第04讲直角三角形（原卷版）

第04讲直角三角形思维导图核心考点聚焦1.直角三角形的两个锐角互余2.判断三边能否构成直角三角形3.在网格中判断直角三角形4.利用勾股定理的逆定理求解5.勾股定理逆定理的实际应用6.全等的性质和HL综合1.直角三角形的性质定理定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.勾股定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，，3.直角三角形全等的判定图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）在中，，1.在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.3.直角三角形全等的判定：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）考点剖析考点一、直角三角形的两个锐角互余例题：在直角三角形中，若一个锐角是，则该直角三角形的另一个锐角是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，另一个锐角的度数是．故选：C．【变式训练】1．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角尺叠放在直尺上，则．【答案】/度【解析】由图可知，和的对顶角互余，，故答案为：．2．如图，等腰三角形中，，，于D，则等于．【答案】/23度【解析】∵在等腰三角形中，，，∴，∵，∴，∴；故答案为：．考点二、判断三边能否构成直角三角形例题：下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（

）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，，1 D．3，4，6【答案】C【解析】，不能作为直角三角形的三边长，故选项A错误；，不能作为直角三角形的三边长，故选项B错误；，能作为直角三角形的三边长，故选项C正确；，不能作为直角三角形的三边长，故选项D错误．故选C．【变式训练】1．以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【解析】根据题意得：选项中，，不能构成三角形，也不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；选项中，，能构成直角三角形，故本选项符合题意；选项中，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；选项中，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：．2．已知a，b，c满足．(1)求a，b，c的值；(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．【解析】（1）根据题意得：，，，解得：，，．（2）能构成直角三角形，，，，以、、为边长的三角形是直角三角形,三角形的面积是：．考点三、在网格中判断直角三角形例题：如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：

(1)试说明是直角三角形；(2)求点到的距离．【解析】（1）由图可知：，，．,是直角三角形

（2）由（1）可知：，，点到的距离是．【变式训练】1．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题：(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．【解析】（1）是直角三角形，理由：，，，所以，所以是直角三角形；（2）的面积：．考点四、利用勾股定理的逆定理求解例题：如图，点在中，，，，

(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【解析】（1）∵，，，，（2）∵，，，是直角三角形，，．故图中阴影部分的面积为．【变式训练】1．在四边形中，，求四边形的面积．【解析】连接，∵∠B=90°，∴为直角三角形，∵，根据勾股定理得：，又∵，∴，∴，∴为直角三角形，∴，答：四边形的面积为36．2．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．【解析】由题意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四边形的面积为18．考点五、勾股定理逆定理的实际应用例题：如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．

(1)求修建的公路的长；(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？【解析】（1），，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的长是；（2）在中，（），故一辆货车从点到处的路程是．【变式训练】1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)求的度数；(2)求取水点A到取水点D的距离．【解析】（1）∵千米，千米，千米，∴，∴，∴为直角三角形，∴，∴；（2）设千米，则千米，∴千米，∵，∴，∴，即，解得：．答：取水点A到取水点D的距离为千米．2．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山.某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，．(1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路的长度；(2)若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？【解析】（1）∵，，∴；答：小路的长度为15m；（2）∵，，∴，∴为直角三角形，∴四边形的面积，元；答：改造这片空地共需花费17100元．考点六、全等的性质和HL综合例题：如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．【解析】（1）在与中，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【变式训练】1．如图，，，垂足分别为D，C，，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【解析】（1）证明：，，，，则，，，∴．（2），，，，．的度数为．2．已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）【解析】（1）中，，且=,，，，，∠DAB；故答案为：；（2）证明：如图，过A点作于E点，

中，，，，中，，，，,=，∠ACB，

，

，

∴∠ACH=，．在和中，，∴，

∴，

∴；（3）①如图，作于，于，

∵与的面积相等，∴，又∵，∴，∴，即，，；②如图，作于，作垂直于的延长线于，

则，∵，，∴，∵与的面积相等，∴，∴，∴，，∴，，∴∠ACD=，综上，或．过关检测一、选择题1．下列给出的四组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．分别具备下列条件的中，不属于直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．3．如图，已知直线，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图，于点B，于D，若，且，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为(

)A． B． C． D．二、填空题6．若中，，且，那么的度数为．7．如图，，，垂足分别为C，B，要根据“”证明，应添加的条件是．8．如图中，点为的中点，，，，则的面积是．9．如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则．10．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/s的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动s时，．三、解答题11．如图，已知，，，与交于点O，求证：12．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且(1)求的长；(2)求证：是直角三角形．13．如图，在中，D为边上一点，，交的延长线于点E，，垂足为F，且．(1)求证：；(2)若点D是的中点，求的度数．14．已知：在四边形中，，．(1)求的长．(2)是直角三角形吗？如果是，请说明理由．(3)求这块空地的面积．15．如图，在四边形中，连结，，，，，．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)过点D作直线的垂线，垂足为点H，求线段的长．16．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．(1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？17．在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题：

(1)求的长；(2)按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．18．已知在四