2025届高考数学统考二轮复习第二部分专题4概率与统计第2讲概率离散型随机变量及其分布教师用书教案理1

PAGE专题4第2讲概率、离散型随机变量及其分布古典概型与几何概型授课提示：对应学生用书第41页考情调研考向分析对古典概型和几何概型每年都会考查，主要考查两种概率模型的概率求法．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等学问结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1.求解与长度、面积有关的几何概型问题．2.求解简洁古典概型的概率.[题组练透]1.(2024·长春质检)小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,4)解析：用(x，y)表示两次朝下面的数字的结果：由题意可得(x，y)可能出现的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4),共16个基本领件；满意“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本领件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10个基本领件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).故选C.答案：C2．部分省份在即将实施的新高考中将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都打算选物理，假如他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：新高考中将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都打算选物理，他们都对后面四科的选择没有偏好，基本领件总数n＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36，他们所考六科中恰有五科相同包含的基本领件个数m＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝24，∴他们所考六科中恰有五科相同的概率为p＝eq\f(m,n)＝eq\f(24,36)＝eq\f(2,3).故选A.答案：A[题后悟通]解答古典概型、几何概型问题时的留意点(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本领件总数和所求事务包含的基本领件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关学问．(2)在求基本领件的个数时，要精确理解基本领件的构成，这样才能保证所求事务所包含的基本领件数的求法与基本领件总数的求法的一样性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑运用几何概型求解．(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事务发生的区域的找寻，有时须要设出变量，在坐标系中表示所须要的区域．[留意]当干脆求解有困难时，可考虑其对立事务的概率．相互独立事务和独立重复试验授课提示：对应学生用书第41页考情调研考向分析以理解条件概率、独立重复试验、二项分布、正态分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.1.相互独立事务同时发生的概率．2.独立重复试验下某事务恰好发生k次的概率．3.正态分布．4.条件概率.[题组练透]1．(2024·蚌埠模拟)我市高三年级其次次质量检测的数学成果X近似听从正态分布N(82，σ2)，且P(74<X<82)＝0.42.已知我市某校有800人参与此次考试，据此估计该校数学成果不低于90分的人数为()A．64 B．81C．100 D．121解析：因为数学成果X近似听从正态分布N(82，σ2)，所以数学成果X关于X＝82对称，已知P(74<X<82)＝0.42，所以P(82<X<90)＝0.42，P(X≥90)＝P(X≤74)＝eq\f(1－0.42×2,2)＝0.08，所以我市某校有800人参与此次考试，据此估计该校数学成果不低于90分的人数为0.08×800＝64，故选A.答案：A2．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现须要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,8) D.eq\f(7,9)解析：法一：设事务A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事务B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)，则所求概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).法二：第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为eq\f(C\o\al(1,7),C\o\al(1,9))＝eq\f(7,9).答案：D3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品胜利的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现支配甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发胜利的概率；(2)若新产品A研发胜利，预料企业可获利润120万元；若新产品B研发胜利，预料企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列．解析：记E＝{甲组研发新产品胜利}，F＝{乙组研发新产品胜利}，由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(E))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(F))＝eq\f(2,5)，且事务E与F，E与eq\x\to(F)，eq\x\to(E)与F，eq\x\to(E)与eq\x\to(F)都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发胜利}，则eq\x\to(H)＝eq\x\to(E)eq\x\to(F)，于是P(eq\x\to(H))＝P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\x\to(H))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P(eq\x\to(E)eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\x\to(E)F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\x\to(F))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故所求的分布列为：X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)[题后悟通]求相互独立事务和独立重复试验的概率应留意(1)求困难事务的概率，要正确分析困难事务的构成，看困难事务能转化为几个彼此互斥的事务的和事务还是能转化为几个相互独立事务同时发生的积事务，然后用概率公式求解．(2)一个困难事务若正面状况比较多，反面状况较少，则一般利用对立事务进行求解．对于“至少”“至多”等问题常用这种方法求解．(3)留意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种状况；②在每次试验中，事务发生的概率相同．(4)牢记公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．[留意]留意区分互斥事务和相互独立事务，互斥事务是在同一试验中不行能同时发生的两个事务，相互独立事务是指几个事务的发生与否互不影响，当然可以同时发生．随机变量的分布列、均值与方差授课提示：对应学生用书第42页考情调研考向分析以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，常常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.1.已知离散型随机变量符合某条件，求其均值与方差．2.已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值．3.已知离散型随机变量满意两种方案，试作出推断.[题组练透]1．(2024·甘肃质检)某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果．苹果单果直径不同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50,95]内(单位：mm)，统计的茎叶图如图所示：(1)从单果直径落在[72,80)的苹果中随机抽取3个，求这3个苹果单果直径均小于76mm的概率；(2)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率．直径位于[65,90)内的苹果称为优质苹果，对于该精准扶贫户的这批苹果，某电商提出两种收购方案：方案A：全部苹果均以5元/千克收购；方案B：从这批苹果中随机抽取3个苹果，若都是优质苹果，则按6元/干克收购；若有1个非优质苹果，则按5元/千克收购；若有2个非优质苹果，则按4.5元/千克收购；若有3个非优质苹果，则按4元/千克收购．请你通过计算为该精准扶贫户举荐收益最好的方案．解析：(1)直径位于[72,80)的苹果共15个，其中小于76mm的有7个，随机抽取3个，这3个苹果直径均小于76mm的概率为P＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,15))＝eq\f(\f(7×6×5,3×2×1),\f(15×14×13,3×2×1))＝eq\f(1,13).(2)样本50个苹果中优质苹果有40个，故抽取一个苹果为优质苹果的概率为eq\f(40,50)＝0.8.按方案A：收购价格为5元；按方案B：设收购价格为X，则P(X＝6)＝0.83＝0.512，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,3)×0.82×0.2＝0.384，P(X＝4.5)＝Ceq\o\al(2,3)×0.8×0.22＝0.096，P(X＝4)＝0.23＝0.008，故X的分布列为：X654.54P0.5120.3840.0960.008E(X)＝6×0.512＋5×0.384＋4.5×0.096＋4×0.008＝5.456>5.故应选择方案B.2．(2024·兰州质检)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业确定加大对某种产品的探讨投入．为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格x(元)456789产品销量y(件)898382797467已知变量x，y具有线性相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回来直线方程分别为：甲eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋59；乙eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋105；丙eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.6x＋104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试推断谁的计算结果正确？求回来方程．(2)若由线性回来方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“志向数据”．现从检测数据中随机抽取3个，求“志向数据”的个数X的分布列和数学期望．解析：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，∵eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝79，代入两个回来方程，验证乙同学正确，故回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋105.(2)x456789y898382797467eq\o(y,\s\up6(^))898581777369“志向数据”的个数X取值为：0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f