第02讲 三角形的高线、中线和角平分线（解析版）

第02讲三角形的高线、中线和角平分线【学习目标】1.掌握三角形中三条重要的线段的概念;2.了解三角形的稳定性在日常生活中的应用.【基础知识】知识点01三角形的高线1、三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线；文字叙述线段AD是△ABC的边BC上的高AD⊥BC,垂足为D点D在BC上,且∠ADB=∠ADC=90°2、三角形高的画法：过顶点向对边或对边的延长线作垂线段即可.三角形作高图形高线位置高线（高线延长线）交点O的位置锐角三角形三条高线在三角形内部在三角形内部直角三角形有两条高线与直角边重合，有一条高线在三角形内部在三角形直角顶点钝角三角形由两条高线在三角形外部，有一条高线在三角形内部在三角形外部【注意】（1）三角形的高线是线段；（2）作钝角三角形中钝角所在两边上的高,要先把这两条边延长再作高,如图所示.（3）直角三角形的两直角边为a和b，斜边为c，则斜边上的高为；知识点02三角形的中线1、三角形的中线定义：三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线；2、三角形中线的描述：图形文字叙述线段AD是BC边上的中线D是BC边的中点BD=CD=BC3、三角形的重心（1）三角形的三条中线交于三角形内部一点,这个点叫做三角形的重心.（2）三角形具有稳定性.4、三角形中线的性质：三角形的一条中线，平分三角形的面积；如图，AF⊥BC于点F，所以知识点03三角形的角平分线1、定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；图形文字叙述线段AD是△ABC的角平分线∠1=∠2=∠BAC,且点D在BC上AD平分∠BAC,交BC于点D【注意】三角形的角平分线的特征：（1）三角形的角平分线把三角形的一个内角分成两个相等的角，一般和三角形角的计算相关联;（2）任何三角形都有三条角平分线,这三条角平分线相交于一点,这个点在三角形内部.知识点04三角形的稳定性三角形的稳定性四边形的不稳定性将3根木条用钉子钉成三角形后，三角形木架的形状不会改变,说明三角形具有稳定性用4根木条用钉子钉成四边形后,四边形木架的形状会改变,说明四边形具有不稳定性三角形稳定性的应用四边形不稳定性的应用【考点剖析】考点一：三角形的高线例1．过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是（）【答案】A【解析】根据三角形高的定义,过点A作BC的垂线段,选项A正确,其余选项都错误.故选A.【总结】判断高线方法：一看顶点:三角形的高一定过顶点;二看垂足:三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上.只要满足这两个原则,就能判断某条线段是否为三角形的高.考点二：三角形的中线例2．如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,AABC的面积是4cm2,则△BEC的面积是( )A.2.5cm2 B.2cm2 C.1.5cm2 D.1cm2【答案】B【解析】因为三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形,AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ACD=S△ABC=2cm2.又因为E是AD的中点，所以BE和CE分别是△ABD和△ACD的中线，所以S△BDE=S△ABD=lcm2,S△CDE=S△ACD=1cm2，所以S△BEC=S△BDE+S△CDE=2cm2.故选B.考点三：三角形的角平分线例3．下列说法正确的是（）①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线;②三角形的中线、角平分线都是线段,而高是直线;③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线;④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线.A.③④ B.③ C.②③ D.①④【答案】B【解析】任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线,并且它们都是线段,不是射线或直线,因此只有③正确,故选B.考点四：三角形的稳定性例4．以下不是利用三角形稳定性的是（）A、在门框上斜钉一根木条B、高架桥的三角形结构C、伸缩衣挂D、屋顶的三角形钢架【答案】C【解析】伸缩衣挂是四边形结构,利用的是四边形的不稳定性.故选C.答案:C【总结】三角形的稳定性的实质是三角形的各边的长度被确定后,其形状不会再发生改变.现实生活中常常利用这一性质,将原本不稳定的形状转化为三角形,使之稳定.考点五：三角形高线的计算例5．如图,在△ABC中,AB=AC=10，BC=12,AD,BE分别是边BC,AC上的高﹐且AD=8,求BE的长.【答案】【分析】已知三角形的底边和高,考虑三角形的面积公式.根据三角形面积公式,得BC·AD=AC·BE,进而求得BE的长.【解析】解:在△ABC中,AD,BE分别是边BC，AC上的高，已知AC=10,BC=12,AD=8，根据三角形面积公式,得BC·AD=AC·BE，即×12×8=×10×BE，解得BE=.考点六：三角形的高线例6．如图所示,CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，求△ACD和BCD的周长差.【答案】6cm【分析】观察两个三角形三边之间的关系，找出长度有差异的线段是关键.根据CD是AABC的中线，可得BD=AD,在△ACD和△BCD中,CD是公共边﹐所以△ACD和△BCD的周长差就是AC和BC的差.【解析】解:因为CD是△ABC的中线，所以BD=AD，所以△ACD和△BCD的周长差为(AC+CD+AD)－(BC+CD+BD)=AC－BC=9—3=6(cm)，所以△ACD和△BCD的周长差为6cm.【总结】中线应用(1)根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角步的周长有关的问题;(2)根据中线分三角形得面积相等的两部分,用于求解与面积有关的问题.考点七：三角形的高线例7．【例3】如图,∠1=∠2=∠3=∠4.(1)AD是△和△的角平分线;(2)试判断∠EAF与∠BAC的关系.【分析】三角形角平分线分得的两个角相等.根据∠1=∠2=∠3=∠4，可得∠1+∠2=∠3+∠4，所以AD是△AEF和△ABC的角平分线;(2)根据∠1=∠2=∠3=∠4,可得∠2+∠3=∠1+∠4,所以∠EAF=∠BAC.【解析】解:（1）AEF ABC（2）因为∠1=∠2=∠3=∠4,所以∠2+∠3=,即.考点八：三角形稳定性的应用例8．如图,李师傅用4根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上的木条数量是（）A、0根 B、1根 C、2根 D、3根【答案】B【分析】变为三角形可使图形稳定.【解析】如图,在顶点A,C之间或B,D之间钉一根木条，可使原来不稳定的四边形木架分成两个稳定的三角形木架,这种做法的根据是三角形的稳定性.故选B.考点九：三角形的概念判断例9．下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部B.直角三角形的高只有一条C.钝角三角形的三条高都在三角形外D.三角形的高至少有一条在三角形内【答案】D【解析】三角形的角平分线和中线都在三角形内部，但是高线不一定全在三角形内部,故A选项错误;任意三角形都有三条高,故B选项错误;锐角三角形的三条高都在三角形内部,直角三角形和钝角三角形只有一条高在三角形内部,故C选项错误，D选项正确.【即学即练】1．下列图形具有稳定性的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高.考点：三角形的高3．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=，x=．则四边形PDCE的面积为x+y=．故选B．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．4．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可．【详解】∵DF是△CDE的中线，∴S△CDE=2S△DEF，∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF，∵△DEF的面积是2，∴S△ABC=2×8=16．故选A【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．5．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线 B．三角形的中线C．三角形的高 D．以上皆不对【答案】C【解析】【详解】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.故选C.6．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（）A．10 B．10.8 C．12 D．15【答案】B【解析】【详解】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC的面积=×12×9=BC⋅AD=54，即12BC⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.7．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先根据求出BD的长，然后根据中线的定义求出BC的长即可．【详解】解：∵，∴，∵AD是中线，∴BC=2BD=8cm故选C．【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．如图，CM是的中线，的周长比的周长大，，则AC的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【详解】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，∴AM=BM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，∴BC-AC=3cm，∵BC=8cm，∴AC=5cm，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．9．若线段分别是边上的高线和中线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各选项可得答案．【详解】解：如图，是的高，是的中线，当为等腰三角形，且时，等号成立．故错误，正确，故选：．【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，三角形的高，中线的含义，掌握以上知识是解题的关键．10．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【答案】A【解析】【详解】三角形的重心是三条中线的交点，故选A．11．如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，.若∠1=∠2，则，不能判定，故A符合题意；若∠1＋∠2＝90°，则，∴AB∥CD，故B不符合题意；若∠3＋∠4＝90°；则，∴AB∥CD，故C不符合题意；若∠2＋∠3＝90°．则，∴AB∥CD，故D不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.12．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（

）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解析】【分析】先根据平行线的性质得出，再根据平分得出，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：证明：∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠DFG，∵FG平分∠DEF，∴∠EFG＝∠DFG，∴∠EFG＝∠EGF，∵∠BEF＝70°，∴∠AGF＝∠EFG＝（180°﹣70°）＝55°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线及角平分线的性质是解答此题的关键．13．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【答案】画图见解析.【解析】【分析】分别根据角平分线、三角形高线作法以及垂直平分线的作法得出答案即可．【详解】解：由题意画图可得：【点睛】本题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法、角平分线作法以及过直线外一点作已知直线的垂线的作法等知识，熟练掌握作图方法是关键．14．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的长；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴AB•AC＝BC•AD，∴AD＝（cm），即AD的长为cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.【课后巩固】1．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（

）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】【详解】试题分析：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．

故选C．2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出．【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，B不是三角形ABC的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高．故选：A．【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键．3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中加以应用.4．如图，在中，点在上，点在上，如果，，，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式结合，求出AO与DO的比，再根据，即可求得的值．【详解】∵，，且AD边上的高相同，∴AO：DO=3：2．∵△ACO和△COD中，AD边上的高相同，∴S△AOC：S△COD=AO：DO=3：2，∵，∴.故选D．【点睛】本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的关键．5．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.正确的命题有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】∵三条线段组成的封闭图形叫三角形，∴①不正确；∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，∴②正确；∵三角形的角平分线是线段，∴③不正确；∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，∴④不正确．∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，∴⑤正确；∵三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心，∴⑥正确；综上，可得正确的命题有3个：②、⑤，⑥．故选C．【点睛】主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到CD=BC，求出CD的长．【详解】解：∵S△ABC==24，AE=8，∴BC=6，∵AD是BC上的中线，∴CD=BC=3．故选：B．【点睛】此题考查三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出BC的长是解题关键．7．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到，求出CD的长．【详解】解：∵，，∴，∵AD是BC上的中线，∴．故选：B．【点睛】本题考查三角形中线和高的性质，解题的关键是掌握三角形中线和高的性质．8．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为(

)A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm【答案】C【解析】【分析】根据三角形的周长和中线的定义进行解题．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．故选C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．9．下列说法正确的是（

）A．三角形的角平分线是射线B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线C．锐角三角形的三条高交于一点D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部【答案】C【解析】【分析】根据三角形角平分线，中线，高线的概念，对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A.三角形的角平分线是线段，故本选项不符合题意；B.过三角形的顶点，且过对边中点的线段是三角形的一条中线，故本选项不符合题意；C.锐角三角形的三条高交于一点，正确，故此选项符合题意；D.三角形的内部三角形的中线、角平分线一定在三角形的内部，高线不一定在三角形的内部，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．10．下列说法错误的是(

)A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点【答案】A【解析】【详解】A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点，错误，符合题意；B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；D．三角形的三条高可能相交于外部一点，正确，不符合题意.故选A.11．如图，ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则AMN的周长等于（

）A．17 B．15 C．12 D．11【答案】C【解析】【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB＋AC．【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝5，∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AB