《曲线与方程的概念》学习任务单

《曲线与方程的概念》学习任务单“高中数学人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念”学习任务单【学习内容】高中数学人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念【我的目标】1、理解曲线与方程的概念，知道什么是曲线的方程和方程的曲线。2、能够根据曲线与方程的概念判断点是否在曲线上，以及方程是否为曲线的方程。3、初步掌握由曲线求方程和由方程研究曲线性质的基本思路。【重难点】重点：曲线与方程概念的理解以及两者之间关系的把握。难点：准确判断给定的方程是否是某曲线的方程，给定的曲线是否是某方程的曲线。【我的研究】1、先来看几个简单的例子哦。-我们知道，在平面直角坐标系中，圆心在原点，半径为5的圆。它上面的点到原点的距离都等于5。那这个圆的方程是“x²+y²=25”。那大家想一想，为什么这个方程能表示这个圆呢？圆上的任意一点“(x,y)”都满足这个方程，而且满足这个方程的点“(x,y)”都在这个圆上。这就是曲线（圆）和方程（“x²+y²=25”）之间的一种特殊关系。-再比如，直线“y=2x+1”，这条直线上的每一个点“(x,y)”都满足这个方程，反过来，满足这个方程的点“(x,y)”也都在这条直线上。那我们怎么用准确的语言来描述曲线和方程这种相互对应的关系呢？2、现在我们来深入研究曲线与方程的概念。-对于曲线C和方程“F(x,y)=0”，如果曲线C上的点的坐标都是方程“F(x,y)=0”的解，而且以方程“F(x,y)=0”的解为坐标的点都在曲线C上，那么这个方程“F(x,y)=0”就叫做曲线C的方程，这条曲线C就叫做方程“F(x,y)=0”的曲线。听起来有点绕口，但是大家多读几遍，好好理解一下。-那我们来做个小练习判断一下。有方程“y=√(1-x²)”，曲线是单位圆的上半圆（包括端点）。那这个方程是不是这个曲线的方程呢？我们先看曲线（上半圆）上的点，把它的坐标代入方程，发现都满足方程。但是方程“y=√(1-x²)”的解“(x,y)”，“y”是大于等于0的，这就保证了坐标为“(x,y)”的点都在上半圆上。所以这个方程就是这个曲线（上半圆）的方程。大家明白了吗？3、我们再来探究一下如何根据曲线求方程呢？-假设我们有一条曲线，它是由平面内到两个定点“F₁,F₂”的距离之和等于常数（大于“|F₁F₂|”）的点的轨迹，这就是椭圆啦。那怎么求它的方程呢？我们可以先建立合适的坐标系，设椭圆上任意一点的坐标为“(x,y)”，然后根据椭圆的定义，也就是到两个定点的距离之和等于常数这个条件，列出等式，再经过化简就可以得到椭圆的方程啦。不过这个过程有点复杂，我们后面会详细学习的。这里大家先了解一下这个思路就好。-那如果给了一个方程，怎么研究曲线的性质呢？比如方程“y=x²-2x-3”，我们可以通过配方等方法把它变成“y=(x-1)²-4”的形式，这样我们就可以知道这个曲线（抛物线）的顶点坐标是“(1,-4)”，对称轴是“x=1”等等性质啦。【组内过关】（课内完成）1、判断下列说法是否正确。-方程“x²+y²=1”的曲线是单位圆，单位圆的方程是“x²+y²=1”。（）-曲线C上的点的坐标都满足方程“F(x,y)=0”，则曲线C就是方程“F(x,y)=0”的曲线。（）2、已知曲线C的方程是“y=x²-1”，判断点“(1,0)”和“(0,1)”是否在曲线C上。3、已知方程“|y|=x”，请描述它的曲线的大致形状。【当堂检测】（课内完成）1、方程“x²-y²=0”表示的曲线是（）A.两条相交直线B.两条平行直线C.一个点D.以上都不对2、已知曲线C的方程是“y=sinx”，判断点“(π/2,1)”是否在曲线C上。3、对于方程“y=1/x”，请描述它的曲线的一些性质（比如定义域、值域、单调性等）。答案：【组内过关】1、第一个说法正确，第二个说法错误。2、把点“(1,0)”代入方程“y=x²-1”，左边“0”，右边“1²-1=0”，所以点“(1,0)”在曲线C上；把点“(0,1)”代入方程，左边“1”，右边“0²-1=-1”，所以点“(0,1)”不在曲线C上。3、方程“|y|=x”，当“y≥0”时，方程为“y=x(x≥0)”，这是一条在第一象限的射线（包括原点）；当“y<0”时，方程为“y=-x(x≥0)”，这是一条在第四象限的射线（包括原点），所以它的曲线是两条射线。【当堂检测】1、A。因为“x²-y²=0”可化为“y=x”或“y=-x”，这是两条相交直线。2、把点“(π/2,1)”代入方程“