上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)

同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试高二年级数学学科试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．空间中两条直线没有公共点，则这两条直线的位置关系是______．2．半径为2的球的表面积为______．3．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的余弦值为______．4．在四面体中，若底面的一个法向量为，则顶点到底面的距离为______．5．圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为______．6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则原平面图形的面积为______．7．三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8．在空间四边形中，分别是边的中点，若四边形对角线，对角线与所成的角为，则______．9．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是______．10．已知二面角为是半平面内一点，点到平面的距离是1，则点在平面内的投影到的距离是______．11．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为______．12．如图，正方体的棱长为4，点在正方形的边界及其内部运动．平面区域由所有满足的点组成，则四面体的体积的取值范围是______．二、选择题（本题满分18分，共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13．已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A．16 B．18 C．20 D．2215．为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是；②经过3个点有且只有一个平面；③若为两条异面直线，，则．④若为两条异面直线，且，则．A．0 B．1 C．2 D．316．将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”，如图，在堑堵中，，且．下列说法错误的是（）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积的最大值为D．过点作于点，过点作于点，则面三、解答题（本题满分78分，共5小题17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点．（1）证明：平面．（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示）18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，已知为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，如图所示上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．（1）若，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧校长为6m，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面平面；（3）若是的中点，点在线段上，求的最小值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点