数学自主训练：从速度的倍数到数乘向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.O是平行四边形ABCD对角线的交点，下列各组向量：①与；②与;③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是（）A.①②B.①③C。①④D。③④思路解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底.通过画图可得①与不共线；②=—,则∥,所以与共线；③与不共线；④=—，则∥，所以与共线。由平面向量基底的概念知①③可以构成平面内所有向量的基底.答案:B2。如图2-3—8，矩形ABCD中，若=5e1,=3e2，则等于(）图2—3-8A。(5e1+3e2）B.（5e1—3e2）C。(3e2+5e1）D。(5e2-3e1）思路解析：用,表示,再代入向量和的值即可。==（-）=（+）=（+）=(5e1+3e2).答案：A3。M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点，则++为（)A.6B.—6C。0D.6思路解析：如图2—3—9所示，由题意，知设MB的中点为P，连结DP、PE，得平行四边形MDPE，取向量,为一组基底，则有=2=2（+），=-2，=-2,则有++=0。图2—3-9答案：C4.(2006广东高考卷，3）如图2-3-10所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量为（)图2—3—10A。-+B。—-C。-D。+思路解析:用基向量，表示向量。=+=—+.答案：A5.（2006河北石家庄一模，理7）在△ABC中，点D在直线BC上，且=4=r-s，则s+t等于（）A.0B.C.D.3思路解析：如图2-3-11所示，由题意，得点D在线段CB的延长线上.∵=4，∴=.又∵=-，∴=(—)=-,∴r=s=，∴s+t=.图2-3—11答案：C6。在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,=_______________.思路解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可。答案：m+nm+n我综合我发展7。如图2—3-12,在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD,求证：M，N，C三点共线。图2—3—12思路分析：要证M，N，C三点共线，只需证向量与共线即可。证明：设=a，=b(a,b不共线)，则=+=-=b-a。∵N是BD的三等分点，∴==b—b.而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，∴=。又∵、有共同的起点M，∴M，N，C三点共线。8。用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.思路分析：用向量证明几何问题，首先要用向量表示几何元素,然后进行向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.证明：如图2—3-13，已知梯形ABCD中，E、F是两腰、的中点，求证：∥∥，且||=（|｜+|｜).图2—3—13证明:∵E、F分别是AD、BC的中点,∴=—，=—，∵=++,=++。∴=(+++++）=（+).又∵∥,∴设=λ（λ∈R）.∴=(+）=(+λ)=。∴∥。∵E、F、D、C四点不共线，∴∥.同理，可证∥，∵∥且同向,∴｜｜=｜(+）|=|+|=（｜|+|｜）。∴||=（||+|｜）。9.在正六边形ABCDEF中,=a，=b，求，，.思路分析：由平面几何的知识可知,正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等,边长与其外接圆的半径也相等。应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算，容易用a,b表示所求的向量.解:如图2—3—14，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形.图2—3-14解法一：根据向量的平行四边形法则有=+=a+b.在平行四边形ABCO中，=+=a+b+a=2a+b。由正六边形知识知，=2=2a+2b。又=+,且=-，∴=-=2a+2b—a=a+2b。解法二：根据向量的平行四边形法则有=+=a+b。∵=，∴=a+b.根据向量加法的三角形法则得=+，∴=a+b+a=2a+b。又∵==b，∴=+=2a+b+b=2a+2b。=+=-=2a+2b—a=a+2b.10。设x为未知向量，解方程x+3a-b=0。思路分析：这是一个关于未知向量的向量方程，由于向量具有许多与数相同的运算性质，我们可以按照解关于数的方法来解这个方程.解：原方程可化为x+（3a-b）=0，∴x=-(3a-b）.∴x=-9a+b。11.如图2-3—15，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N,其中K、N分别为PQ，PS的中点，QL=QR，SM=SR，设KM与LN交于A点，=q,=s，试用q，s表示。图2-3-15思路分析：由于，而=，关键是求.又由于与共线，而可用q,s表示，这样可以求得一个关于q,s的分解式(含参数）。同样，利用,还可求得另一个关于q，s的分解式（也含参数)。由于关于q，s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程,解出参数值，问题得到解决.解：∵与共线,∴存在实数λ1，使=λ1。∵=，K为的中点，=,=