衍生品定价原理

金融工程简介

随机过程,随机微分,随机积分方程,马科夫过程

多元统计分析

投资组合分析(市场有效性,CAPM,APT)

风险(市场,信用,操作等)衍生品定价金融市场简单介绍金融市场(投资,投机)

外汇市场（AUD/USD,EUR/USD,JPY/USD,GBP/USD,USD/CHF,NZD/USD,CAD/USD等几十种货币，以及交叉货币EUR/AUD,GBP/AUD等）

现货市场

衍生品(期货,期权,其他衍生证券)期货市场：金融期货（指数,国债），商品期货(原油，黄金，农产品等,利率期货，外货期货）期权市场:指数期权，利率期权，外汇期权等其他:Swap(互换),ExoticOptions(奇异,新型),Caps等亚洲市场中国大陆

权证

股票

期货(商品,指数,国债)香港

全面(股指期货,期权,窝轮,人民币等)金融市场每日成交量外汇市场

超过５万亿(最大市场）黄金，股票，期货，期权市场，国内股票最大，是其他市场几十倍我国商品期货成交量全球第一(主力品种每日超百万手)保证金(Margin),孖展,按金帐户

杠杆

通常每一份期权合约赋予购买和出售１整手股票(100股的

权利,所报的期权价格则是买卖１股股票的期权费

商品期货,商品期权

金融期货，期权

沪深300指数期货

横生指数产品

(期货,期权),认沽证也叫窝轮或股本权证(Warrant)属于证券产

品,不能卖空交易术语

市价单(marketorder)

限价单(limitorder)

止损单(stop

lossorder)

多空(买卖buysell,长短longshort,认购认沽)

市场流动性职业前景高收入,高压力(心理)投行GECapital,CitiGroup,MorganStanley,JPMorgan,Goldman

Sachs,MerrillLynch,SalomonBrothers(属于citi)银行(金融市场,外汇等)证券,期货公司自营(财务自由)投资策略价值投资

投机

趋势

摆动

价差

套利交易方式长期短期日内高频阿尔法交易套利(跨期,跨品种,跨市),对时间敏感价差交易投资黄金定律纪律规则概率风险管理(头寸规模)心理投资的态度孙子兵法

合于利而动,不合于利而止

“安国全军”指导思想为最高境界

战争必须以最小代价换取最大利益------

交易必须以最小风险换取最大收益投资交易五大前提道,天,地,将,法

合道:投资是否合乎道理

天时：交易时段，涨跌周期，入市时机，时间架

构（周，

日，时，分）

地利：交易平台，商品特性，行情趋势，行情趋势，入市

价位，停损距离

人和：投资人，经纪人，分析师，交易导师教练，交易

心理五德-----智，信，仁，勇，严

得法：交易计划，交易策略，交易纪律致富方程式投资本金（人赚钱）合理报酬(武功招式）必须长期稳定（内功心法）时间的酝酿(耐心，信心，积功累德）复利的效果（钱赚钱，因变果）致富方程式：

＝本金Ｘ（１＋长期稳定合理报酬)^时间的次方香港交易所例香港交易所例2)股票期貨合約買賣單位等於一手正股股數

號數股票

編號正股名稱HKATS

代號合約買賣單位

(股數)期權類別持倉限額

(合約張數)11長江實業(集團)有限公司CKH1,000150,00022中電控股有限公司CLP500150,00033香港中華煤氣有限公司HKG1,000250,00044九龍倉集團有限公司WHL1,000150,00055匯豐控股有限公司HKB400150,00066電能實業有限公司HEH500150,000711恒生銀行有限公司HSB100250,000812恒基兆業地產有限公司HLD1,000150,000913和記黃埔有限公司HWL1,000150,0001016新鴻基地產發展有限公司SHK1,000150,0002)股票期權的合約買賣單位等於一手正股股數

看跌期权最大值(上限)(图3-7)欧式:期权执行价格的现值

美式:期权的执行价格(由于可以在任意时刻执行)看跌期权最小值(下限)(图3-6)期权价格不能为负,因此,对欧(美)式都有由于美式期权可以在任意时刻执行看跌期权最小值(下限)欧式期权考虑组合

A由一单位标的资产

B由一份价格为的看跌期权空头和一面值为X,现值为的无风险债券组成(或现金)

看跌期权最小值(下限)欧式期权

组合A的收益总部小于组合B的收益,因此

由于价格不能为负,所以看跌期权最小值(下限)两种期权下限比较

由于

所以美式看跌期权最小值大于欧式看跌期权最小值

看跌期权最大最小值(上下限)到期期限的影响欧式,美式都没有时间价值到期日不同到期日( 假设)

在第一份期权到期时,还有时间价值到期期限的影响两份到期日分别为欧式期权股票价格在时刻价格为,在时刻,一份价值为:期限较长的期权还有

时间才能到期,其价格最小值为但长期期权具有较长时间价值,且时间价值可以弥补内在价值的差额,所以无法判断哪种期权价值更大

执行价格的影响假设执行价格考虑1.到期值

2.到期值3.到期值

所以对欧式，美式都成立到期日执行价格的影响对期权费的影响考虑和现金(美式)

和

现金(欧式）

1.到期值

2.到期值 3.到期值 4. 到期值(美式）

5 到期值 (欧式)

所以,在0时刻平价公式(Put-CallParity)(欧式)(2).平价公式(Put-CallParity)(欧式)平价公式(Put-CallParity)(欧式)(2).平价公式(Put-CallParity)(欧式)平价公式(Put-CallParity)(美式)欧式平价公式(Put-CallParity)对美式期权不一定成立其中美式看跌期权提前执行

对于看涨期权，如果不分发红利，可以不必提前执行，此时美式欧式看涨期权价格应当一致.但对看跌期权不同

如果公司面临倒闭,该公司股票价格可能为0,可能提前执行期权

股市分红

分红后股票价格可能会降低,因此执行可能性降低，如果

红利足够大，此时美式看跌期权和欧式看跌期权一样，可

能不会提前执行

利率和股价波动率的影响利率

从下限值公式看出：利率越小，下限值越大，执行价格贴现值越大，利率越高，贴现越小，执行产生利润越低股票波动率

波动率越大，期权获利概率越大，所以期权价格也越高

期权二叉树定价理论(CRR)

二叉树原理(BinominalTreeOptionPricing) Cox-Ross-Rubinstein(CRR)模型

将期权的有效期分为很多很小的时间间隔(例如1天),并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能: 1.从开始的S上升到原来的u倍，价格为uS 2.从开始的S下降到原来的d倍，价格为dS

相应地，期权价格也会有所不同，我们考虑看涨欧式期权,

现在假设期权还有一天到期,在到期日

期权到期时价格为和期权二叉树定价理论(CRR)

例子：假设股票即期价格为50美元，股票价格可能上涨10%或下降8%,因此u=1+0.1=1.1,d=1-0.08=0.92.期权到期时，股票价格为50*1.1=55或50*0.92=46.一个执行价格为X的以股票为标的资产的欧式看涨期权即期价格为C.当期权到期时，期权的价格为或在到期日，

期权二叉树定价理论(CRR)

假设无风险利率为.无风险利率应该小于股票上涨率，大于股票下跌率，即。此不等式限制了套利交易.(为什么?)如或会有什么样的套利机会？假设以相同无风险利率借入或贷出资金.

我们考虑一组合，包括h股股票和一份看涨期权的卖出权组成，用V表示组合的价值,则在0时刻：

期权到期时，如果股票上涨，组合价值为

如果股票下跌，组合价值为

如果股票上涨组合的价值等于股票下跌组合的价值，称该组合为无风险投资组合期权二叉树定价理论(CRR)

在时刻1，有：

如果为无风险投资组合，则,即

得出：

称h为套期保值比率(hedgeratio)又称,该组合为套期保值组合。期权二叉树定价理论(CRR)

已知S,u,d,X,我们可以求出,和h.

因为无风险头资应获得无风险利润，所以组合最终价值应该等于组合现值在相应时间内投资于无风险资产后的价值。如果两者不等，说明存在套利机会(为什么?)。

到期日，应该有：

将代入上式(推导）,

得：其中期权二叉树定价理论(CRR)

上式中不涉及股票上涨，下跌的概率。P为风险中性

概率(riskneutralprobability)。

举例：

股票即期价格为100美元，一期过后，股票或以25%的上涨率升至125美元，或以20%的下跌率降至80美元。看涨期权执行价格为100美元，无风险利率为7%.计算

S=100,d=0.8,u=1.25,X=100,r=0.07

期权二叉树定价理论(CRR)

利用求出的h值构造一套期保值组合，并计算

假设组合由1000份看涨期权组成. uS=125 S=100 dS=80

期权二叉树定价理论(CRR)

高价期权

如果期权定价过高(例如15),无风险套期保值组合将带来超过无风险利率的无风险收益.投资者可以以无风险利率借入资金投入套期组合获得更高收益(看现金流)

低价期权

如果期权定价过低(例如13),投资者可以构造期权的多头和股票空头.组合收益小于无风险利率,可以将借来投资的资金投资无风险债券(看现金流)

期权二叉树定价理论(CRR)

二叉树模型中风险溢价及上升下跌概率

模型不需要股票价格波动概率

如果知道波动概率会如何?

假设：S=100,u=1.25,d=0.8,r=0.07.

上升概率为0.7,下降概率为0.3.

股票预测价格为:125*0.7+80*0.3=111.5. 11.5即11.5%为股票投资回报率,

11.5%-7%=4.5%为投

资股票的风险溢价

我们计算预测期权价格：0.7*25+0.3*0=17.5,

期权折现值：17.5/1.115=15.7

这样原先价格为14.02的期权，我们可以用15.7价格卖出期权二叉树定价理论(CRR)

二叉树模型中风险溢价及上升下跌概率

期权的汇报率为:17.5/14.02-1=0.248

接近于股票的两倍.

无风险组合收益率公式：

股票回报率：看涨期权回报率:

其中,期权二叉树定价理论(CRR)

套期保值组合初始价值为hS-C以无风险利率增长，在时刻1时价值为:

将,代入上式得：

由于我们知道上升下降的概率，假设上升概率为q

则期权的期望收益为:

将代入后得：期权二叉树定价理论(CRR)

两期二叉树:

将时期扩展为两期,时刻0，时刻1，和时刻2(到期日)

期权二叉树定价理论(CRR)

两期二叉树

到期日(时刻2),期权的价格为:

第一期末(时刻1),期权的价格为:

在时刻0,期权的理论价格为:期权二叉树定价理论(CRR)

两期期权套期保值比率

每一期，上下，比率都在变化,随着股票价格的变化调整组合头寸规模以实现无风险利率期权二叉树定价理论(CRR)

两期二叉树举例:

到期日期权价格：时刻1期权价格:期权价格：(看出长期期权价格通常大于相同条件下短期价格）期权二叉树定价理论(CRR)

套期保值组合举例:

假设由1000份看涨期权空头，0时刻

需要以100美元价格购买701股股票.0时刻净投资为:

V=100*701-1000*17.69=52,410

下面分步讨论(假设期权为欧式)：(1).股票上涨至125,(2).股票下跌至80,(3).从125上涨至156.25(4).从125跌至100,(5).从80涨至100，(6).从80跌至64

期权二叉树定价理论(CRR)

套期保值组合举例:

期权二叉树定价理论(CRR)

(1).股票上涨至125,

投资组合由52410到56085,由于，需要买入299股股票或买入299份期权，由于期权成本低，所以需要借入299*31.54=9430美元完成组合.

(2).股票下跌至80,

组合净值由52410到56080,由于,我们不需要再持有股票，需要卖出所有701股股票，得到701*80=56080美元，然后投资于无风险债券.

(3).从125上涨至156.25

价格为156.25股票701股，价值为56.25的看涨期权701份,还有前期借来的 9430*1.07美元需要偿还，净值为701*156.25-701*56.25-9430*1.07=60010(4).从125跌至100,

资产净值为701*100-701*0-9430*1.07=60010(5).从80涨至100，

资产净值为0*100-701*0+56080*1.07=60006

(6).从80跌至64

同上

期权二叉树定价理论(CRR)---补充衍生品定价的几种方法

1.博弈论方法(一般公式):

构造组合初始值:

上升时:

下降时:

令

得:因为该投资组合无风险:(I)

期权二叉树定价理论(CRR)---补充衍生品定价的几种方法

2.资产组合复制:

引入利率为r的无风险资产(比如债券),

假设债券初始值为1美元.

构造组合:a单位股票和b单位债券

组合初始值:

上升时:

下降时:

令

得:期权二叉树定价理论(CRR)---补充

将代入令,则 (II)3.概率方法(前面已经讲过)期权二叉树定价理论(CRR)

期权价格偏离(假设0时刻期权价格过高)

两期模型的整体收益率为，因此如果两期中有一期

收益率超过无风险利率，则总收益也超过无风险利率.考虑1期末2期开始期权价格的状态(2期末必定回归理论价值）(1).价格依旧高于理论价格

第一期收益率不能确定，但第二期会超过无风险利率(通过卖出期权)

二期末期权价格应为理论价值,总体收益超过无风险利率(2).价格等于理论价格

第一期收益率超过无风险利率，第二期等于无风险利率，总体超过

无风险利率(3).价格低于理论价格

第一期收益率超过无风险利率，第一期末重新构造组合，买入期权卖出股票，将得到超过无风险利率的收益，整体还是超过无风险利率期权二叉树定价理论(CRR)

看跌期权定价

套期保值组合举例:

期权二叉树定价理论(CRR)

(1).股票上涨至125,

由于,卖出所有股票,然后投入到无风险债券(2).股票下跌至80,

由于,我们需要借入现金再购买701股价格为80美元的股票，相当于701*80=56080美元利率为7%的贷款(3).从125上涨至156.25

只有7%无风险债券收益(4).从125跌至100,

同上(5).从80涨至100，

图示,收益率为无风险收益,1000*100-1000*80-1000*13.46=6540

收益为6540/93460=7%

(6).从80跌至64

初始资金299*80+1000*13.46=37380,

收益(39994-37380)/37380=2614/39994=7%期权二叉树定价理论(CRR)

美式期权提前执行

在每个结点,如果期权处于实值状态,可以考虑提前执行该看跌期权.考虑前面的例子:在时刻1,当价格升到125时,期权处于虚值状态,我们不会考虑提前执行.当价格下降到80时:

根据前面的计算,欧式看跌期权价值为13.46,且期权处于实值状态.能否执行该期权,我们还要看,

如果X-S>P,则不需执行,否则可以执行.即如果

则选择执行期权.该结点相应的期权价格应为X-S.

期权二叉树定价理论(CRR)

美式看跌期权提前执行

套期保值组合举例:

作业:构造美式看跌期权套期保值组合期权二叉树定价理论(CRR)

红利的影响

将红利加入模型,如果红利,除息后股票将下降.

如果除息前看涨期权内在价值大于二叉树模型算出的价格,应当执行期权.举例: 看涨期权,红利10%,0时刻股票价格为100,股票在1时刻涨到 125或跌倒80,1时刻分红.分红后股价跌至112.5或72.则

在时刻2,股票价格将为: 112.5*1.25=140.625, 112.5*0.8=90=72*1.25 72*0.8=57.6如果时刻2为到期日,则到期日看涨期权的价格:

期权二叉树定价理论(CRR)

红利的影响

此时,期权价格小于不分红利的期权价格17.69.如果期权是美式的又会如何?期权二叉树定价理论(CRR)

红利对美式期权的影响

在时刻1,股票价格涨到125,期权处于实值且内在价值为25>22.78,所以可以提前执行,此时也可以先将股价减去红利贴现值作为,在时刻1收益为(练习)

注:此种方法和上面的结果有些偏差(P91-P92).因为n太小.对欧式期权偏差要小些期权二叉树定价理论(CRR)

重合与不重合二叉树

如果红利是12,不是12.5会怎样?

期权二叉树定价理论(CRR)

重合与不重合二叉树

上升下降后结点重合称为结点重合二叉树,否则称为结点不重合二叉树

对于n期重合二叉树最终又n+1个结点,不重合二叉树第n期最多有个结点,因为会产生种不同的路径.

期权二叉树定价理论(CRR)

n期二叉树

在不分发红利的前提下,假设ud=1(保证结点重合),期权价格为:(演示)注意:股票上升下降概率值不是二叉树的变量.风险中性

概率p是以无风险利率计算得来的

举例:

n=3,股票路径为:

期权二叉树定价理论(CRR)

举例:

n=3,

X=100,美式看跌期权

期权二叉树定价理论(CRR)

n期二叉树

将股票波动率(标准差)考虑在内:

如果将T分成n份,则每小时间段无风险利率为:

例如:看涨期权执行价格为125,股票价格为125.94,期权还有35天到期,无风险利率为4.56%则:

期权二叉树定价理论(CRR)

n期二叉树

当n增大时,

C值逐渐收敛真实值期权二叉树定价理论(CRR)

n期二叉树

调整上涨下跌参数,不调整无风险利率计算方法,

随着n的增大,

p趋于0.5,ud趋于1,且不要求ud=1,但计算结果接近.

二叉树的优点:与股票走势概率无关,轻松应对美式期权定价,构造套期保值组合期权定价理论(Black-Scholes模型)

背景: 19世纪苏格兰科学家布朗发现花粉在水中运动---布朗运动

20世纪早期,爱因斯坦研究相对论运用布朗运动原理解释分子运动

奠基理论:维纳过程(WienerProcess),伊藤引理(Ito’