专题2.5 对数与对数函数（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.5对数与对数函数【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对数的运算】 2【题型2指数、对数问题的应用】 2【题型3对数函数的图象及应用】 3【题型4利用对数函数的单调性比较大小】 5【题型5解对数不等式】 5【题型6对数函数性质的综合应用】 61、对数与对数函数考点要求真题统计考情分析(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数

(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点(3)了解指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数2022年天津卷：第6题，5分2022年浙江卷：第7题，5分2022年新课标I卷：第7题，5分2023年北京卷：第4题，5分2024年新课标I卷：第6题，5分2024年北京卷：第7题，5分对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.【知识点1对数运算的解题策略】1．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点2对数函数的常见问题及解题思路】1．对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1对数的运算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，则化简2log23+(a)2+b2的结果是（

）A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且4a=6A．1a+1b=1c B．【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若2a=3，3b=5，5cA．−2 B．12 C．22【题型2指数、对数问题的应用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有二维码大约可以用（

A．10117万年 B．10120万年 C．10123万年 【变式2-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为y℃，可选择函数y=60×0.9t+20（参考数据：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【变式2-2】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为F=Gm1⋅m2r2，其中F表示两个物体间的引力大小，G为引力常数，m1,m2分别表示两个物体的质量，rA．lnF1+C．lnF1⋅【题型3对数函数的图象及应用】【例3】（2024·湖北·模拟预测）函数fx=eA． B． C． D．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x−1A． B．C． D．【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·二模）函数fx=1+A． B．C． D．【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【题型4利用对数函数的单调性比较大小】【例4】（2024·天津滨海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【变式4-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设a=f(−ln1.1)，b=f2A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【题型5解对数不等式】【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知函数fx=lnx，若faA．5−12,1 B．0,5−12【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=3xA．−∞,8 B．0,8 C．18【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）“a>b”是“lna2+A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式5-3】（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数fx=ax+k−1a−x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【题型6对数函数性质的综合应用】【例6】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(1)求fx(2)若关于x的方程fx=k在R上有解，求实数【变式6-1】（2024·陕西安康·一模）已知函数f(x)=log(1)若f(1)=3，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数fx(1)求实数a的值；(2)判断函数fx(3)设函数g(x)=log2x2⋅log2x4【变式6-3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数f(x)=log1(1)若y=lggx的值域为(2)若非常数函数f(x)是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈[1,2)，∃x2一、单选题1．（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足12lnm=lnm−2nA．1 B．14 C．4 D．1或2．（2024·四川·模拟预测）若实数m，n，t满足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．3．（2024·上海·三模）已知函数f(x)=1+loga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．6775．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知a=log56，b=log28，c=e，则aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=−14x−4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 7．（2024·广西·模拟预测）已知函数fx=1−22x1+22x，A．ℎx=fxC．ℎx=fx8．（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx，当0<x≤1时，fxA．−52+4k,−32+4k，C．−12+4k,12+4k，二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．ab>1 C．a+b>2 10．（2024·河南·三模）已知函数fx=lgA．fx的定义域为B．fx的值域为C．fD．y=fx211．（2024·河南·一模）定义在R上的函数f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，则实数m的取值范围为−2,2B．若0<a<1，b<0，则实数m的取值范围为−C．若a>1，b<0，则实数m的取值范围为−D．若0<a<1，b>0，则实数m的取值范围为2,+三、填空题12．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足logab+logba=513．（2024·吉林·模拟预测）若函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为14．（2024·陕西西安·模拟预测）函数y=logax+ax−1+2（a>0且a≠1）的图象恒过定点k,b，若m+n=b−k且m>0，四、解答题15．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：(1)27(2)log216．（2023·吉林