第1-2章阶段检测卷-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1-2章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版一、单选题1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．若是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（

）A． B． C． D．3．某商品经过两次降价，销售单价由原来100元降到64元，则平均每次降价的百分率为（

）A． B． C． D．4．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（

）A． B．C． D．5．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（

）A．1 B． C． D．46．如图，是的直径，，则（

）A． B． C． D．7．如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（）A．4 B． C． D．8．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦AB的长为（

）A．4cm B． C． D．二、填空题9．已知，是方程的两根，则．10．为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是．11．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为．12．某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩盒．13．如图，AB是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交于点D，，若，则的半径为．14．如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需分钟．15．如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为．16．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F．若，则阴影部分的面积为．（结果保留π）三、解答题17．解方程∶(1)(2)18．已知，是一元二次方程的两个实数根．(1)求实数的取值范围．(2)若，满足；求实数的值．(3)实数在（2）条件下，求代数式的值．19．如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”．①

②(2)若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值．20．如图，四边形为平行四边形，为上一点，以为半径作，与、的延长线分别相切于点、，与相交于点．

(1)求的度数；(2)试探究、、之间的数量关系，并证明．21．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．22．已知都是上的点，仅用无刻度的直尺完成画图．(1)在图1中，是的直径，的顶点在上，画的中点；(2)在图2中，是的直径，的顶点分别在上，画的中点；(3)在图3中，四边形是的内接矩形，是的中点，画平分交于点．23．已知直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：与轴交于点，于直线交于点．(1)如图1，点的横坐标为4，若点是：上一动点，①求直线的函数表达式；②连接，若的面积为4，求的坐标；(2)如图2，点是线段上一点，，在线段上取点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在直线上，且，在平面内是否存在一点，使得四边形为正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为．（2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交AB于点，是弧CD上的一个动点，连接，则的最小值是．（3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，CD向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值．（4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧AB上一动点，交直线CB于点，则面积的最大值是．参考答案：题号12345678答案DDBCCDAC1．D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：D．2．D【分析】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据一元二次方程的定义即可求解，掌握根据一元二次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，解得：，∵为一次项系数，∴一次项系数为：，故选：D．3．B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键．根据“商品原来价格每次降价的百分率现在价格”，设出未知数，列方程解答即可．【详解】解：设这种商品平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得：，解得：（不合题意，舍去），故选：B．4．C【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：，移项，得，配方，得，即，故选：C．5．C【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧．根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答．【详解】解：∵圆心到弦的距离为2，∴，∵弦的长为4，∴，∴，即圆O的半径长是，故选：C．6．D【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：D．7．A【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题．【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．∵，，∴，，∵，，∴．同法可得，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，过点作交的延长线于T．∵，∴，，∴，∴，∴，，根据对称性可知，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．8．C【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．【详解】解：连接，由题意得：，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∴截面圆中弦AB的长为．故选：C．9．【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程的两根，∴，∴，∴．故答案为：．10．【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，根据“2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．【详解】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，根据题意，得，解得（不符合题意，舍去），答：该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为．故答案为：．11．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，，，，，即，，，解得，．检验：当时，原方程可化为，，方程有实数根，符合题意；当时，原方程可化为，，方程无实数根，不符合题意．故答案为：12．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可．【详解】解：设该网店降价元，则根据题意可得：，整理得：，解得：，∵尽快减少库存，∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，故答案为．13．5【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，，∵劣弧沿弦折叠交于D，∴，∴，∵，∴，在中，，解得（负值舍去），∴，∴的半径为5，故答案为5．14．5【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先根据摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时、的长，证明为等边三角形，得出的度数，进而可得出结论．【详解】解：摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，，，设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米，连接，，，，则，处乘摩天轮到地面的距离是47米时，，，∴，∴，∴，∴为等边三角形，，，游客从处乘摩天轮绕一周需15分钟，游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时最少需要（分钟）．故答案为：5．15．【详解】本题主要考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，灵活运用相关定理成为解题的关键．如图，根据正五边形的性质，可知圆周长，进而求出，求出，即可解答．【分析】解：五边形为正五边形，，圆周长，，，．故答案为：．16．【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：与切于，，由题意可知：，，四边形是平行四边形，，，为边中点，，，，，，，，，四边形是正方形，阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．17．(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把原方程整理得到，再配方解方程即可；（2）先利用平方差公式把原方程变形为，据此解方程即可．【详解】（1）解：原方程整理得，配方，得．∴，或．，．（2）解：∵，∴∴，∴或，∴，．18．(1)(2)(3)【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．（1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值求解即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，而可化为，将其代入化简即可求解．（3）当时，可得，，，，，分别代入代数式中即可化简求解．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，即，解得：，∴实数的取值范围．（2）解：由根与系数关系可得，，∵，∴，∴，∴，上式可化为，解得，，∵实数的取值范围，∴．（3）解：当时，原一元二次方程为，∴，，，∴，，故，，，，，，，代入，，原式，∴代数式的值为．19．(1)①它是“倍根方程”；②它不是“倍根方程”(2)或【分析】本题考查了一元二次方程的解与解一元二次方程，分式的化简求值，理解“倍根方程”的定义是解题的关键．（1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行直接判断；（2）根据“倍根方程”的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解．【详解】（1）解：①，因式分解，得，∴或，解得，∴，∴是“倍根方程”；②，因式分解，得，∴或，解得，∵，，∴不是“倍根方程”；（2）解：解方程得，，∵该方程是“倍根方程”，∴或，∴或，即或，当时，即，，当时，即，，∴的值为或．20．(1)(2)，证明见解析【分析】（1）连接，由平行四边形的性质，得到，，，根据圆的切线的性质，得出是等腰直角三角形，进而得到，即可求出的度数；（2）连接，根据圆的切线的性质，得出是等腰直角三角形，进而得出，由勾股定理，得出，再结合，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，连接，四边形为平行四边形，，，，与相切于点，，，，是等腰直角三角形，，；

（2）解：，证明如下：如图，连接，与相切于点，，，，是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．21．(1)见解析(2)2【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；（2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论；【详解】（1）证明：如图，连接，则，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的半径，且，∴直线是的切线；（2）解：∵线段是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴．又，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴；∵，，∴，∴，∴，∴．22．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】本题主要考查了应用与设计作图，解题关键是仔细分析题意，结合菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、圆周角性质以及垂径定理及其推论作图．（1）连接并延长，交于点，结合四边形为平行四边形且，可知四边形为菱形，根据“菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角”易得，进而可得，即可获得答案；（2）连接交于点，连接并延长，交于点，根据“平行四边的对角线相互平分”可知点为中点，根据垂径定理的推论“平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可知，即可获得答案；（3）连接交于点，连接并延长，交于点，连接，根据“矩形的对角线相等且相互平分”以及“90度圆周角所对的弦为直径”可知为圆心，进而可得，易知，根据垂径定理可得，则有，即可获得答案．【详解】（1）解：如下图，连接并延长，交于点，点即为所求；（2）如下图，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求；（3）如下图，连接交于点，连接并延长，交于点，连接，即为所求；23．(1)①；②或(2)【分析】（1）①先求出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可；②分点E在点D的左侧和右侧两种情况讨论即可；（2）过M作于E，过作于F，根据证明，，，求出直线的解析式为，设，可求，代入，可求出，进而求出，由，可得方程，求出方程的解，得出M、N的坐标，然后根据正方形的性质求解即可．【详解】（1）解：①∵点的横坐标为4，∴点的纵坐标为，∴，把代入，得，解得，∴直线的函数表达式为；②对于，当时，，∴，对于，当时，，∴，∴