文科数学一轮复习高考帮全国版试题第4章第4讲正余弦定理及解三角形（习思用数学文）

第四讲正、余弦定理及解三角形考点1正、余弦定理及其应用1.[2018湖南省永州市一模]在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若2sinB=sinA+sinC,cosB=35,且S△ABC=6,则b=()A.2 B.3 C.4 D.52.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2ab=2ccosB,则角C的大小为()A.π6 B.π3 C.2π33.在△ABC中,A=2π3,a=3c,则bc=4.[2018江西省红色七校联考]如图,在ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=45,cos∠ACB=513,BC(1)求cosB的值;(2)求CD的长.[2016山东,16,12分][理]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB(Ⅰ)证明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.6.[2015新课标全国Ⅱ,17,12分][理]△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(Ⅰ)求sin∠B(Ⅱ)若AD=1,DC=22,求BD和AC考点2解三角形的实际应用7.[2018辽宁省辽南协作校一模]为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()A.(1+32)米B.2米C.(1+3)米 D.(2+38.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图443所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A,C两地的距离;(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.答案1.C在△ABC中,由正弦定理可得,2b=a+c①,由余弦定理可得,b2=a2+c22ac×35=(a+c)2165ac由cosB=35,得sinB=45,故S△ABC=12ac×4由①②③得,b=4.故选C.B解法一把cosB=a2+c2-b22ac代入2ab=2ccosB得2ab=a2+cosC=a2+b2-c22解法二由2ab=2ccosB得12b=accosB,由a=bcosC+ccosB得bcosC=accosB,所以12bcosC,所以cosC=12,又C∈(0,π),所以C=π3.1∵a=3c,∴sinA=3sinC,∵A=2π3,∴sinA=32,∴sinC=12,又C必为锐角,∴C∵A+B+C=π,∴B=π6,∴B=C,∴b=c,∴b4.(1)在△ABC中,因为cosA=45,A∈所以sinA=1-cos同理可得sin∠ACB=1213所以cosB=cos[π(A+∠ACB)]=cos(A+∠ACB)=sinAsin∠ACBcosAcos∠ACB=35×121345×5(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=BCsinAsin∠ACB=133又AD=3DB,所以BD=14AB=5,又在△BCDCD=B=5=92.5.(Ⅰ)由题意知2(sinAcosA+sinBcos即2sin(A+B)=sinA+sinB,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(πC)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=a+所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为126.(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=AC(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD22AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC22AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.7.D由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题意得AB=AC0.5=(t0.5)(米).在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC22AC·BCcos60°,即(t0.5)2=t2+x2tx,化简并整理得t=x2-0.25x因为x>1,所以t=x1+0.75x-1+2≥2+3(当且仅当x=1+38.(1)设BC=x,由条件可知AC=x+217×340=x在△ABC中,BC2=AB2+AC22AB×ACcos∠BAC,即x2=1002+(40+x)22×100×(40+x)×12,解得x所以AC=380+