2024八年级数学上册第13章三角形中的边角关系命题与证明13.2命题与证明第4课时三角形内角和定理的推论-三角形外角的性质习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明第4课时三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质01名师点金02基础题03综合应用题目

录CONTENTS04创新拓展题

三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关

计算及推理论证时经常使用的理论依据.运用三角形的外

角性质时，一定要特别注意“不相邻”这三个字，否则

极易产生错误.知识点1

三角形外角的定义1.

下列各图中，∠1是△

ABC

的外角的是(

D

)D123456789101112132.[新考法·定义解释法]关于三角形的外角，下列说法中错误

的是(

A

)A.

一个三角形只有三个外角B.

三角形的每个顶点处都有两个外角C.

三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角D.

一个三角形共有六个外角【点拨】三角形的每个顶点处都有两个外角，一共有六个外

角，故A错误，B，D正确；根据三角形外角的定义可知C

正确.A12345678910111213知识点2

三角形外角的性质3.

[2023·陕西]如图，直线

l1∥

l2，点

A

在

l2上，

AB

⊥

l3，垂

足为

B

.

若∠1＝138°，则∠2的度数为(

D

)A.32°B.38°C.42°D.48°(第3题)12345678910111213【点拨】如图.∵直线

l1∥

l2，∴∠3＝∠1＝138°.∵

AB

⊥

l3，∴∠

ABC

＝90°.∵∠3＝∠2＋∠

ABC

，∴∠2＝48°.故选D.

D【答案】123456789101112134.

[2023·大连]如图，

AB

∥

CD

，∠

A

＝45°，∠

C

＝

20°，则∠

E

的度数为(

B

)A.20°B.25°C.35°D.45°(第4题)12345678910111213【点拨】如图.∵

AB

∥

CD

，∴∠

A

＝∠

DFE

.

∵∠

A

＝45°，∴∠

DFE

＝45°.∵∠

DFE

是△

CEF

的一个外角，∴∠

DFE

＝∠

C

＋∠

E

.又∵∠

C

＝20°，

∴45°＝20°＋∠

E

.

∴∠

E

＝25°.故选B.

【答案】B123456789101112135.

[2023·日照]在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角

三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝

23°，则∠2的度数是(

B

)A.23°B.53°C.60°D.

67°12345678910111213如图.∵

BC

∥

DE

，∴∠2＝∠

BCD

.

又∵∠

BCD

＝∠1＋∠

A

，∠

A

＝30°，∴∠2＝∠1

＋∠

A

＝23°＋30°＝53°.故选B.

【点拨】【答案】B123456789101112136.

如图是四条互相不平行的直线

l1，

l2，

l3，

l4相交所形成的

七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是

(

C

)A.

∠2＝∠4＋∠7B.

∠1＋∠4＋∠6＝180°C.

∠3＝∠1＋∠7D.

∠2＋∠3＋∠5＝360°(第6题)C12345678910111213知识点3

三角形内、外角的关系7.

如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是(

D

)A.

∠1＋∠2＝∠3＋∠4B.

∠1＋∠2＝∠4－∠3C.

∠1＋∠4＝∠2＋∠3D.

∠1＋∠4＝∠2－∠3(第7题)12345678910111213【点拨】如图.因为∠5＝∠1＋∠4，∠2＝∠5＋∠3，所以∠1＋∠4＝∠2－∠3.【答案】D123456789101112138.[新考法·整体求值法]如图，

D

，

E

，

F

分别是△

ABC

三

边延长线上的点，∠

D

＋∠

E

＋∠

F

＝107°，则∠1＋

∠2＋∠3的度数为(

A

)A.73°B.63°C.83°D.93°(第8题)12345678910111213【点拨】根据三角形的外角性质得∠

D

＋∠3＝∠

CAB

，∠

E

＋∠1＝∠

ABC

，∠

F

＋∠2＝∠

ACB

，利用三角形内角

和定理及已知条件即可求解.【答案】A12345678910111213易错点忽略外角的性质中“不相邻”这一条件9.

如图，在△

ABC

中，在

BC

的延长线上取点

D

，

E

，连接

AD

，

AE

，则下列式子中正确的是(

C

)A.

∠

ACB

＞∠

ACD

B.

∠

ACB

＞∠1＋∠2＋∠3C.

∠

ACB

＞∠2＋∠3D.

以上都正确(第9题)C12345678910111213【点拨】∵∠

ACB

＝∠

CAE

＋∠

E

＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠

ACB

＞∠2＋∠3.故C正确.【点易错】解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单凭

直觉判断.此题学生容易

忽略外角的性质中“不相邻”这

一条件

，而错选A.

解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单凭

直觉判断.此题学生容易

忽略外角的性质中“不相邻”这

一条件

，而错选A.

1234567891011121310.

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和.已知：如图，∠

ACD

是△

ABC

的外角.求证：∠

ACD

＝

∠

A

＋∠

B

.

12345678910111213证法1：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定

理)，∠ACD＋∠ACB＝180°(平角定义)，∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB(等量代换).∴∠ACD＝∠A＋∠B(等式性质).证法2：∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°(量

角器测量所得)，135°＝76°＋59°(计算所得)，∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换).12345678910111213下列说法正确的是(

B

)A.

证法1还需证明其他形状的三角形，该定理

的证明才完整B.

证法1用严谨的推理证明了该定理C.

证法2用特殊到一般法证明了该定理D.

证法2只要测量够100个三角形进行验证，就

能证明该定理B12345678910111213【点拨】证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严

谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，不用再

证明其他形状的三角形，故A错误，B正确.证法2用量

角器测量，只能验证定理的正确性，缺少理论证明过

程，也与测量三角形的数量多少无关，故C，D错误.1234567891011121311.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

A

＝40°，△

ABC

的外角∠

CBD

的平分线

BE

交

AC

的延长线于点

E

.

(1)求∠

CBE

的度数；

12345678910111213(2)过点

D

作

DF

∥

BE

，交

AC

的延长线于点

F

，求∠

F

的度数.【解】∵∠

ACB

＝90°，∠

CBE

＝65°，∴∠

CEB

＝90°－65°＝25°.∵

DF

∥

BE

，∴∠

F

＝∠

CEB

＝25°.1234567891011121312.

[新考法·分类讨论法]如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于

点

D

，

BE

平分∠

ABC

，若∠

ABC

＝64°，∠

AEB

＝

70°.(1)求∠

CAD

的度数；【解】∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABC

＝2∠

EBC

＝64°.∴∠

EBC

＝32°.∴∠

C

＝∠

AEB

－∠

EBC

＝70°－32°＝38°.∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADC

＝90°.∴∠

CAD

＝90°－∠

C

＝90°－38°＝52°.12345678910111213(2)若点

F

为线段

BC

上的任意一点，当△

EFC

为直角三

角形时，求∠

BEF

的度数.【解】分两种情况：①如图①所示，当∠

EFC

＝90°

时，∠

BFE

＝90°，∴∠

BEF

＝90°－∠

EBC

＝90°－32°＝58°；12345678910111213②如图②所示，当∠

FEC

＝90°时，∠

EFC

＝90°

－∠

C

＝90°－38°＝52°，∴∠

BEF

＝∠

EFC

－

∠

EBC

＝52°－32°＝20°.综上所述，∠

BEF

的度数为58°或20°.1234567891011121313.[新考法·猜想验证法]如图，在△

ABC

中，∠

ABC

的平

分线与△

ABC

的外角∠

ACE

的平分线交于点

D

.

(1)若∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝40°，求∠

A

和∠

D

的

度数；12345678910111213【解】∵在△

ABC

中，∠