2024-2025学年高考数学一轮复习专题3.4幂函数知识点讲解含解析

专题3.4幂函数【考纲解读与核心素养】1.了解幂函数的概念．驾驭幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的改变特征.3．培育学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.4.高考预料：（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；（2）幂函数的图象与性质的应用.（3）在分段函数中考查幂函数的图象和性质.5.备考重点：（1）“三个二次”的结合问题；（2）幂函数图象和性质.【学问清单】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称【典例剖析】高频考点一：幂函数的概念【典例1】已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【答案】(1)m＝1.(2)m＝－1.(3)eq\f(－1±\r(13),2).(4)－1±eq\r(2).【解析】(1)若f(x)为正比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0))，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0))，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0))，∴m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).【总结提升】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者留意与指数函数的区分，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．【变式探究】有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－eq\f(1,x)；④y＝eq\f(1,x)；⑤y＝xeq\s\up4(\f(2,3))；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有____(只填序号)．【答案】④⑤【解析】①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－eq\f(1,x)＝－(x－1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝eq\f(1,x)＝x－1是幂函数；⑤中，y＝xeq\s\up4(\f(2,3))是幂函数；⑥中，y＝2x是指数函数．高频考点二：幂函数的图象【典例2】（2024·四川省高一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.故选：B.【典例3】【2025届湖北省鄂东南省级示范中学教化教学改革联盟高三上期中】若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值状况为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数的图象，在内取同一值，

作直线，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知

如图，

故选D．【典例4】（2024·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，∵点在函数的图象上，∴，即，解得，∴，∴．故选B．【总结提升】1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后依据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式探究】1．（2024·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，该函数的定义域为，所以解除C；因为函数为偶函数，所以解除D；又，在第一象限内的图像与的图像类似，解除B.故选A．9．（2024·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为()A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一曲线过点，且在第一象限单调递增，，为.明显对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，，为.明显对应，对应.方法二令，分别代入，得，，所以曲线相对应的依次为.故选：.3．（2024·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（）A．幂函数的图像过和两点 B．幂函数的图像不行能出现在第四象限C．当时，是增函数 D．的图像是一条直线【答案】B【解析】幂函数的图像都过点,但不肯定过点，如，所以A错；因为当时，所以幂函数的图像不行能出现在第四象限，即B对；当时，不一是增函数，如在上单调递减，所以C错；的图像是一条去掉一点的直线，所以D错.故选:B高频考点三：幂函数的性质【典例5】【多选题】（2024·新泰市其次中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，明显在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，，即，所以C正确.当若时，=.=.==.即成立，所以D正确.故选：ACD.【典例6】（2024·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】D【解析】依据题意，点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，则有28＝3n+1，解可得n＝3；则f（x）＝x3+1，易得f（x）在R上为增函数，又由1＜lnπ，则有c＜a＜b.故选：D.【典例7】（2024·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】由题可知，时，，满意f(-x)=f(x),所以是偶函数；时，不满意f(-x)=f(x),．故答案为：．【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必需结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行推断．精确驾驭各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要留意探讨底数的不同取值状况.【变式探究】1.（2024·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】幂函数的图象过点，∴＝4，m＝2；∴，，＝﹣log23＜0，∴log23，∴．故选：C．2．（2024·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满意，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，不满意题意当时，幂函数和直线重合，不满意题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满意题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满意题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满意题意综上，故答案为3．（2024·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.【答案】2【解析】∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2或-1（舍）．故答案为2．高频考点四：幂函数综合问题【典例8】（2013·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满意条件的实数a的全部值为________．【答案】－1或【解析】设点，则令令（1）当时，时取得最小值，，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.【典例9】（2024·上海高一课时练习）若，求实数a的取值范围．【答案】【解析】由幂函数的定义域为，且满意，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减，又由，则满意，解得或，所以实数a的取值范围．【典例10】（2024·江西省南康中学高一月考）已知幂函数满意．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．【解析】（）∵为幂函数，∴，∴或．当时，在上单调递减，故不符合题意．当时，在上单调递增，故，符合题意．∴．（），令．∵，∴，∴，．当时，时，有最小值，∴，．②当时，时，有最小值．∴，（舍）．③当时，时，有最小值，∴，（舍）．∴综上．（），易知在定义域上单调递