19.8.3 直角三角形性质 同步练习

19.8.3直角三角形性质一、填空题1．（2019·上海市仙霞高级中学八年级阶段练习）在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，则BC_______．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt△ABC中，，，那么________，___．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若直角三角形的两个锐角的比是2：7，则这个直角三角形的较大的锐角是___________度．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt△ABC中，，则∠C=___________度．5．（2019·上海市云岭实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______．6．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，那么∠ECD＝___．7．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为30°，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为______．8．（2022·上海·八年级期末）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形是倍长对角线四边形，且，四边形中最小的内角的度数是________．9．（2018·上海市清流中学八年级阶段练习）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，△BCD为等边三角形，且AD=，则梯形的周长是_______.二、解答题10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图在△ABC中，AD⊥BC，，求证△ABC是直角三角形．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y．(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；(3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：(1)DG＝DE；(2)∠DEG＝∠DEC．13．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，，求证：DF⊥CE．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D．求证：CD=2AB．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知在△ABC中，高AD、BE交于点H，G、F分别是BH、AC的中点，∠ABC=45°，GD=5cm，求DF的长度．16．（2017·上海市中国中学八年级阶段练习）已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别为（0，0）和（0，4）．（1）求顶点A的坐标．（2）D为第二象限内一点，作出点P，使得P到DB和DC的距离相等，且到点E的距离等于DB（不写作法，保留作图痕迹）．17．（2018·上海普陀·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME=MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．18．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．19．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

19.8.3直角三角形性质（解析版）一、填空题1．（2019·上海市仙霞高级中学八年级阶段练习）在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，则BC_______．【答案】4【分析】利用30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，属于基础题目，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt△ABC中，，，那么________，___．【答案】

65°

25°【分析】根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．【详解】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A-∠B=40°，∴2∠A=130°，∴∠A=65°，∴∠B=90°-65°=25°．故答案为：65°，25°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若直角三角形的两个锐角的比是2：7，则这个直角三角形的较大的锐角是___________度．【答案】70【分析】根据“直角三角形两锐角互余”进行计算求解即可．【详解】∵直角三角形中的两个锐角互余，∴较大的锐角=90°÷(2+7)×7=70°．故答案为：70．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，明确直角三角形角的性质是解题的关键．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt△ABC中，，则∠C=___________度．【答案】48°【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余计算即可．【详解】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，∠B=42°，∴∠C=90°-42°=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，掌握知识点是解题关键．5．（2019·上海市云岭实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______．【答案】14【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故答案为∶14【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，那么∠ECD＝___．【答案】18°18度【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，进而根据直角三角形的两锐角互余即可求得．【详解】解：直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，是斜边AB上的中线∵∠A＝36°，∴CD是斜边AB上的高故答案为：18°【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的两锐角互余，三角形的高，等边对等角，三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为30°，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为______．【答案】【分析】如图，过点C作CD⊥x轴于D，根据折叠性质可得∠CAB=∠BAO=30°，AC=OA=2，可得∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD的长，利用勾股定理可得出CD的长，即可得出点C坐标，代入即可得答案．【详解】∵A（，0），∴OA=2，∵将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，∠BAO=30°，∴∠CAB=∠BAO=30°，AC=OA=2，∴∠CAO=60°，∠ACD=30°，∴AD=AC=1，OD=OA=1，∴CD==，∵点C在第二象限，∴点C坐标为（，），∵点C在在双曲线上，∴．故答案为：【点睛】本题考查折叠性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及反比例函数图象上的点的坐标特征，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形折叠前后对应边相等，对应角相等；正确得出点C坐标是解题关键．8．（2022·上海·八年级期末）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形是倍长对角线四边形，且，四边形中最小的内角的度数是________．【答案】30°【分析】由AC=BD，想到构造BD的一半或AC的2倍．再结合∠BAD=∠BCD=90°，可分析出是取BD的中点，证明△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质求解．【详解】解：如图，在BD上取中点E，连接AE、CE．∵∠BAD=∠BCD=90°∴AE=BD，CE=BD，又∵AC=BD，∴AE=AC=EC，即△AEC为等边三角形，所以∠AEC=60°，又∵AE=BE=CE，∴∠ABE=∠BAE=∠AED，∠BCE=∠CBE=∠CED，∴∠ABC=∠AEC=30°．故答案为：30°．【点睛】本题以新定义为载体，考查了学生的阅读理解能力以及直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的应用．通过线段2倍关系以及直角的条件，取斜边中点，作出辅助线是关键．9．（2018·上海市清流中学八年级阶段练习）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，△BCD为等边三角形，且AD=，则梯形的周长是_______.【答案】+5；【分析】先根据△BCD是等边三角形，可得∠2=60°，BC=CD=BD，而AD∥BC，∠A=90°，根据平行线的性质可求∠ABC=90°，进而可求∠1=30°，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，易求BD，再根据勾股定理可求AB，从而可求梯形的周长．【详解】如图，∵△BCD是等边三角形，∴∠2=60°，BC=CD=BD，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠ABC+∠A=180°，∴∠ABC=90°，∴∠1=90°−60°=30°，在Rt△ABD中，∵∠1=30°，AD=，∴BD=2AD=2，AB=，∴梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=++2+2=+5.【点睛】此题考查等边三角形的性质，直角梯形的性质，解题关键在于利用直角三角形的性质进行计算.二、解答题10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图在△ABC中，AD⊥BC，，求证△ABC是直角三角形．【答案】证明见解析【分析】可以通过角之间的转化推出∠BAC为直角即可．【详解】∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠1=∠B，∴∠1+∠BAD=∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及直角三角形的判定，正确得到∠BAC=90°是解题的关键．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y．(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；(3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．【答案】(1)（）(2)或(3)能，【分析】（1）如图，过点F作FD⊥GE于点D．由题意易得△AFG，△BEG都是等边三角形，则可得及FG、EG，可求得FD，则可得y与x的关系；（2）点G在运动过程中，能使△GEF成为直角三角形；分两种情况考虑：；，利用30度角直角三角形的性质即可求得AG的值；（3）若四边形GFEB构成平行四边形，则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形，由等边三角形的性质可求得△FEG的边长，则可求得其面积．（1）如图，过点F作FD⊥GE于点D．∵△ABC是边长为的等边三角形，且GE∥AC，GF∥BC，∴△AFG是等边三角形，△BEG是等边三角形，∴，，，∴在中，∠DFG=30°，∴，由勾股定理得：，∴（）；（2）当时，∵，∴，即，解得：；当时，∵，∴，即，解得：；综上所述：或；（3）若四边形GFEB构成平行四边形，则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形，∴，由（1）知，∴．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用．12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：(1)DG＝DE；(2)∠DEG＝∠DEC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AD⊥BC，∠ABC＝45°，可以得到△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，根据BE⊥AC，得到∠C+∠CBE=90°，根据∠CAD+∠C＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，推出△BDF≌△ADC，得到BF＝AC，根据G为BF的中点，得到DG＝BF，根据AB＝CB，BE⊥AC，得到E为AC的中点．推出DE＝AC，得到DG＝DE；（2）根据BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，得到BG＝AE，根据∠DBG＝∠DAE，AD=BD，推出△BDG≌△ADE，得到∠BDG＝∠ADE，推出∠DGE＝∠DBG+∠BDG，根据∠DEC＝∠DAE+∠ADE，得到∠DGE＝∠DEC，根据DG＝DE，得到∠DGE＝∠DEG，推出∠DEG＝∠DEC．【详解】（1）证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD＝90°-∠ABC=45°，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠C+∠CBE=90°，∵∠CAD+∠C＝90°，∴∠FBD＝∠CAD，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF＝AC，∵G为BF的中点．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E为AC的中点．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGE＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGE＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形外角．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角性质．13．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，，求证：DF⊥CE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AB，再求出DE=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【详解】证明：在△ACB中，CE是中线，∴点E为AB边的中点∵AD是BC边上的高，∴△ADB是直角三角形∴DE=AB，∵CD=AB，∴DC=DE，∵F是CE中点，∴DF⊥CE．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D．求证：CD=2AB．【答案】答案见解析【分析】取CD的中点E，连接AE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE=CD，根据等边对等角可得∠C=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEB=2∠C=∠B，根据等角对等边可得AE=AB，即可得证．【详解】如图，取CD的中点E，连接AE，∵AD⊥AC，∴AE=CE=CD，∴∠C=∠CAE，∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AE=AB，∴AB=CD，∴CD=2AB．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线利用性质并构造出等腰三角形是解题的关键．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知在△ABC中，高AD、BE交于点H，G、F分别是BH、AC的中点，∠ABC=45°，GD=5cm，求DF的长度．【答案】5cm【分析】根据斜边上的中线等于斜边一半的性质即可证明DG=BG，DF=AF，可得∠GDB=∠FDA，进而可以求证△BDG≌△ADF，即可求得DG=DF，即可解题．【详解】∵G、F分别是BH和AC的中点，AD⊥CD，∴DG=BH=BG，DF=AC=AF，∴∠GBD=∠GDB，∠FAD=∠FDA，∵∠C=∠C，AD⊥CD，CE⊥BE，∴∠CBE=∠CAD，∴∠GDB=∠FDA，∵∠ABC=45°，AD⊥BD，∴BD=AD，在△BGD和△AFD中，，∴△BGD≌△AFD，（ASA）∴DG=DF．∵GD=5cm，∴DF=5cm．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，本题中求证△BGD≌△AFD是解题的关键．16．（2017·上海市中国中学八年级阶段练习）已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别为（0，0）和（0，4）．（1）求顶点A的坐标．（2）D为第二象限内一点，作出点P，使得P到DB和DC的距离相等，且到点E的距离等于DB（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）A（，2）或（，2）；（2）答案见解析．【分析】（1）过A作AF⊥BC于F，由等腰三角形“三线合一”的性质得到BF的长，再根据勾股定理得到FA的长，从而得到A的坐标．由对称性可知A关于y轴的对称点A′也满足条件．（2）①作∠CDB的平分线DH；②以E为圆心，DB为半径作圆E交直线DH于点P和P′即可．【详解】（1）过A作AF⊥BC于F，如图1．∵B、C的坐标分别为（0，0）和（0，4），∴BC=4．∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF=FC=BC=2．∵AB=4，∴FA==，∴A（，2）．由对称性可知：A关于y轴的对称点A′（，2）也满足条件．综上所述：A（，2）或（，2）．（2）①作∠CDB的平分线DH；②以E为圆心，DB为半径作圆E交直线DH于点P和P′．点P和P′就是所求的点．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及复杂作图．掌握的等边三角形的性质以及组合基本作图是解答本题的关键．17．（2018·上海普陀·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME=MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DM=BC，EM=BC，等量代换即可证明；（2）证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质证明．【详解】证明：（1）∵BD是边AC上的高，∴∠BDC=90°，∵点M是BC的中点，∴DM=BC，同理，EM=BC，∴ME=MD；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，．∵BD是边AC上的高，∴∠ADB=∠CDB=90°．在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AD=CD，∵CE是边AB上的高，∴∠CEA=90°，∴AC=2ED，∵ME=MD，MN⊥DE，∴DE=2EN，∴AC=4EN．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．18．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）∠DME=180°-2∠A；详见解析；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，详见解析【分析】（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答．【详解】（1）证明：如图，连接，，、分别是、边上的高，是的中点，，，，又为中点，；（2）在中，，，∴，，，，，，；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：如图，同理（1）可知：，故结论（1）正确；，∴，，在中，，，，故结论（2）不正确．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．19．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜