湖南明德中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

湖南明德中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A.-3 B.-2C. D.13．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B.C. D.4．已知数列满足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1045．若直线与双曲线相交，则的取值范围是A. B.C. D.6．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.47．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.8．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A. B.C. D.9．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A.336 B.467C.483 D.60110．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线D.在C上存在点M，使得11．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（）A. B.C. D.12．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A.20 B.30C.40 D.50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.14．椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________15．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.16．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：，点，过点的直线l与抛物线交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，（1）求抛物线的标准方程；（2）若点A在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值19．（12分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求该椭圆的方程；（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.20．（12分）已知椭圆上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程21．（12分）如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面22．（10分）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）设为的导数，若方程的两根为，且，当时，不等式对任意的恒成立，求正实数的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设，得到，利用椭圆的范围求解.【详解】解：设，则，，，因为，所以，即，故选：B2、B【解析】先画出可行域，由，作出直线向下平移过点A时，取得最小值，然后求出点A的坐标，代入目标函数中可求得答案【详解】由题可得其可行域为如图，l：，当经过点A时，取到最小值，由，得，即，所以的最小值为故选：B3、C【解析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4、D【解析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为，所以有，因此数列是公比的等比数列，因为，所以，故选：D5、C【解析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当，即时，，解之得.故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.7、D【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，故选：D8、D【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.9、B【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.【详解】根据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满足，，所以该数列的第31项为.故选：B10、C【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假【详解】对A，由可得，化简得，即，A错误；对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；对C，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误故选：C11、B【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；时，不满足选项A；时，，且，所以不满足选项CD；故选：B12、B【解析】由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于1，确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：14、2x＋4y－3＝0【解析】设弦端点为，又A，B在椭圆上，、即直线AB的斜率为直线AB的方程为，.15、1560【解析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，则不同的分配方案有(种).（2）若4个组的人数为2,2,1,1，则不同的分配方案有(种).故所有分组方法共有20＋45＝65(种).再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有(种).故答案为：156016、【解析】由空间直角坐标系中点到轴的距离为计算可得【详解】解：空间直角坐标系中，点到轴的距离为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.【小问1详解】抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设直线的方程为，，，由，得.因为，故所以.由题设知，解得或，因此直线方程为或.18、（1）.（2）8.【解析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.（2）设直线AB为，代入联立得关于的一元二次方程，运用韦达定理，得到关于的函数关系，再求函数最值.【小问1详解】当l与抛物线的对称轴垂直时，，，则代入抛物线方程得，所以抛物线方程是【小问2详解】设点，，直线AB方程为，联立抛物线整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，则，即，∴，可得，又O到AB的距离，∴，而，∴，，当，，单调递减；，，单调递增；∴的最小值为,此时，.19、（1）;（2）证明见解析.【解析】（1）根据焦点坐标及椭圆上的点，利用椭圆的定义求出a，再由关系求b，即可得解；（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用斜率公式计算出，根据等差中项计算，即可证明成等差数列.【小问1详解】∵椭圆的焦距，椭圆的两焦点坐标分别为，又点在椭圆上，，即.该椭圆方程为.【小问2详解】设.当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.不妨取，则，成等差数列.当直线l的斜率不为0时，设其方程为，由，消去x得.即，成等差数列，综上可得，，成等差数列.20、（1）（2）【解析】（1）根据题意，可知，可得，再根据椭圆的性质可得，由此即可求出离心率；（2）将直线与椭圆方程联立，由韦达定理得到，，再根据弦长公式，建立方程，即可求出的值，进而求出椭圆方程.【小问1详解】解：由题意可知，椭圆上顶点坐标为，左右顶点的坐标分别为、，∴，即，则又，∴，所以椭圆的离心率；【小问2详解】解：设，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，满足，∴，∴椭圆C的方程为21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.【小问1详解】在直三棱柱中，，且四边形平行四边形，又，则为的中点，又为的中点，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小问2详解】在直三棱柱中，平面，平面，则，且，，平面，故平面，因为平面，所以，又在平行四边形中，，则四边形菱形，所以，且，平面，故平面，因为平面，所以平面平面.22、（1）（2）1【解析】（1）先求导数