查补重难点04 二次函数图象与性质的运用（解析版）

查补重难点04.二次函数图象与性质的运用考点一：二次函数图象与性质二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴与顶点对称轴：直线x=–；顶点坐标：（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=。当x=–时，y最大值=。增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大。当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小。题型1.二次函数图象与a、b、c的关系1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜02）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：对称轴在x轴负半轴，则ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则ab＜0（即：左同右异）3）与y轴交点可确定c的符号：交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞04）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；例1.（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点∴＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x交于这两点∴＜0可化为，根据图象，解得：1＜x＜3故④错误．故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．变式1．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．【详解】解：将代入，可得，故①正确；二次函数图象的对称轴为直线，点到对称轴的距离分别为：4，1，3，，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，，故②错误；二次函数图象的对称轴为直线，，又，，，当时，y取最大值，最大值为，即二次函数的图象的顶点坐标为，若m为任意实数，则故③正确；二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与x轴的另一个交点坐标为，的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，若方程的两实数根为，且，则，故④正确；综上可知，正确的有①③④，故选B．【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．变式2．（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由该抛物线经过点即可判断结论①；由各点到抛物线对称轴的距离大小即可判断结论②；由当时函数值取最大值，即可判断结论③；由对称轴为直线，即可判断结论④；由抛物线的对称轴可得该抛物线与轴的交点坐标，即可判断结论⑤．【详解】解：如下图，∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为∴当时，可有，故结论①正确；∵，∴该二次函数的图象开口向下，∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，∵对称轴为，∵，，，又∵，∴，故结论②错误；∵该函数图像的对称轴，∴，∵，即，∴，∵该二次函数的图象开口向下，∴当时，该函数取最大值，∴为任意实数，可有，即，故结论③正确；∵若且，即有，∵函数图象的对称轴为，∴，即，故结论④错误；∵方程的两实数根为，，∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，即该抛物线与轴的交点为，，∵该抛物线开口向下，，∴，，故结论⑤正确．综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．题型2.二次函数图象与性质熟练掌握二次函数的图象与性质，运用相关知识解答即可。例1．（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为，，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵，∵，∴，当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为，，∴抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题关键．变式1．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论：①该函数图象过定点；②当时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当时，点是曲线上两点，若，则．其中，正确结论的序号为．【答案】①②④【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征．将抛物线整理为，即可判断①；将代入并计算即可判断②；计算抛物线对称轴并根据可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，根据增减性可判断④．【详解】解：，当时，，该函数图象过定点，故①正确，符合题意；当时，，令，则，，当时，函数图象与x轴无交点，故②正确，符合题意；抛物线的对称轴为直线，，，当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在右侧，故③错误，不符合题意；，，，在对称轴左侧，在对称轴右侧，，抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，当时，，当时，，此时，，，，，故④正确，符合题意；综上所述，正确的是①②④，故答案为：①②④．题型3.二次函数的增减性与大小比较距离法:对于开口向上的二次函数，自变量到对称轴的距离越近，函数值越小；对于开口向下的二次函数，自变量到对称轴的距离越近，函数值越大.函数增减性法:利用函数的增减性来判断。如果自变量在对称轴的同侧，可以直接根据函数的增减性判断函数值的大小；如果自变量在对称轴的两侧，需要先利用函数的对称性将自变量转化到对称轴的同侧再比较大小。例1．（2022·江苏泰州·中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；C．把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；D．把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数性质．变式1．（2024·江苏淮安·模拟预测）抛物线过四个点，，，，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为．【答案】【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，先求出函数对称轴，再根据对称性判断出，再分和两种情况讨论即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，∴和关于对称轴对称，即，∴，若，抛物线开口向下，，则必小于0，不合题意，∴，，∴，解得：．故答案为：．变式2．（2021·江苏无锡·中考真题）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”；④是函数，的“逼近区间”．其中，正确的有（

）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】分别求出的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出的范围，逐一判断各个选项，即可求解．【详解】解：①∵，，∴，当时，，∴函数，在上不是“逼近函数”；②∵，，∴，当时，，函数，在上是“逼近函数”；③∵，，∴，当时，，∴是函数，的“逼近区间”；④∵，，∴，当时，，∴不是函数，的“逼近区间”．故选A【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．题型4.二次函数的增减性与最值当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值可以根据以下步骤来确定：（1）配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴。（2）画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围。（3）判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系。根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值。例1.（2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为．【答案】【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值．【详解】解：∵二次函数的表达式为，∴当时，二次函数取得最大值，为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．变式1．（2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：依题意，，解得：设∴∵∴有最大值，最大值为故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式2．（2024·江苏徐州·一模）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．由题意可知，根据m的范围即可确定n的范围．【详解】解：∵，∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，∵到y轴的距离小于2，∴，而，当，当时，，∴n的取值范围是，故答案为：．题型5.二次函数的最值（含参讨论）1.二次函数最值类型：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间。2.二次函数最值讨论技巧：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0为例进行讨论）。图1图2图3图4图51）如图1，当x的取值为全体实数时：当时，y取最小值，最小值ymin=，无最大值。2）如图2，当时：当时，y取最小值，最小值为ymin=ax22+bx2+c；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax12+bx1+c。3）如图3，当且时：当时，y取最小值，最小值为ymin=；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax12+bx1+c。4）如图4，当且时：当时，y取最小值，最小值为ymin=；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax22+bx2+c。5）如图4，当时：当时，y取最小值，最小值为ymin=ax12+bx1+c；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax22+bx2+c。例1.（2024·江苏扬州·一模）已知抛物线．(1)若点在此抛物线函数图象上，当时，试说明；(2)当时该抛物线的最小值是，求b值．【答案】(1)见解析(2)或【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．（1）由题意可得，，由得到，即可证明结论；（2）由可知，抛物线开口向上，抛物线的顶点为，对称轴为，根据对称轴的位置分析即可得到答案．【详解】（1）解：∵点在抛物线上．∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为，对称轴为，当，时，y的最小值为，则，解得，当时，，不满足，舍去，当时，，满足，符合题意，当时，时，y的最小值为，则，解得，∵，∴不满足，舍去，当时，时，y的最小值为，则，解得，∵，∴满足题意，综上可知，的值为或．变式1．（23-24九年级上·浙江·期中）已知抛物线，为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值为（）A．3 B．1 C．3或1 D．2或6【答案】C【分析】将点代入，得出，当时，，函数不经过第三象限，则；此时，最大值与最小值之差为25；当时，，函数不经过第三象限，则，得，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，当时，函数有最大值；当最大值时，；当最大值时，；即可求解．【详解】解：将点代入，得，则；，对称轴，当时，，函数不经过第三象限，则；此时，当时，函数最小值是0，最大值是25，最大值与最小值之差为25；（舍去）当时，，函数不经过第三象限，则△，，，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，当时，函数有最大值；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值时，，或，，；当最大值时，，或，，．综上所述，的值为1或3．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象和性质，分类讨论解题是关键．变式2．（22-23九年级上·浙江·期中）已知函数（b为常数）的图象经过点．当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（

）A．或B．或C．或D．【答案】C【分析】将点代入即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把代入，得，∴，∴当时，y有最大值为6；①当时，当时，y有最小值为，当时，y有最大值为∵y的最大值与最小值之和为2，∴，∴或(舍去)。②当时，当时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为，∴或舍去)综上所述：或故选：C【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出m的取值范围．题型6.二次函数与动点问题二次函数中的动态问题解题步骤：1）读题，辨析是递进关系还是并列关系；2）确定动点、动线背景，确定动点个数以及它们之间的关系，动点在什么图形上运动（直线、射线、折线、三角形、四边形等）；3）分类，确定分类依据，从特殊位置人手确定自变量范围，找不变或相等关系（全等、相似、面积、勾股底或高为定长、定角等），动点和定点构成的图形要逐一分析；4）作图，要作出每个状态的典型图形；5）函数或方程，通过位置关系建立起数量关系；6）看临界，要考虑临界状态能否成立的情况。例1.（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．【详解】解：当时，由题意可知，，在中，由勾股定理得，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，当时，由题意可知，，设，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．变式1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，当时，在上，菱形中，，，

∴，则是等边三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴当时，在上，∴，综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．变式2．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．C．D．

【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，，，，，，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为．轴，N的横坐标为x，（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，，，，该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，，该段图象为直线；（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，由，可得直线的解析式为，，，，，该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件，故选A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式．考点二：二次函数与不等式、方程1）二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。（3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。2）二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解题型1.二次函数与图象变换（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y=-a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y=-a(x+h)²-k；沿x轴翻折变为：y=-a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y=a(x+h)²+k；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．例1．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数向右平移3个单位，得：；再向上平移1个单位，得：+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴+1即解得：或∵抛物线的对称轴在轴右侧∴＞0∴＜0∴故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．变式1．（2023·湖南岳阳·一模）若将抛物线F：图象位于y轴右侧的部分沿着直线l：翻折，其余部分保持不变，组成新图形H，点为图形H上两点，若，则m的取值范围是（

）A．或B．C．D．或【答案】C【分析】求得的对称轴为，与轴交点为，分当时，即对称轴在轴左侧；当时，即对称轴为轴；当时，即对称轴在轴又侧时进行讨论即可求解．【详解】解：的对称轴为：，与轴交点为：，关于对称轴的对称点为当时，即对称轴在轴左侧，如图：点为图形H上两点，且，则位于直线下方，位于直线上方，则的水平距离大于，，解得：；

当时，即对称轴为轴，如图：点为图形H上两点，恒成立，当时，即对称轴在轴又侧，如图：与轴交点为：，关于对称轴的对称点为点为图形H上两点，且则位于直线下方，位于直线上方，则的水平距离大于，，解得：；综上所述：；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，翻折的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，正确作图分析．变式2．（2023·江苏镇江·中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，．(1)分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围；(2)求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n）；(3)将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．

【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根据直线与y轴交于E，得到，根据点C与点B关于原点对称，求得，得到，设直线的解析式为，将，代入得解方程即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据n与m的关系式为，得到在函数的图象上，由旋转得，，当在点B所在的函数图象上时，解方程得到，根据线段与点B所在的函数图象有公共点，列不等式组即可得到结论．【详解】（1）由直线与y轴交于E，得，∵点C与点B关于原点对称，，∴，由直线与y轴交于点F，得，即，综上所述，，设直线对应的一次函数解析式为，将，代入，得：，解得，∴，同理；由点F在点E上边知:，且，∴，即；

（2）由题意得，，整理得，；（3）∵n与m的关系式为，∴在函数的图象上，由旋转得，，当在点B所在的函数图象上时，，解得，∵线段与点B所在的函数图象有公共点，∴或，由旋转得，且；∵或．∵，∴或．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求得n与m的关系式是解题的关键．题型2.二次函数与零点（图象交点）1.二次函数和线段的交点个数的方法：（1）代数法：①联立二次函数和线段所在直线的表达式，根据根的判别式Δ=b2-4ac求参数；②将线段端点坐标代入二次函数求得参数，并判断参数的取值范围。（2）图象法：运用画草图的方法判断，我们常常会用到数形结合和分类讨论的数学思想。二次函数的图象是抛物线，因此判断函数的增减性时要结合二次函数的对称轴来分析判断。2.已知抛物线与直线(线段)的公共点个数，求抛物线中参数的取值范围。此类问题通常需要根据所画的直线(或线段)结合抛物线大致形状(一般会分开口向上和向下两种情况，找到满足题意的每种临界情况(例如：抛物线分别经过线段的两个端点或与线段相切)，解出每种临界情况下参数的值后,结合图象和参数的意义，最终确定参数的取值范围。例1．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是（填一个值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，即二元一次方程的根为、，由根与系数的关系得：，，一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，，为异号，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．变式1．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：．【答案】m>3【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．变式2．（2023·江苏扬州·二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（

）A．B．或C．或D．【答案】C【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，结合二次函数的图象和性质，即可得出结论．【详解】解：根据题意得，，解得：．分类讨论：①当时，即，∴原方程为，解得：，满足题意；②当时，即时．∴原方程有两个不相等的实数根．∵该二次函数的对称轴为直线，且有且只有一个根在的范围内，∴在平面直角坐标系中画出大致函数图象，如图所示，观察图象可知，当时，方程的两个根分别为，，不满足题意；当时，方程的两个根分别为，，满足题意；当时，方程的两个根都在范围内，不满足题意．综上可知，满足条件的t的范围为或，故选C．【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的关系，解题关键是树立数形结合思想，利用二次函数图象解决一元二次方程根的问题．题型3.二次函数与整点二次函数背景下的整点问题:不仅能考查二次函数的图象与性质，而且还能考查同学们的动手画图能力，推理能力,直观想象能力，同时这类题还渗透了数形结合、从特殊到一般、极限思想，能极好得培养学生的数学核心素养。例1．（22-23九年级上·山东济南·期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】先求出对称轴，再根据，求出，的坐标，可得到，从而得到顶点坐标为，再分两种情况讨论的取值范围即可．【详解】解：，∴抛物线的对称轴为直线，∵，点在点的左侧，∴，∴令，则，∴，∴，即，∴，∴顶点坐标为，∵，∴线段上有3个整点，∵区域内有6个整点，当时，，即；当时，，即，综上所述，的取值范围为或，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是根据二次函数的性质进行分类求解．变式1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，数形结合思想的应用是解决本题的关键．首先将二次函数的表达式化为顶点式，可以直接得到点，，，必在所要求的区域内，然后向外扩充2个“整点”，通过图象经过点，点判断区域内“整点”个数，进而求出的取值范围．【详解】解：由已知可得，函数的顶点是，，点，，，四点必在抛物线在，之间部分与线段所围成的区域（包括边界）内，当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有6个“整点”，当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有8个“整点”，不符合题意，当时，该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”．故选：D．变式2．（2023年湖南省益阳市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．(1)求A点的坐标；(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．

【答案】(1)(2)或；(3)或．【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解；（2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；（3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围．【详解】（1）解：对于直线，当时，，∴A点的坐标为；（2）解：联立直线与抛物线得：，，或，，，点关于轴的对称点为点，，，，，若，则，即，所以，若，则，即，所以，若，则，即，此方程无解．或；（3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，，，，，

格点数恰好是26个，落在轴和直线上的格点数应各为13个，落在轴的格点应满足，即，①若，即，所以线段上的格点应该为，，，，②若，，，所以线段上的格点正好13个，综上，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位．题型4.二次函数与方程、不等式1）一元二次方程ax2＋bx＋c=n的解的几何意义将“=”左边的部分看作抛物线y=ax2＋bx＋c，“=”右边的部分看作水平直线y=n,则方程ax2＋bx＋c=n即在两函数图象的交点横坐标,所以交点横坐标的值就是方程的解。2）ax2＋bx＋c>kx+m的解表示：抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象在直线y=kx+m上方，则交点横坐标的一侧符合题意。3）ax2＋bx＋c<kx+m的解表示：抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象在直线y=kx+m下方，则交点横坐标的一侧符合题意。例1.（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到以下3种方法：方法1

方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集．方法2

不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．方法3

当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系…任务：(1)不等式的解集为_____________；(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；A.分类讨论

B.转化思想

C.特殊到一般

D.数形结合(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．【答案】(1)(2)D(3)图像见解析，不等式的解集为【分析】（1）如图1，作的图像，由方法1可知，不等式的解集为；（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；（3）如图2，作函数与的图像，由图像可得，的解集为，或，进而可得的解集．【详解】（1）解：如图1，作的图像，

由方法1可知，不等式的解集为，故答案为：；（2）解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，故选：D；（3）解：如图2，作函数与的图像，由图像可得，的解集为，或，综上，的解集为．【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．变式1．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于两点，则关于的不等式的解集为．【答案】或【分析】由，得，根据图像找到二次函数在一次函数图像上方的部分对应的x的范围即可．此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键．【详解】由，得，∴，由图可知关于的不等式的解集为：或，∴关于的不等式的解集为：或，故答案为：或．变式2．（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴顶点横坐标为=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵图象的顶点在y轴右侧，∴＞0，∴，∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，∴≤3，解得：，∴a的范围为1＜≤2．【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．专项训练1．（2023·陕西·校考二模）已知抛物线的顶点为A，抛物线与抛物线关于点成中心对称，若抛物线经过点A，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，根据题意求得抛物线的顶点坐标，得出二次函数解析式，把的坐标代入即可解得的值．【详解】解：抛物线，顶点，抛物线与抛物线关于成中心对称，抛物线的开口大小相同，方向相反，顶点为∴的解析式是：，抛物线经过点，，解得，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出抛物线的顶点坐标是解题的关键．2．（2021·江苏镇江·中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：∵2r+l＝6，∴l＝6﹣2r，∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴当r＝时，S侧有最大值．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键．3．（2023·山东济南·二模）如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的解析式为，再根据点P在直线，直接把代入得到点P的纵坐标与a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可.【详解】解：由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，∵原抛物线解析式为，∴平移后的解析式为令时，则，∴当时，，∵，∴当时，，当时，，∴当时，在平移过程中点P的运动路程为，当时，在平移过程中点P的运动路程为，∴整个平移过程中，点P的运动路程为，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．4.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（

）（多选题）A．拋物线的开口向下B．拋物线的对称轴是C．拋物线与轴有两个交点D．当时，关于的一元二次方程有实根【答案】BC【分析】将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．【详解】解：将点代入得：，解得，，抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；方程的根的判别式，∴方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点，选项C正确；由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，∴当时，与没有交点，∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：BC．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．5．（2023·贵州铜仁·三模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过对折点（即右边的对折点），可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值．【详解】解：令，则，解得或2，，平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于时，此时过点，，即．②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点，方程，即有两个相等实根，，即．由①②知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为；故选：D．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分，，三种情况，分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D作于H，，，∵，，∴，∴当时，如图，重叠部分为，此时，，∴，∴，即，∴∴；当时，如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；当时如图，重叠部分为四边形，此时，，∴，∵，∴，∴，即∴，综上，，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．7．（2023·湖南岳阳·一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，①当时，抛物线开口向上，∵时，y随x的增大而减小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②当时，抛物线开口向下，∵时，y随x的增大而减小，∴，即，解得，∴，∵，当时，有最大值，∵，∴此情况不存在．综上所述，最大值为8．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值．8．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解．【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且图像经过，∴，即，∴点在抛物线上，∴，故结论①正确；由结论①正确可得，，且，则∴，则，故结论②正确；∵当，时，∴点离对称轴更近，当时，；当时，；故结论③错误；由得，，∵结论①正确可得，，结论②正确可得，，∴，，∴，整理得，，∵，∴，∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确；综上所述，正确的有，个，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定系数的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．9．（2024·江苏淮安·模拟预测）直线和抛物线在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式的解集是．【答案】或【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集，旨在考查学生的数形结合能力，将不等式转化为对应函数图象的位置关系是解题关键．【详解】由题意得：不等式表示直线在抛物线下方的部分，∵两图象的交点横坐标为：，∴不等式的解集是：或故答案为：或10．（2022·江苏南京·中考真题）已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根据最值公式得到，即可得到，据此写出一组符合条件的a和c的值即可．【详解】解：∵二次函数的最大值为2，∴，∴，故时，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的最值公式是解题的关键．11．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．12．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为．【答案】【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴点P的坐标为(，)，∴PO=，∵，∴当时，有最小值，且最小值为，∴PO的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．13．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是．【答案】①②④【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确对于当时，即该函数的图象一定经过点，结论②正确由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小则结论③错误的顶点坐标为对于二次函数当时，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．14．（2024·江苏连云港·一模）对任意实数x，二次函数满足，则的值是．【答案】9【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用特值法是解本题的关键；由题意可得，可令即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，令，有，∴，∴答案是：9．15．（2024·江苏无锡·一模）当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为．【答案】【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解．【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：．∵，∴抛物线开口向下，又，，时，y取最小值，最小值为：，图象在轴上方，，解得，；故答案为：．16．（23-24九年级·湖北荆州·阶段练习）我们约定：（a，b，c）为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为【答案】（1，0）、（3，0）、（0，3）【分析】根据题意令，将关联数代入函数，则有，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的整交点坐标；令，可得，即得这个函数图象与y轴的整交点的坐标（0，3）．【详解】解：根据题意，令，将关联数代入函数，则有，，∴有两个实数根，且m≠3，由求根公式可得，∴，，∵m为正整数，∴当时符合题意，此时；所以这个函数图象与x轴的整交点的坐标为（3，0），（1，0）；令，可得，即得这个函数图象与y轴的整交点的坐标（0，3）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（3，0）、（0，3）．故答案为：（1，0）、（3，0）、（0，3）．【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，理解“关联数”的定义是解答此题的关键．17．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．将此抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象．①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为6时，求的值；②设点，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，当（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)①；②；【分析】本题考查待定系数法求解析式及二次函数最值、与线段交点问题：（1）将对称轴及点代入求解即可得到答案；（2）①先求出二次函数与轴交点，分点在对称轴左边，对称轴右边两类讨论，根据最高与最低点的距离列式即可得到答案；②根据，，表示出，结合只有一个交点列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交点坐标为，∴，，解得：，，∴；（2）解：①当时，，解得：，，当点在对称轴左边时，即时，∵，∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为点，∵最高与最低点的纵坐标差为6，∴，解得：（不符合题意舍去），；当点在对称轴右边时，即，∵，∴此时最高点为A点，最低点为点，∵最高与最低点的纵坐标差为6，∴，解得：（不符合题意舍去）；综上所述：；②∵，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，∴点D在轴下方，E在顶点下方，且与抛物线交于一点，与抛物线交于一点此时，即，∴，解得：，∴，，，解得：．18．（2024·江苏苏州·一模）如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上．(1)若点的坐标为①求二次函数图像顶点坐标；②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由；(2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围；(3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围．【答案】(1)①②不相交，理由见解析(2)(3)【分析】（1）①将A点坐代入解析式直接求出；②求出点C坐标，代入横坐标，判断函数值是否等于点C的纵坐标即可．（2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题．（3）对应的函数的最小值为，即点P的纵坐标的值为，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果确定m的范围．【详解】（1）解：①把代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为：，∴，∴抛物线的顶点坐标为；②∵正方形的边长为1，且，∴，∴∴点D的坐标为，点C的坐标为当时，，所以，二次函数图像与边不相交；（2）解：如图，∵A点的横坐标为m，正方形边长为1，∴，，，，，∵，解得：，∵，解得：，综上所述，．（3）解：∵对应的函数的最小值为，∴，∴．∴，由图象可知点P不在y轴上，∴，∴由（2）可知，且，解得．【点睛】本题考查了待定