第12章 全等三角形全章复习与测试（教师版）-七升八数学暑假衔接（人教版）

第12章全等三角形全章复习与测试【知识梳理】一、全等三角形的判定与性质全等三角形对应边相等，对应角相等.全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.直角三角形全等的判定——“HL”1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．二、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.三、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

四、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

五、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.【考点剖析】一．全等图形（共3小题）1．（2023•东丽区一模）两个全等图形中可以不同的是（）A．位置 B．长度 C．角度 D．面积【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【解答】解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．故选：A．【点评】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题的关键．2．（2023春•永春县期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A．90° B．105° C．120° D．135°【分析】根据对称性可得∠1+∠3＝90°，∠2＝45°．【解答】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，∴∠1+∠3＝90°，又∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故选：D．【点评】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．3．（2022秋•西乡塘区校级期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【解答】解：①、②、③和④可以完全重合的，因此全等的图形是①和②③④．故选：D．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．二．全等三角形的性质（共3小题）4．（2022秋•梁子湖区期末）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠DBE＝∠ABC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∴∠DBE＝∠ABC＝80°，∵∠D＝65°，∴∠C＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．5．（2022秋•梅里斯区期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，∴∠α＝72°．故选：A．【点评】本题考查全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．6．（2023春•丰泽区期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长为12．【分析】根据全等三角形的对应边相等可得出BC，CD的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝CE＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝5+7＝12．故答案为：12．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键．三．全等三角形的判定（共4小题）7．（2023春•黄浦区期末）如图，点P是AB上任一点，∠ABC＝∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．∠CAB＝∠DAB【分析】根据题意，∠ABC＝∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．【解答】解：A、补充BC＝BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；B、补充∠ACB＝∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误．C、补充AC＝AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确；D、补充∠CAB＝∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．8．（2023春•普陀区期末）如图1，已知在△ABC和△BAD中，BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，能直接判定△ABC≌△BAD的依据是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【分析】因为BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，即可由SAS判定△ABC≌△BAD．【解答】解：∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴由SAS能直接判定△ABC≌△BAD．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．9．（2023•牡丹江）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件AB＝DC（答案不唯一），使△AOB≌△DOC．（只填一种情况即可）【分析】由平行线的性质得到∠A＝∠D，∠B＝∠C，因此添加条件AB＝DC，使△AOB≌△DOC（ASA）．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴添加一个条件AB＝DC，由ASA即可证明△AOB≌△DOC．故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．10．（2023春•山亭区期中）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F，要使△ABC≌△FED，可以添加的条件是AB＝EF（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS或ASA或AAS，即可推出要添加的条件．【解答】解：∵AD＝FC，∠A＝∠F，∴AD+CD＝CD+CF，即AC＝DF，在△ABC和△FED中，已有一边一角相等，只需要添加一边或一角，当添加一边时，根据SAS判定，必是AB＝EF；当添加一角时，根据ASA或AAS判定，可以是∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE等，故答案为：AB＝EF（答案不唯一）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．四．直角三角形全等的判定（共3小题）11．（2023春•毕节市期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，请你添加一个条件AB＝AD（答案不唯一），利用“HL”，证明Rt△ABC≌Rt△ADC．【分析】添加AB＝AD（答案不唯一），根据HL可证明．【解答】解：添加AB＝AD（答案不唯一），理由如下：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．【点评】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握“HL”是解题的关键．12．（2023•永定区一模）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．13．（2022秋•交城县期末）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，AD⊥DF，CB⊥BE，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（）A．AF＝CE B．∠A＝∠C C．AD＝CB D．AD∥BC【分析】已知AD⊥DF，CB⊥BE，得出∠D＝∠B＝90°，由AE＝CF，得出AF＝CE，再添加一组直角边对应相等即可证明Rt△ADF≌Rt△CBE，据此即可求解．【解答】解：∵AD⊥DF，CB⊥BE，∴∠D＝∠B＝90°∵AE＝CF，∴AE+EF＝CE+EF，即AF＝CE，添加AD＝BC，在Rt△ADF和Rt△CBE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），故选：C．【点评】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．五．全等三角形的判定与性质（共7小题）14．（2023春•武侯区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝25°，则∠F的度数为（）A．25° B．60° C．70° D．95°【分析】根据BE＝CF，可以得到BC＝EF，利用全等三角形的判定证图中的两个三角形全等，再根据全等三角形的性质可以得到∠F的度数．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；∴∠D＝∠A＝95°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝60°，故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．15．（2023•朝阳区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，且BD＝CE．求证：∠BAD＝∠CAE．​【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD＝∠CAE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．16．（2023春•宽甸县期中）如图，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，若BD＝DC，∠BAC＝120°，​则∠BAD的度数是60°．​【分析】从已知条件结合HL全等进行思考，可得∠BAD＝∠BAC，由此即可求得结果．【解答】解：∵DB⊥AB，DC⊥AC，且BD＝DC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°．故答案为：60．【点评】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．题目简单，属于基础题．17．（2023•长岭县三模）如图，CA＝CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A＝∠B．【分析】由CE＝CA，CD＝CB，且CA＝CB，得CE＝CD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ACD≌△BCE，得∠A＝∠B．【解答】证明：∵点E、D分别是CA、CB的中点，∴CE＝CA，CD＝CB，∵CA＝CB，∴CE＝CD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠B．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ACD≌△BCE是解题的关键．18．（2023春•新抚区期中）如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若B，C的面积分别为12和5，则A的面积为（）A．7 B．8 C．13 D．17【分析】先证明△PEF≌△FQG，得EF＝GQ，根据勾股定理得PE2+EF2＝PF2，则PE2+GQ2＝PF2，所以5+S正方形A＝12，即可求得S正方形A＝7，于是得到问题的答案．【解答】解：如图，∵直线l上有三个正方形A，B，C，∴∠PED＝∠PFQ＝∠QGH＝90°，PF＝FQ，∴∠PEF＝∠FGQ＝90°，∴∠PFE＝∠FQG＝90°﹣∠QFG，在△PEF和△FQG中，，∴△PEF≌△FQG（AAS），∴EF＝GQ，∵PE2+EF2＝PF2，∴PE2+GQ2＝PF2，∵S正方形B＝PF2＝12，S正方形C＝PE2＝5，S正方形A＝GQ2，∴5+S正方形A＝12，∴S正方形A＝7，故选：A．【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的面积公式等知识，选择适当方法证明三角形全等是解题的关键．19．（2023•惠山区校级模拟）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【分析】（1）利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论；（2）由题意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性质可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．20．（2023春•达川区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．【分析】（1）先由条件可以得出∠EAC＝∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论；（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定定理、垂直的判定的运用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六．全等三角形的应用（共4小题）21．（2023春•惠济区期末）如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽AB，小明想出了这样一个办法：先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D作BF的垂线DE，交AC的延长线于点E．线段ED的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】根据ASA可判定三角形全等．【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的应用，在测量长度或者角度问题中，如果不能直接到达，可以构造全等三角形，利用对应边（角）相等，来解决问题．22．（2023•柳州二模）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．23．（2023春•宝安区校级期中）如图，测量一池塘的宽度．测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若BE＝100，BF＝30，求CF的长．【分析】（1）利用得到∠ABC＝∠DEF，再结合已知条件利用“边角边”判定两个三角形全等；（2）根据全等的性质得到BC＝EF，再根据已知条件结合线段的和差计算即可．【解答】（1）证明：∵，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF＝EC，又∵BE＝100，BF＝30，∴CF＝BE﹣BF﹣EC＝100﹣30﹣30＝40．【点评】本题主要考查三角形全等的判定以及性质的运用，熟练掌握全等的判定定理以及运用全等的性质求解线段的长度是解决本题的关键．24．（2023春•兰州期末）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了80步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．【分析】合理．理由：通过ASA证得△ABC≌△DEC（ASA），则其对应边相等AB＝DE．结合速度×时间＝距离求得点A处时他与电线塔的距离即可．【解答】解：合理．理由如下：根据题意，得AC＝DC．在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA）．∴AB＝DE．又∵小刚走完DE用了80步，一步大约0.5米，∴AB＝DE＝80×0.5＝40（米）．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．【点评】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．七．角平分线的性质（共7小题）25．（2023春•惠济区期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（）问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据角平分线的性质可判断点M为∠ACB的平分线与AB的交点，然后根据基本作图进行判断．【解答】解：∵M点到AC和BC两边的距离相等，∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点，∴丙同学的作图正确．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．26．（2023春•即墨区期末）如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DP＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．【解答】解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．27．（2023春•龙川县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝6cm，∠CAD＝28°，求CD的长度及∠B的度数．【分析】根据角平分线的性质可得CD＝DE，∠BAD＝∠CAD＝28°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠B的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6cm，∠BAD＝∠CAD＝28°，∴∠BAC＝2∠CAD＝56°，∴∠B＝90°﹣∠CAD＝34°．【点评】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．28．（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．29．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是．【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；（2）延长AO交BC于D，先证明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性质可求BD＝6，再两次利用勾股定理可求解OA的长．【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O，∴OD＝OF，OE＝OF．∴OD＝OE．∴点O在∠BAC的平分线上；（2）解：延长AO交BC于D，∵AB＝AC＝5，点O在∠BAC的平分线上，∴AO⊥BC，∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+OD，∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，∴OD＝，∴点O到三角形三条边的距离是．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质以及角平分线的性质是解此题的关键．30．（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解；（2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF＝DE＝5．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；（2）∵点F是AC上的动点，∴当DF⊥AC时，DF最小，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝5．【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识．31．（2023•长清区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的长．【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，设AC＝x，则AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的长为：6．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．八．作图—尺规作图的定义（共1小题）32．（2022秋•河东区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．在△AOB和△CEF中，，∴△AOB≌△CEF（SSS），故选：D．【点评】本题考查作图﹣尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．【过关检测】一、单选题1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等【答案】A【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，逐条排除即可．【详解】解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据，再用可判定全等，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．2．如图，∠ABD=∠CBD，AB=CB，据此可以证明BAD≌BCD，依据是（

）A．AAS B．ASA C．SAS D．HL【答案】C【分析】依据图形可得到BD=BD，然后依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：∵，∴．故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS、HL；注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．如图，△ABC≌△ADE，下列说法错误的是（）A．BC=DE B．AB⊥DE C．∠CAE=∠BAD D．∠B=∠D【答案】B【分析】根据三角形全等的性质一一判断即可．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC=DE，∠CAB=∠EAD，∠B=∠D，故选项A、D正确，不符合题意；∵∠CAB=∠EAD，∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，故选项C正确，不符合题意；不能证明AB⊥DE，故选项B错误，符合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．4．下列说法正确的是（

）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．相等的角都是对顶角C．两个全等图形的面积、周长都分别相等D．三角形的角平分线将三角形的面积分为相等的两部分【答案】C【分析】先根据平行线的性质判断A，再根据对顶角相等判断B，然后根据全等图形的性质判断C，最后根据三角形的中线的性质判断D．【详解】因为两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以A不正确；因为对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，所以B不正确；因为两个全等图形的面积，周长分别相等，所以C正确；因为三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，所以D不正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三线，全等图形，相交线等知识，掌握性质是解题的关键．5．如图，两块完全相同的含30°的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°，有以下四个结论，①AF⊥BC；②∠BOE＝135°；③O为BC中点；④AG：DE＝1：3，其中正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．①③【答案】D【分析】①根据已知得出∠CAF＝30°，∠GAF＝60°，进而得出∠AFB的度数；②在四边形ADOC中，根据四边形的内角和为360°可得出∠DOC的度数，继而得出∠BOE的度数；③利用△AGO≌△AFO，得出AO＝CO＝AC，进而得出BO＝CO＝AO，即O为BC的中点；④利用假设DG＝x，∠DAG＝30°，得出AG＝x，GE＝3x，DE＝4x，进而得出答案．【详解】解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．∴∠GAF＝60°，∠CAF＝30°，∠C＝∠D＝60°，∴∠AFB=∠C+∠CAF＝90°，①AF⊥BC正确；由①可得∠C＝∠D＝60°，∠DAC＝120°，∵∠C+∠D+∠DAC+∠DOC=360°，∴∠DOC＝120°，∵∠DOC＝∠BOE，∴∠BOE＝120°，即②∠BOE＝135°错误；连接AO，∵两块完全相同的含30°的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°，∴AD＝AC，∠DAG＝∠CAF，∠D＝∠C＝60°，∴△ADG≌△ACF（AAS），∴AG＝AF，∵AO＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴△AGO≌△AFO（SAS），∴∠OAF=∠OAG＝30°，∴∠OAC＝60°，∵∠C＝60°，∴AO＝CO＝AC，∵∠OAG=∠B＝30°，∴BO＝AO，∴BO＝CO，即可得③O为BC中点正确；假设DG＝x，∵∠DAG＝30°，∴AG＝x，AD=2x，DE=4x，∴GE＝3x，故可得AG：DE＝：4，即④错误；综上可得①③正确．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是综合利用30度角的直角三角形的性质进行解答．6．在和中①；②；③；④；⑤；⑥，则下列哪组条件不能保证≌（

）A．具备①②④ B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥ D．具备①②③【答案】A【分析】根据已知条件，结合全等三角形的判定方法即可解答．【详解】A、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不能保证全等，符合题意；B、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（“SAS”），不合题意；C、两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（“AAS”），不合题意；D、三边对应相等的两个三角形全等（“SSS”），不合题意；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法．7．如图，，，要使，还应给出的条件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】判定已经具备的条件是，，再加上一角相等，就可以利用来判定三角形全等．【详解】解：、，不能推出全等，故本选项错误；、不能构成两条边和夹角，利用来证明，故本选项错误；、不是对应角相等，故本选项错误；、根据判定两三角形全等，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；解题的关键是判定三角形的全等首先要找出已经具备哪些已知条件，即相等的边或相等的角，根据三角形的判定方法判定缺少哪些条件．8．如图所示，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是()A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．以上三种情况都有可能【答案】C【详解】试题分析:由图可得，AM是△ABC的中线，显然，△ABM与△ACM有长度相等的边，即BM=CM，又这两边上的高相等，即△ABC中BC边上的高，所以，S1=S2.故选C.考点：三角形的中线.9．在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，则等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接着证明AF=AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF=AC，∠F=60°，然后证明△ACD≌△FCB得到CB=CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DCB的度数．【详解】延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，∵∠CAD=60°，∠AED=60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，∵∠CDB=2∠CDE，∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，∴∠CDB=2∠CDE=80°，∵BF=AD，∴BF=DE，∵DE+BD=CE，∴BF+BD=CE，即DF=CE，∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，∴AF=AC，而∠BAC=60°，∴△AFC为等边三角形，∴CF=AC，∠F=60°，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS），∴CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=80°，∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．故选B．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于延长AB到F使BF=AD，构建△FCB与△ACD全等．10．若等腰三角形的两边长分别是3、5，则第三边长是（）A．3或5 B．5 C．3 D．4或6【答案】A【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】由题意得，当腰为3时，则第三边也为腰，为3，此时3+3＞5．故以3，3，5可构成三角形；当腰为5时，则第三边也为腰，此时3+5＞5，故以3，5，5可构成三角形．故第三边长是3或5．故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．二、填空题11．如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________．

【答案】5【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积．【详解】由作法得平分，如图所示，过点D作于E，∵，

根据角平分线的性质，得，的面积．∴，故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．12．如图，、是两个等边三角形，连接、．若，，，则________．【答案】BE=10【分析】连接AC，根据题意易证△ACD≌△BED(SAS)，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据勾股定理求出AC的值即可得出结论．【详解】如图，连接AC，∵、是两个等边三角形，∴AB=BD=AD=2，CD=DE，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD与△BDE中，∴△ACD≌△BED（SAS），∴AC=BE，∵，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，∴AC=，∴BE=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握知识点是解题关键．13．如图，，，，则的度数是______．

【答案】/20度【分析】先利用平行线的性质得到，再利用等边对等角和三角形外角的性质即可得到的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴．故答案为：【点睛】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．14．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA=1.1，AC=3.3,则AD=_________.【答案】2.2【分析】根据全等三角形的对应边相等得到DF=AC=3.3，再由AD=DF-AF即可得出答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=3.3，∴AD=DF-AF=3.3-1.1=2.2．故答案为2.2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得出DF的长是解决此题的关键．15．如图，点E为正方形ABCD外一点，且，连接AE，交BD于点F．若，则∠DCF的度数为_______．【答案】25°/25度【分析】根据正方形性质和已知得：AD=DE，利用等腰三角形性质计算∠DAE=25°，证明△ADF≌△CDF（SAS），可得∠DCF=∠DAF=25°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADB=∠BDC=45°，∵DC=DE，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=90°+40°=130°，∴∠DAE==25°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DCF=∠DAF=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，熟练掌握正方形的性质是关键．16．如图，在直角中，，，平分交于点，若，则的面积为__________．【答案】32【详解】试题解析：如图，过D点作DE⊥AB于点E，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，∵CD=4，∴DE=4.故答案为32.点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.三、解答题17．如图，已知AB//CD，AB=CD，BF=CE．求证：AE//DF．【答案】见解析【分析】根据等式的性质得出BE=CF，进而利用SAS证明△ABE与△CDF全等，利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB=∠DFC，∴AE∥DF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，求的度数．【答案】【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵是等边三角形，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质是解题关键．19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．（1）尺规作图：作EF//AB，点F在边上．（保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）在（1）的基础上，若，则是否与平行？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE//BC，理由见解析．【分析】（1）如图在DE的下方作∠DEF=∠ADE，EF交BC于点F，射线EF即为所求；（2）利用平行线的性质得到∠B=∠EFC，再推出∠DEF=∠EFC，即可证明DE//BC．【详解】（1）解：如图，射线EF即为所求．（2）DE//BC，理由如下：∵EF//AB，∴∠B=∠EFC，∵∠B=∠DEF，∴∠DEF=∠EFC，∴DE//BC．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．20．如图所示，，E为上一点，且，分别平分，．(1)求证：．(2)已知，，求的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）在截取，连接，根据角平分线及全等三角形的判定得出，再由全等三角形的判定和性质及平行线的性质得出，最后利用等量代换即可证明；（2）直接利用全等三角形的性质即可得出结果．【详解】（1）证明：在截取，连接，如图所示：∵平分，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）∵∴，，∴．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算等，理解题意，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．21．如图，点P是内一点．(1)按下列要求画出图形．①过点P画的垂线，垂足为点C；②过点P画的平行线交于点D；过点P画的平行线交于点E；③点P到直线的距离是线段的长，约等于（精确到）；(2)在（1）所画出的图形中，若，则度（用含n的代数式表示）．【答案】(1)①见解析；②见解析；③，12(2)【分析】（1）①②利用几何描述画出对应的图形；③根据点到直线的距离可判断的长为点P到直线的距离，且实际测量它的长度；（2）先根据平行线的性质得，再利用垂直定义得到，然后利用互余计算的度数．【详解】（1）①如图，为所作；②如图，为所作；③点P到直线的距离是线段的长，约等于（精确到）；故答案为：，12（2）∵，∴，∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查了作