5.5.1+两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件（第一课时） 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）教学目标

能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式（重点）01

能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式及正切公式（重点）02

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式03并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值.（重点、难点）学科素养

借助正切线作出正切函数的图像;

数学抽象

直观想象

两角和差正余弦公式、二倍角公式的推导；逻辑推理

能用公式求值，求角，化简

数学运算

数据分析

利用两点间的距离公式得到两角差的余弦公式;

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如图，过P1,P2分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，则Q的坐标为(x2,y1)，则由勾股定理，可得：所以平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离：xyOP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)∟∟02知识精讲

ExquisiteKnowledge

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到简化、求值或证明的目的．

这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．

如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？

下面来研究这个问题．

α终边β终边α-β终边如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α-β)，sin(α-β))．下面我们来探究cos(α-β)角α，β的正弦、余弦之间的关系．不妨令α≠2kπ+β，k∈Z，

如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦吗？探究

α终边β终边α-β终边A(1，0)，P(cos(α-β)，sin(α-β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα,sinα)．

连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知:AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1．根据两点间的距离公式，得：化简得当α=2kπ+β,k∈Z时，容易证明上式仍然成立．

此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β).所以，对任意角α，β有(3)公式两边符号相反.(1)公式中的α，β是任意角;(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；公式特征；；【推导】我们以C(α-β)为基础，推导出其他公式.于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α+β)

由公式C(α-β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？探究

我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据C(α-β)、C(α+β)和诱导五（六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)公式吗？探究于是得到了两角和与差的正弦公式，分别简记作S(α+β)、S(α-β)

我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据C(α-β)、C(α+β)和诱导五（六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)公式吗？探究两角和与差的正弦、余弦公式：（异名积，符号同）（同名积，符号反）0