查补重难点05 三角形与相似三角形（解析版）

查补重难点05.三角形与相似三角形考点一：三角形及其全等1）三角形相关定理：①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；②三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和；③三角形三边关系：三角形两边之和＞第三边，两边之差＜第三边；④角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。2）全等三角形的性质和判定：①全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。推论：全等三角形的周长和面积相等，对应的“三线”分别相等。②全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。题型1.三角形的内角和定理与外角定理1.三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，不会随着三角形的大小发生变化，三角形的内角和永远都是180°。2.三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。特别注意：“不相邻”。例1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，已知等腰，，将绕点顺时针旋转，点落在点处，且，连接交于点，如果，那么度．【答案】72【分析】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，根据旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可得到结论．理解旋转的性质是解决问题的关键．【详解】解：将绕点顺时针旋转，点落在点处，，，，，设，∴∴，∴，，∴，，∴，∵，∴∴，∴故答案为：．变式1.（2023·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（

）

A．大 B．小 C．大 D．小【答案】A【分析】根据三角形内角和定理，得，得到，结合已知判断即可．【详解】根据三角形内角和定理，得，∴，∴，∵比小，∴，故选A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．变式2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．【答案】（1）；；（2），见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．【详解】（1），，．在中，，，，，．．（2），的关系：．理由如下：设，．在中，，，．，在中，，．．．．【点睛】本题通过求解角和两角之间的关系，考查三角形内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．题型2.三角形三边关系1.三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。例1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；D、，能构成三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．变式1．（2024·江苏淮安·一模）如图，A、B、C、D是平面内四点，若，，，则线段的长度可能是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系，掌握构成三角形的条件是解题的关键．分别在和中根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组并求解即可．【详解】解：在中，，即：在中，，即：，∴，各个选项中满足条件的只有4，故选：B．变式2．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是．（只填一个即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：，则，故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．题型3.角平分线与垂直平分线定理角平分线到一个角两边的距离相等，垂直平分线上的点到一条线段两端的距离相等。这两个性质组合在一起也是初中几何比较常见的题型，灵活运用角的平分线的和线段垂直平分线的性质是解题的关键。见到角平分线我们常作辅助线：向角的两边引垂线；见到垂直平分线：连结线段的两端点。例1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为．

【答案】【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．【详解】如图：过点作于点，，由题意得：平分，

，，，，，，；故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．变式1．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；关键在于利用直角三角形的特殊性质求出边长．根据，可推出，利用全等求出，再根据直角三角形中所对的直角边是斜边一半的性质求出，最后算出．【详解】解：∵，，平分，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，．∴．故选C．变式2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为．（如需画草图，请使用试卷中的图2）.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．【详解】（1）解：如图，∴点D为所求点．（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四边形ABCD是梯形，∴，∴四边形AECD是矩形，∴，∴四边形ABCD的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．题型4.全等三角形的性质与判定证明三角形全等时要注意以下几点：1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA），②任一组等角的对边相等(AAS)，（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)，②第三组边也相等(SSS)，（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)，②夹等角的另一组边相等(SAS)。特别注意：边边角不能证全等哦！例1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．(1)求证：；(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立；（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作图形如图，．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．变式1．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是

【答案】（或或或）．【分析】根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明．【详解】解：∵，，∴，，①添加条件为：，在和中，，∴；②添加条件为：，在和中，，∴；③添加条件为：，∴，在和中，，∴；④添加条件为：，在和中，，∴；∴这个条件可以是（或或或）．故答案为：（或或或）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．变式2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【答案】(1)二(2)见解析【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．（2）证明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．题型5.尺规作图观近几年江苏中考，对尺规作图的考查常考垂直平分线、角平分线、等角的作图，我们不仅要能操作，还需要能用语言准确地表述作图步骤。注意：直尺和圆规的使用规则。例如，直尺不能用来测量长度，只能用来连接两点；圆规可以开到无限宽，但上面不能有刻度，只能拉开成之前构造过的长度。例1．（2024·江苏南京·一模）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）；(1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合；(2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质．（1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合；（2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可．【详解】（1）解：如图1所示：点即为所求作的点；（2）如图2所示：点即为所求作的点．作图如下：延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点．变式1．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；(2)点、分别是、的内心．①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接，则与的关系是________．【答案】(1)见解析(2)①见解析

②【分析】（1）可证得，结合，即可证明结论．（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案．【详解】（1）∵，，，∴．在和中∴．（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．

②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．故答案为：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．变式2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．

(1)求出对角线的长；(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)(2)作图见解析【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案．【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：

在中，，，，，，在中，，，，则；（2）解：如图所示：【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．考点二：特殊三角形1）特殊三角形相关定理：①等腰三角形：等边对等角、“三线合一”，常做辅助线→底边上的高线；判定方法：两边长相等、等角对等边、逆用“三线合一”（角平分线与中线重合除外）；②直角三角形：直角三角形两锐角互余、斜边上的中线等于斜边长的一半、勾股定理；判定方法：一个角为直角、两个内角互余、勾股定理逆定理、一边上的中线等于这边长的一半。题型1.等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。2、等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。3、等腰三角形两腰上的高、中线、角平分线相等。例1．（2023·江苏·中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是．【答案】【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：三角形的底边长为。故答案为：【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等．变式1．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【答案】6【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．变式2．（2024·江苏苏州·模拟预测）将边长为的等边三角形按如图所示的位置放置，边与轴的交点为，则．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质、角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，设一条边为未知数，将其他边分别表示出来，并找一等量关系列方程解决问题.作辅助线，构建两个直角三角形，证明是的直角三角形，△COD是等腰直角三角形，设，则，，根据列方程求出的值，计算的长即可，熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键．【详解】如图，过作于，∵是等边三角形，∴，在中，，∴，设，则，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，则，∴，故答案为：．变式3．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．题型2.直角三角形的性质与判定1、两锐角互余：在直角三角形中，两个锐角（非直角的角）的角度和为90度。2、斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半（该性质的逆命题也是真命题）。3、30度角性质：如果直角三角形中有一个30度的角，那么这个角所对的直角边长度是斜边长度的一半。例1．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则．【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，∴AB=2DE=2，∵点F、G分别是AC、BC中点，∴，故答案为：1【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键．变式1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为.

【答案】【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：在中，∵，，，∴，由旋转的性质得，，，∴是等边三角形，∴，∴点的运动路径的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．变式2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则．（结果保留根号）

【答案】/【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，

设，∵，，∴，∵，∴，，为等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，经检验不符合题意；∴；故答案为：．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．题型3.勾股定理与逆定理1、勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角边长，c是斜边（直角边中最长的边）的长度。（切记运用定理一定要确定斜边哦！）2、勾股定理逆定理：如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。例1．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．【详解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴选B．【点睛】本题考查几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题关键．变式1．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据：）．

【答案】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则，，在中，，即∵这台扫地机能从角落自由进出，∴这台扫地机的直径不小于长，即最小时为，解得：（舍），，∴图中的x至少为，故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．变式2．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则（用含的式子表示）．【答案】【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，为直角边，为斜边，，，得到，，，是大于1的奇数，．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键．考点三：相似三角形1）相似三角形相关定理：①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；推论：相似三角形的周长比=相似比；面积比=相似比的平方；对应三线之比=相似比；②相似三角形的判定：两对内角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等。题型1.黄金分割黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。例1.（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为．【答案】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，∴之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．变式1.（2024·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．【详解】解：如图，∵点是线段的黄金分割点，且，∴，故选：A．题型2.相似三角形的性质与判定性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。例1．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2）【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可；②由，可得，由①同理可得，计算；（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值为1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．设，则．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如图，过点D作于H．∵，∴．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．变式1．（2023·江苏南通·中考真题）在中（如图），点D、E分别为、的中点，则．【答案】【分析】本题考查三角形的中位线和相似三角形的性质和判定，根据中位线性质证明，再利用相似的性质即可解题．【详解】解：点D、E分别为、的中点，为的中位线，，，,，，故答案为：．变式2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且，已知，则．【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意判定成为解题的关键．先判定，再根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，即，解得：，∴．故答案为：．变式3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①，证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．选择②，不能证明．若选③，证明：∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．题型3.位似位似图形的性质：（1）平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。例1．（2024·江苏常州·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为．【答案】2【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质，熟记的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．连接，根据正方形的性质得到，得到是圆的直径，根据相似比的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：连接，∵四边形是正方形，∴，∴是圆的直径，∵正方形的面积为2，∴正方形的边长为，∵正方形的与是位似图形，，∴，∴，∴四边形的外接圆的半径为2，故答案为：2．变式1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为．（结果用含，的式子表示）

【答案】【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，

∵与的相似比为，点是位似中心，∴∵，∴,∴，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．变式2．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．【答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；（2）先根据题意和轴对称性质作出轴对称前的，即以点为位似中心缩小的，在作出Q对应的，进而作出点对应的点P即可；（3）延长交于点，证明和得到，进而得到，证明得到，利用平行线的判定即可得出结论．【详解】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；

，②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，③与不成自位似轴对称，故答案为：①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取，，2）连接，在上截取，3）连接并延长交于P，则点即为所求；

（3）证明：延长交于点，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中点，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．题型4.相似三角形的综合运用利用影长测量物体的高度：①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。利用相似测量河的宽度（测量距离）：①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。借助标杆或直尺测量物体的高度：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

【答案】[问题背景]；[活动探究]；[应用拓展]【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；[活动探究]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[应用拓展]过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．【详解】解：[问题背景]如图所示：

，，，，，，，，，解得；[活动探究]如图所示：，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[应用拓展]如图，过点作于点，过点作于点，由题意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由题意得：，，，，设，，则，，，，解得：（负值已舍去），，，，，同【问题背景】得：，，，解得：，，答：信号塔的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．变式1．（2023·江苏·中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．

(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】(1)；(2)见解析；(3)小丽的猜想正确，理由见解析．【分析】（1）证，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证得，同理可得，由，，得，进而有，再根据矩形的性质即可得证；（3）当时，取的中点，连接、，由，恰为边的中点，得，进而证，得，于是有，由平行线分线段成比例得，同理可证：，于是有，从而即可得解．【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中点，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如下图，解：∵小丽滑动矩形，使得恰为边的中点，∴，，

∵四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小丽的猜想正确，当时，总成立，理由如下：如下图，取的中点，连接、，∵四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰为边的中点，是的中点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可证：，∵，∴，∴，∴小丽的猜想正确．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．课后训练1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】∵的位似比为2的位似图形是，且，，即，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．2．（2022·江苏连云港·中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（

）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，∴两个相似三角形的相似比为1:3，∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．3．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．【详解】∵，平分，∴，∴，∵为的中点，∴，故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．4．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【详解】A.．根据SSS一定符合要求；B.．根据SAS一定符合要求；C.．不一定符合要求；D.．根据ASA一定符合要求．故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．6．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法图形1．以A为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

这一画图过程体现的数学依据是（

）A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【答案】D【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：M、N就是线段AB的三等分点故选：D【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．7．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，是的中点，将沿着翻折得到，连接，则线段的长为（

）

A．4 B． C． D．3【答案】C【分析】延长交于点O，过点A作于H，根据运用勾股定理求出BC的长，利用的面积求出AH的长，证明AD垂直平分线段CE，运用与面积相等求出OC的长，推出CE的长，证明是直角三角形，在中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：延长交于点O，过点A作于点H，∵在中，，，，∴，∵是的中点，，∴，∵，∴，由折叠的性质可得，垂直平分线段，∵，∴∴，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，在中，．故选：C．

【点睛】本题主要考查了翻折变换，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等，解题的关键是添加辅助线，熟练掌握翻折性质，直角三角形的斜边中线的性质，三线合一，勾股定理解直角三角形，面积法求高．8．（2022·江苏盐城·中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【分析】参照题目中所给的“跳眼法”的方法估测出距离即可．【详解】由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍．观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，所以汽车到观测点的距离约为80米，故选C．【点睛】本题主要考查了测量距离，正确理解“跳眼法”测物距是解答本题的关键．9．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，∴，，，，故①正确；，，，，，平分，故②正确；，，，，，，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为（写出一个即可）．【答案】4【分析】根据三角形三边关系可进行求解．【详解】解：设第三边的长为x，则有，即，∵该三角形的边长均为整数，∴第三边的长可以为3、4、5、6、7，故答案为4（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．11．（2023·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为．

【答案】96【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∵，∴，解得，（舍去），∴，∴每个直角三角形的面积为，故答案为：96．【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．12．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是．【答案】【分析】先根据勾股定理得出，根据的面积是2，求出点到的距离为，根据的面积，求出点到的距离为，即可得出点到的距离为，根据相似三角形的判定与性质，得出，求出，，根据等角对等边求出，即可求出，即可得出最后结果．【详解】解：在中，由勾股定理得，，∵的面积是2，∴点到的距离为，在中，点到的距离为，∴点到的距离为，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点到的距离为，点到的距离为．13．（2022·江苏泰州·中考真题）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为.【答案】2或/或2【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，∵，∴∵O为的内心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O为的内心，∴，∴∴∴②如图，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案为：2或．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．14．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为．【答案】【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交于点，∵，∴，∴，∴设，，∵，，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．15．（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离．【答案】25米/【分析】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．延长至，使，连接，可证得进而证得，进一步求得，即可得出最后结果．【详解】如图，延长至，使，连接，

，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，米，米，米．故答案为：25米．16．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在四边形中，，平分，垂足为E，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．

【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．（1）根据证明即可；（2）根据可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得，，即可由解决问题．【详解】（1）证明：，，，平分，，在和中，，．（2）解：，，，，．，∴，，∴，∴．17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，.(1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，求证：.【答案】(1)图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了作角平分线，相似三角形的性质与判定；（1）根据题意作的角平分线，交于点，则点即为所求；（2）根据已知可得，根据角平分线的定义可得，根据为公共角，证明，进而根据相似三角形的性质，即可得证．【详解】（1）解：如图，点即为所求；（2）证明：，，由（1）知：平分，，，又，，，18．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解．【详解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，∵∠DFA=∠A，∴四边形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面积等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半径，∴直线BC与⊙F相切．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．19．（2022·江苏盐城·中考真题）【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在中，，四边形、和分别是以的三边为一边的正方形．延长和，交于点，连接并延长交于点，交于点，延长交于点．(1)证明：；(2)证明：正方形的面积等于四边形的面积；(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．(4)【迁移拓展】如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)存在，见解析【分析】（1）根据正方形的性质和SAS证明△ACB≌△HCG，可得结论；（2）证明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得结论；（3）证明正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积＝▱ADJK的面积+▱KJEB的面积＝正方形ADEB，可得结论；（4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交