。

一般方法：要找出弯矩最大的截面所在的位置及相应的最大弯矩Mmax值。一般可将各深度Z处的Mz值求出后绘制Z－Mz图，即可从图中求得。

数解法

：

在最大弯矩截面处，其剪力Q等于零，因此Qz=0处的截面即为最大弯矩所在的位置。（四）桩顶位移的计算公式

右图为置于非岩石地基中的桩，已知桩露出地面长l0，若桩顶为自由，其上作用了Q及M，顶端的位移可应用叠加原理计算。设桩顶的水平位移为x1，它是由：桩在地面处的水平位移x0、地面处转角

0所引起在桩顶的位移

0l0、桩露出地面段作为悬臂梁桩顶在水平力Q作用下产生的水平位移xQ以及在M作用下产生的水平位移xm组成，即桩顶位移计算

桩顶转角

1则由：地面处的转角

0，桩顶在水平力Q作用下引起的转角

Q及弯矩作用下所引起的转角

m组成即经计算和经整理归纳，可得到如下计算结果：（五）单桩、单排桩计算步聚及验算要求

综上所述，对单桩及单排桩基础的设计计算，首先应根据上部结构的类型，荷载性质与大小，地质与水文资料，施工条件等情况，初步拟定出桩的直径、承台位置、桩的根数及排列等，然后进行如下计算：

1．计算各桩桩顶所承受的荷载Pi、Qi、Mi；

2．确定桩在最大冲刷线下的入土深度（桩长的确定）；3．验算单桩轴向承载力；4．确定桩的计算宽度b1；5．计算桩—土变形系数

值；6．计算地面处桩截面的作用力Q0、M0，并验算桩在地面或最大冲刷线处的横向位移x0不大于6mm。然后求算桩身各截面的内力，进行桩身配筋及桩身截面强度和稳定性验算；7．计算桩顶位移和墩台顶位移，并进行验算；8．弹性桩桩侧最大土抗力是否验算，目前无一致意见，现行桩基设计规范对此也未作要求。将单位宽度的挡土结构（钢筋砼灌注桩、型钢水泥土搅拌墙、地下连续墙等）作为竖向放置的弹性地基梁，支撑和锚杆简化为弹簧支座，基坑内开挖面以下土体采用弹簧模拟，挡土结构外侧作用已知的水压力和土压力，这种计算支挡结构内力的方法，称为弹性支点法。§4.4支挡结构的弹性支点法4.4.1绕曲微分方程取计算宽度为b0的支护结构（对于桩来说，就是一根桩的土反力计算宽度）作为分析对象，可列出竖向弹性地基梁的挠曲微分方程。对于悬臂式支挡结构，其挠曲微分方程如下：对于有支点处挡土结构的挠曲微分方程为支撑与描杆作用点处，其挠曲微分方程如下：─z深度处的主动土压力，（kN/m2）；

─水平荷载计算宽度，（m）；

─锚杆或内支撑对支挡结构计算宽度内的弹性支点水平反力，（kN）；

考虑土体的分层（m值不同）及水平支撑的存在等实际情况，需沿着竖向将支护体划分成若干单元，列出每个单元的上述微分方程，一般可采用杆系有限元方法求解。划分单元时应考虑土层的分布、地下水位、支撑的位置、基坑的开挖深度等因素。分析多道支撑分层开挖时，根据基坑开挖、支撑情况划分施工工况，按照工况的顺序进行支护结构的变形和内力计算，计算中需考虑各工况下边界条件、荷载形式的变化，并取