专项11-三角形的外角-专题训练

三角形的外角-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（厦门期末）如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（）A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF2．（吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85° B．75° C．65° D．60°3．（怀集县期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5° B．8° C．10° D．15°4．（海淀区二模）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°5．（江津区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．85°6．（北海期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（）A．145° B．155° C．165° D．175°7．（涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°8．（平定县期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（）A．55° B．30° C．45° D．60°9．（鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°10．（大安市期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝．12．（厦门期末）如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于度．13．（渝中区期末）将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为．14．（罗湖区期末）如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝度．15．（嵊州市期中）一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则∠BFD的度数是．16．（叙州区期末）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有．（填序号）17．（新宾县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝度．18．（遂宁期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB=45°−12∠CDB三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．20．（盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．21．（平舆县期中）已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．22．（武汉期中）如图（1）已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，如图（2）已知△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点P．选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想解：我选择的是，猜想结论：．证明：23．（丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．24．（双阳区期末）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝度，∠P＝度．（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．

三角形的外角-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（厦门期末）如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（）A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF【分析】根据三角形的外角的定义得出即可．【解析】：△ABD的一个外角是∠BDF，故选：D．2．（吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85° B．75° C．65° D．60°【分析】利用三角形外角的性质解答即可．【解析】：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．3．（怀集县期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5° B．8° C．10° D．15°【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE进行计算即可．【解析】：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠BCA∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故选：C．4．（海淀区二模）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，根据三角形内角和定理得出∠B的度数．【解析】：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．5．（江津区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．85°【分析】根据∠ACD＝∠A+∠B，求出∠ACD即可解决问题．【解析】：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝120°﹣35°＝85°，故选：D．6．（北海期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（）A．145° B．155° C．165° D．175°【分析】利用三角形的外角性质可求出∠AFD的度数，再利用邻补角互补可求出∠DFB的度数．【解析】：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故选：C．7．（涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．【解析】：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，∴∠MBD=12∠ABD=1∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，故选：C．8．（平定县期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（）A．55° B．30° C．45° D．60°【分析】由角平分线的定义可知∠CBM=12∠ABC=12×60°＝30°，∠CBN【解析】：∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM=12∠ABC∵BN为∠CBE的平分线，∴∠CBN=12∠EBC∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．故选：C．9．（鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据三角形外角性质和角平分线的定义解答即可．【解析】：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM=12∠ACM，∠PBC∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM=12∠ABC+12∴∠BPC=12∠∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故选：C．10．（大安市期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解析】：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝50°．【分析】根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．【解析】：∵∠ACP＝115°，∠B＝65°，∴∠A＝∠ACP﹣∠B＝115°﹣65°＝50°．故答案为：50°．12．（厦门期末）如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于72度．【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．【解析】：∵∠ACB＝36°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°，∵CE是△ABC外角的平分线，∴∠ACE=1∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝72°，故答案为：72．13．（渝中区期末）将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为165°．【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案．【解析】：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°．故答案为：165°．14．（罗湖区期末）如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝25度．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【解析】：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E+2∠EBC，∴∠ACD＝2∠E+∠ABC，∴2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25．15．（嵊州市期中）一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则∠BFD的度数是15°．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解析】：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠CDF＝60°，∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．故答案为：15°．16．（叙州区期末）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有①②④．（填序号）【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB，求得∠ABC＝∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC＝90°−12∠ABC，求得∠ADC+∠ABD＝90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB＝CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC＝∠BAC，故【解析】：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC＝90°−12∠∴∠ADC+12∠∴∠ADC+∠ABD＝90°，故②正确；∵∠ABD＝∠DBC，BD＝BD，∠ADB＝∠BDC，∴△ABD≌△BCD（ASA），∴AB＝CB，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∴2∠DCF＝2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF＝2∠DBC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，故④正确，故答案为：①②④．17．（新宾县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝m22018【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=12∠A，∠A2=12∠A1=【解析】：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=1∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即12∠ACD＝∠A1+12∴∠A1=12（∠ACD﹣∠∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=12∠∠A2=12∠A1=1以此类推可知∠A2018=122018∠A故答案为：m218．（遂宁期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB=45°−12∠CDB，其中正确的结论有【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解析】：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°−12∠ABC＝∠DBC+∠∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°−12∠故④正确；故答案是：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．【分析】（1）（2）根据三角形的外角性质计算即可．【解析】：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝48°．（2）∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFE＝∠B+∠D＝48°+42°＝90°．20．（盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解析】：（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．21．（平舆县期中）已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．【分析】（1）利用三角形的外角性质可求出∠MAB的度数，由AC平分∠MAB，BD平分∠ABO，利用角平分线的定义可求出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠D的度数；（2）利用三角形的外角性质及角平分线的定义可用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠D的度数为固定值，进而可得出∠D的大小不发生变化．【解析】：（1）∵∠MON＝90°，∠ABO＝70°，∴∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+70°＝160°．∵AC平分∠MAB，∴∠CAB=12∠∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=12∠又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝80°﹣35°＝45°．（2）∠D的大小不变，理由如下：∵∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+∠ABO，AC平分∠MAB，∴∠CAB=12∠MAB＝45°+1∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=12∠又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝45°+12∠ABO−1∴∠D的大小不发生变化．22．（武汉期中）如图（1）已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，如图（2）已知△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点P．选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想解：我选择的是图（2），猜想结论：∠BPC=12∠A证明：【分析】图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得∠BPC＝90°−12∠图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到∠BPC=12∠【解析】：图（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BP，CP分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=1即：∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝（90−12∠图（2），结论：∠BPC=12∠证明如下：∵∠1是△PBC的外角，∴∠P＝∠1﹣∠2=12（∠ACD﹣∠ABC）=123．（丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠=12（360°﹣∠ABC﹣∠=12（180°+∠＝90°+12∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−1（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+=12（∠ABC+∠A+∠如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．24．（双阳区期末）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝50度，∠P＝115度．（2）∠A与∠P的数量关系为∠P−12∠A【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为∠Q＝90°−12∠A【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；（2）由角平分线定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1【应用】由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−12∠ABC，∠BCQ＝90°−1【解答】【探究】解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=12∠ABC，∠BCP=1∴∠BCP+∠CBP=12（∠ABC+∠ACB）∴∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案为：50，115；（2）∠P−12∠∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠P+12（∠ABC+∠∴∠P+12（180°﹣∠∴∠P−12∠故答案为：∠P−12∠【应用】解：∠Q＝90°−12∠∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=12（180°﹣∠ABC）＝90°−1∠BCQ=12（180°﹣∠ACB）＝90°−1∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°−12∠ABC+90°−12∠ACB）=1又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠Q=12（180°﹣∠A）＝90°−1故答案为：∠Q＝90°−12∠

专题11.4多边形及其内角和姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（镇原县期末）一个多边形的每个外角为30°，那么这个多边形边数为（）A．12 B．6 C．10 D．8【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为30°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．【解析】：360°÷30°＝12，故选：A．2．（云南模拟）一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（）A．10 B．12 C．16 D．20【分析】利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．【解析】：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是：360°÷18°＝20，故选：D．3．（温江区校级期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是（）A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形【分析】设这个多边形的边数为n，依据多边形的内角和是它的外角和的5倍列方程，即可得到n的值．【解析】：设这个多边形的边数为n，依题意得（n﹣2）•180°＝5×360°，解得n＝12，∴这个多边形是十二边形，故选：D．4．（沂南县期末）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个内角是（）A．120° B．108° C．90° D．60【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．【解析】：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝540，解得：n＝5．则这个正多边形的每一个内角为540°÷5＝108°．故选：B．5．（沙坪坝区校级月考）若一个正多边形的一个内角是135度，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】先求出正多边形每个外角的度数，然后利用多边形外角和除以外角度数即可得到多边形的边数．【解析】：∵正多边形的每个内角为135°，∴正多边形的每个外角为180°﹣135°＝45°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360°÷45°＝8．故选：C．6．（永州期末）富有灿烂文化的永州，现今保留着许多具有历史和文化价值的建筑，古朴的建筑物上雕刻的优美图案是我们数学研究的重要内容．图1中的“冰裂纹窗格”图案就是永州古建筑雕刻图案其中的代表，无规则多边形的形状，蕴含了丰富而和谐的数学美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的多边形，根据绘制的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为（）A．72° B．108° C．360° D．540°【分析】多边形的外角和等于360度，依此即可求解．【解析】：由多边形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360度．故选：C．7．（梁园区期末）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝9【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．【解析】：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，解得：n＝8，故选：C．8．（烟台期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．【解析】：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为2003+1＝2004．故选：C．9．（龙口市期中）如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个．【解析】：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选：A．10．（黄石港区校级期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（）A．30° B．35° C．36° D．45°【分析】根据正多边形的每个内角相等以及多边形的内角和公式可得∠E＝∠CDE＝108°，再根据正多边形的各边相等可得△ADE是等腰三角形，据此可得∠1的度数，再根据角的和差关系求解即可．【解析】：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠E＝∠CDE=180°×(5−2)5=108°，AE所以∠1=∠3=180°−108°所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（海南）正六边形的一个外角等于60度．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．【解析】：∵正六边形的外角和是360°，∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，故答案为：60．12．（灞桥区模拟）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为12．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】：多边形的边数：360°÷30°＝12，则这个多边形的边数为12．故答案为：12．13．（绥棱县期末）若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是十边形．【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．【解析】：∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，∴1800°÷180°＝10．故答案为：十．14．（松山区期末）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝132°．【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解决问题．【解析】：如图：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案为：132．15．（亭湖区校级期中）从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和是360°或540°或720°．【分析】分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可．【解析】：如图，剩余的部分是四边形，其内角和为360°，如图，剩余的部分是五边形，其内角和为540°，如图，剩余的部分是六边形，其内角和为720°，所以剩余部分的多边形的内角和是360°或540°或720°．故答案为：360°或540°或720°．16．（常熟市期末）如图，已知∠B＝30°，则∠A+∠D+∠C+∠G＝210°．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BEF+∠BFE的度数，根据补角的定义得出∠DEF+∠GFE的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解析】：∵∠B＝30°，∴∠BEF+∠BFE＝180°﹣30°＝150°，∴∠DEF+∠GFE＝360°﹣150°＝210°．∵∠DEF＝∠A+∠D，∠GFE＝∠C+∠G，∴∠A+∠D+∠C+∠G＝∠DEF+∠GFE＝210°，故答案为：210．17．（雁塔区校级模拟）一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为十．【分析】设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，根据邻补角的定义得到x+4x＝180°，解出x＝36°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．【解析】：设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，依题意有：x+4x＝180°，解得x＝36°，这个多边形的边数＝360°÷36°＝10．故答案为：十．18．（南海区一模）一个n边形从一个顶点出发最多引出7条对角线，则n的值为10．【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，列方程求解．【解析】：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，∴n﹣3＝7，解得n＝10．故答案为：10．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（江都区月考）一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的14【分析】根据题意得出内角的度数，进而得出边长，即可得出答案．【解析】：设这个多边形的一个外角的度数为x，由x=14（180°﹣解得：x＝36°，360÷36＝10，（10﹣2）×180°＝1440°，此多边形为十边形，内角和为1440°．20．（丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【分析】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．【解析】：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数=360∴多边形的边数＝9，答：这个多边形的边数是9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．21．（建邺区期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？（2）明明求的是几边形的内角和？（3）错当成内角的那个外角为多少度？【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；（3）代入计算求解．【解析】：（1）设多边形的边数为n，180°（n﹣2）＝2020°，解得n=132∵n为正整数，∴“多边形的内角和为2020°”不可能．（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，∵﹣180°＜x﹣y＜180，∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，解得122又∵n为正整数，∴n＝13，n＝14．故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．（3）十三边形的内角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，又x+y＝180°，解得：x＝70°，y＝110°；十四边形的内角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，又x+y＝180°，解得：x＝160°，y＝20°；所以那个外角为110°或20°．22．（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为4×(4−3)2（2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为5×(5−3)2（3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有9条，算法为6×(