第7章-几何建模

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿1第7章几何建模

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿2三维建模技术是整个虚拟现实系统建立的基础，是所有应用中的一个关键的步骤和技术，是整个虚拟现实技术的灵魂。它的研究有助于提高虚拟环境的真实感、实时交互的速度和实际交互的可操作程度，使用户真正地“身临其境”。因为人所感受到的大部分信息是通过视觉获取的，而且在真实的世界里，人感受到的是三维信息。所以三维建模技术在虚拟现实技术中就处于非常核心和基础的地位，是虚拟现实技术所必须的，是虚拟现实技术的底层。而且虚拟现实世界是人可参与并与之交互的世界。模型准确度的高低，模拟场景的真实与否，往往直接关系到应用实例的成败。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿3虚拟现实建模基本内容

虚拟现实中的三维建模分为数据建模和过程建模。过程建模包括连续建模和离散建模。数据建模包括分形建模、图像建模、图形建模、几何建模、混合建模等。虚拟环境的建模是整个VR系统建立的基础，主要包括三维视觉建模和三维听觉建模。其中三维视觉建模主要包括：几何建模、物理建模、运动建模、行为建模。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿4几何建模虚拟环境中的几何建模是物体几何信息的表示，涉及表示几何信息的数据结构、相关的构造与操纵该数据结构的算法。虚拟环境中的每个物体包含形状和外观两个方面。物体的形状由构造物体的各个多边形、三角形和顶点等来确定，物体的外观则由表面纹理、颜色、光照系数等来确定。对虚拟对象模型的要求（交互显示能力、交互式操纵能力和易于构造的能力）。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿5几何建模几何建模可以进一步划分为层次建模法和属主建模法。（1）层次建模法：利用树形结构来表示物体的各个组成部分。例如：手臂可以描述成有肩关节、大臂、肘关节、小臂、腕关节、手掌、手指等构成的层次结构，而各手指又可以进一步细分为大拇指、食指、中指、无名指和小拇指。在层次建模中，较高层次构件的运动势必改变较低层次构件的空间位置（2）属主建模法：让同一种对象拥有同一个属主，属主包含了该类对象的详细结构。当要建立某个属主的一个实例时，只要复制指向属主的指针即可。每一个对象实例是一个独立的节点，拥有自己独立的方位变换矩阵。以木椅建模为例，木椅的四条凳腿有相同的结构，我们可以建立一个凳腿属主，每次需要凳腿实例时，只要创建一个指向凳腿属主的指针即可。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿6几何建模用于CAD/CAM系统中。

在CAD/CAM整个过程中，要涉及产品几何形状的描述、结构分析、工艺设计、加工、仿真等方面的技术，其中几何形状的定义与描述是关键，它为结构分析、工艺规程生成、加工制造提供基本数据（PDM贯穿始终），后续的数据都是由它衍生而来。

不同应用领域或部门，对物体的几何形状定义与描述的要求不同。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿7有的只需2D图形。特点是：描述简单、传递快速、节省空间。但阅读时，用户需“翻译”转换成3D实体，提高了对用户的要求。仅有2D的CAD系统是不够的，需要能够处理3D实体的CAD系统。

实际设计构形时，思维中先有真实的几何形状/实物模型，再用视图形式表达设计结果。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿8几何建模——以计算机能够表示的方式，对实体进行准确定义（即以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述），在计算机内部构造出实体的几何模型。几何模型

整数维模型

分数维模型

正则体模型

非正则体模型

以欧氏几何方程表示的模型——用分形几何方法描述对象几何特性，以过程式模拟对象的模型《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿9表示形体的两大模型《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿10物理建模物理建模指的是虚拟对象的质量、重量、惯性、表面纹理（光滑或粗糙）、硬度、变性模式（弹性或可塑性）等特征的建模，这些特征与几何建模和行为规则结合起来，形成更真实的虚拟物理模型。物理建模是虚拟现实系统中比较高层次的建模，它需要物理学与计算机图形学配合，涉及到力的反馈问题，主要是重量建模、表面变形和软硬度等物理属性的表现。分形技术和粒子系统就是典型的物理建模方法。分形技术在虚拟现实中一般仅用于静态远景的建模；在虚拟现实系统中粒子系统用于动态的、运动的物体建模，如常用于描述火焰、水流、雨雪、旋风、喷泉等现象。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿11运动建模在虚拟环境中，仅仅建立静态的三维几何体还是不够的，物体的特性还涉及到位置改变、碰撞、捕获、缩放、表面变形等等。这也是虚拟环境难以处理的问题之一。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿12行为建模行为建模就是在创建模型的同时，不仅赋予模型外形、质感等表观特征，同时也赋予模型物理属性和与生俱来的行为与反应能力，并且服从一定的客观规律。换言之，就是要使死的模型变成活的角色。例如：桌面上的重物移出桌面，重物不应悬浮在空中，而应当做自由落体运动。因为重物不仅具有一定的外形，而且还具有一定的质量并且受到地心引力的作用。又如：创建一个人体模型后，模型不仅应具有人体的表观特征，而且还应具有在虚拟视景中呼吸、行走、奔跑等行为能力，甚至可以做出表情反应。也就是说，模型应该具有自主性。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿13虚拟现实建模特点虚拟现实系统强调沉浸感、逼真性，即要求有高的真实感；强调自然的交互方式，又要满足实时性基础上的交互性要求。总而言之就是：在具有真实感的环境中，产生沉浸感，并且可以满足实时性和交互性的要求。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿14VR建模与动画建模区别《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿15VR建模的主要技术指标

精确度

衡量模型表示现实物体精确度的指标。显示速度许多应用对显示时间有较大的限制。操纵效率模型的显示、运动模型的行为、冲突检测等都是频度很高的操作必须高效实现。易用性建模技术应尽可能容易的构造和开发一个好的模型。广泛性是指它所能表示的物体的范围。物体的几何建模、物理建模和行为建模。实时显示在虚拟环境中，模型的显示必须在某个极限帧率以上。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿16VR建模流程

三维场景构建的主要步骤为：前期准备：数据采集和预处理（确定场景和模型的结构，并进行优化）；场景构建：自然景观、环境景观、三维实体等模型的构建；后期工作：模型的集成优化、场景的集成优化、场景的调度管理等。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿17规则模型虚拟现实场景系统中包括三大类模型：规则模型和不规则模型。规则物体的生成是传统的计算机图形学研究的主要内容，其技术基础是几何造型，即通过对点、线、面、体等几何元素，经过平移、旋转、变化等几何变换以及并、交、差等几何运算，产生实际的或想象的物体模型。借助几何造型获取对象的精确描述，辅之以相关的光源模型、光照模型、材质模型、真实感图形算法，可以生成真实感很强的图形。不规则模型是指具有不规则几何外形的物体，如地形地貌、树木、草丛等。相对于规则物体而言，不规则模型的显著特点是其表面包含有丰富的细节和随机变化的形状，他们很难用传统的解析曲面来描述。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿18不规则物体的建模方法目前不规则模型的模拟方法主要有如下几类：（1）基于分形迭代的算法。利用整体与局部的自相似特性，构造一种递归模式，通过无限细分来刻画景象表面的丰富细节。（2）基于动态随机生长的算法。利用控制大量的微小粒子的动态特性的方法，描述模糊景物的动态性和随机性。该算法中最典型的是粒子系统模型。（3）基于语法规则的算法。该类算法模型的核心概念是“重写”，即根据预先定义的重写规则不断地生成复合形状并用它来取代初始简单物体的某些部分以定义复杂物体。最成功的基于语法规则的算法模型是L-系统模型。（4）基于迭代函数的算法。根据几何对象的全貌与局部在仿射变换意义下具有相似结构这一特点，在几何对象的整体被定义之后，选定若干仿射变换，将整体变换到局部。随着迭代次数的增加，造型越来越精细，直到满意的图形。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿19粒子系统的模拟在虚拟系统的场景中有许多除了建筑物、人体、车辆等规则模型和象地形、海岸线、山峰、树木等不规则以外的例如烟、云、火焰、水等这样的模糊景物。而模拟这些模糊景物的常用办法就是粒子系统模型。利用粒子系统方法描述自然景物，首先应对所要描述的对象特性进行分析，包括对象的静态特性，动态特性等；其次是对粒子系统进行绘制。具体步骤如下：（1）在系统中产生新的粒子；（2）赋予每个粒子一定的静态属性和动态属性；（3）删除在系统中已经存在的但超过生命周期的粒子；（4）根据剩余粒子的动态属性对粒子进行移动和变换；（5）显示具有生命的粒子所组成的图形。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿207.1几何模型基础

一、表示形体的坐标系

造型坐标系MC（ModelingCoordinateSystem）右手直角坐标系。对于定义的每个形体或图素都有各自的坐标原点和长度单位，这样可以方便形体和图素的定义。是局部坐标系。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿21坐标系造型坐标系用户坐标系观察坐标系规范设备坐标系设备坐标系直角坐标系仿射坐标系圆柱坐标系球坐标系极坐标系《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿22二、几何元素的定义

1.点

点是0维几何元素,如:端点、交点、切点和孤立点等。1）控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿232）型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点。3）插值点：为了提供曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入一系列的点。

边是1维几何元素,由端点定界，是邻面交界线，具有方向。2.边

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿24是2维几何元素,是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。面有方向，用其外法矢方向作为该面的正向。3.面

4.环

是有序、有向边组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。确定面的外界的环称为外环，逆时针方向排序。而把确定面中内孔边界的环称为内环，顺时针方向排序。左侧总在面内，右侧总在面外。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿253维几何元素，由封闭表面围成的空间。其边界是有限面的并集。5.实体的定义

抽象带来的问题：计算机中表示的物体有时是无效的，不能够客观存在，不能为CAD/CAM系统所用。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿26什么是客观存在（有效）的实体？具有一定的形状具有封闭的边界（表面)内部连通占据有限的空间经过运算后，仍然是有效的物体即，有效的实体不能有游离的、悬挂的面、边、点。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿277.2

图形数据结构计算机所描述的形体包含两种信息（图形信息、非图形信息），如何将它们合理地组织起来？这就是数据结构问题。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿28研究相关数据的逻辑结构和物理结构及其相互关系；表达数据间一种结构联系。

一、数据结构概念数据的逻辑结构数据项所建立的真实存在的逻辑结构关系，与存储介质无关。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿29数据的物理结构数据结构在机内的表示，也称存储结构。它是数据结构在机内的映像。映像方法不同，则对应的存储结构也不同：

顺序映像：顺序存储结构非顺序映像：链表存储结构、块链存储结构

数据域指针域数据项:《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿30二、几何模型数据结构

目的：节省存储空间，提高存储和处理速度，所以要有效组织。

基本要求：(1)可描述几何/拓扑/特性信息(2)便于动态操作(增删、修改等)(3)时空要求常用的有数组、链表、树、翼边结构等《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿311.单链三表结构

单链用于表达模型几何元素（面、边、点）单向连接关系，是单向查询。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿32双链用于表达模型几何元素（体、面、点）双向连接关系，可双向查询。

2.双链三表结构《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿33记录以边为核心的一组邻接信息，描述一条边与其相邻的两个顶点、四条邻边、两个邻面拓扑信息，方便查找各元素间的邻接关系。如遍历面上所有边、所有面。

3.翼边数据结构存储：边与顶点、边与面、边与边邻接关系。

运算：边与边求交、边与面求交、删除旧边、增加新边、生成新面环等。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿347.3形体的数据模型

一、线框模型

由一组顶点和边（直边、曲边）构成表示对象的三维几何模型。线框模型就是使用该物体的棱边来表示其形体特征。物体的线模型中有顶点信息和边的信息。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿35E1E2E3E4E5E6V1V2V3V4V1V2V3V4V5V6E1E2E3E4V7V8E5E6E7E8特征：《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿36数据结构：两表结构顶点表：几何信息（顶点号Vi（xi,yi,zi））

边表：拓扑信息（边号Ei

——端点号VjVJ+1）四面体的线模型数据结构表边顶点边顶点E1(V1,V2）V1（x1,y1,z1)E2(V1,V4)V2(x2,y2,z2)E3(V1V3)V3(x3,y3,z3)E4(V2,V3)V4(x4,y4,z4)E5(V2,V4)《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿37特点：所需信息量小、运算简单、存储空间较小；

不足：①平面形体因轮廓线与棱线一致，能清楚地反映物体真实形状，对于曲面体则不能准确描述。如圆柱面的轮廓线，需添加母线，圆柱顶面、底面轮廓线则除了圆弧的两端点外，还需圆心位置、弧走向等）

②只存储离散的边，无边与边的关系（即没有面的信息），以致信息表达不完整，使物体形状产生多义性，难以确定真实形状。不能自动消隐，给物体的几何特性、物理特性计算带来困难，如不能计算体积。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿38作用：①在表示物体的形状、位置、方位时；

②在打样、构思时便于草图表示：用线条勾划形体的基本轮廓，待逐步细化。

③作为表面模型/实体模型系统友好用户界面的手段：

输入简单，进一步构造、转换成表面实体模型。

输出直观：产生二维视图的工程图样。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿39二、表面模型

由一组顶点、边和面构成的三维几何模型。是在线框模型基础上增加面的信息，相当于在灯笼骨架外蒙上一张外皮。

数据结构：三表结构顶点表——边表——面表Vi(xi,yi,zi)Ei(Vj,VJ+1)Fi(Ej,EK,El,…,En)拓扑信息几何信息《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿40特征：《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿41六面体的面模型数据结构表V1V2V3V4V5V6E1E2E3E4V7V8E5E6E7E8《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿42构造方法

1）整体构造法（模线法）使用张量积的参数样条曲面/Coons曲面/Bezier曲面/B-Spline曲面等构造方法。

张量积曲面输入n

m个型值点，分布在规则的矩形参数域上。

uwm点n个切面《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿43例如：（1）机身主体和座舱罩两部分，采用两张张量积曲面构成。

（2）形状复杂的曲面：方法：

（1）定义脊椎线（2）截面上定义轮廓线（截面在局部坐标系中反映真实轮廓外形）《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿44轮廓线脊椎线《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿452）离散构造法

该方法构造的物体表面基本上是由平面、圆柱面、球面和过渡圆角组成。从线框模型着手，先交互绘制各个面的轮廓线，再在封闭的内外轮廓线间填补平面或规则曲面。

P1P3P2C1C2C3S平面P1、P2、P3的骨架均为直线段柱面C1、C2、C3的骨架为圆弧、直线段球面S的骨架为三圆弧段《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿46若遇到线框骨架是由解析曲线（圆锥曲线）与自由曲线共同构成的，则蒙上曲面将变得困难。

方法：用三次参数样条分段逼近各条边界曲线，后用统一的方法构造参数曲面片。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿47特点：

①具有更多的几何信息、拓扑信息，故能比较完整地定义三维立体的表面，且表面更复杂。

②可实现自动消隐线、生成明暗图、计算表面积，产生表面数控加工走刀轨迹、生成有限之分析中的网格划分。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿48不足：描述的仅是实体外表面，无法表示其内部结构，难以确定物体的立体属性。例如：是一个实心物体？还是一个壳体？所以给物体的质量特性分析带来问题。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿49三、实体模型

由一组顶点、边、表面和体积构成的三维几何模型。是对对象的边界和内部均作定义的模型。

其表面完全封闭、且有向。（面模型的面可以不封闭，面的上、下表面都可以有效）

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿50实体模型构造的基本思想：

将形状规则、简单的几何体，通过集合运算组成所需要的复杂体。

特点：将空间点分为在对象内、外、边界上。故，实体模型所包含的信息更完整。可计算几何特性。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿517.4实体的表示

一、基本体素引用法

（PurePrimitiveInstancing）基本体素：可通过函数或参数描述的形体方式：比例变换引用参数指定引用缺点：难于构造复杂形体《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿52二、空间位置枚举法

（SpatialOccupancyEnumeration）原理：用占有等分单位立方体的情况表示形体。占有形式：full，partial，empty《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿53用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应

当C[I][j][k]=1时，表示对应的小立方体被物体占据当C[I][j][k]=0时，表示对应的小立方体没有被物体占据《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿54缺点：占用大量的存储空间，如1024*1024*1024=1Gbits；没有边界信息，不适于图形显示；对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换；是物体的非精确表示；唯一性不好，易改变拓扑关系。优点：

可以表示任何物体；容易实现物体间的集合运算；容易计算物体的整体性质，如体积等。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿55三、四叉树和八叉树表示法空间位置枚举法的改进逐步均分时遇全空或全满单元不再分用层次式结构代替规则排列的单元阵列数据量小《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿56八叉树表示

对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：均匀分割自适应分割

八叉树建立过程八叉树的根节点对应整个物体空间；如果它完全被物体占据，将该节点标记为F，算法结束；如果它内部没有物体，将该节点标记为E，算法结束；如果它被物体部分占据，将该节点标记为P，并将它分割成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿57《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿58优点：可以表示任何物体容易实现物体建的集合运算容易计算物体的整体性质，如体积等较空间位置枚举表示占用的存贮空间少缺点：没有边界信息，不适于图形显示对物体进行几何变换困难是物体的非精确表示《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿59四、单元分解法

CellularDecomposition

对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：单一体素多种体素原理：复杂形体分解成一些简单形体的组合

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿60优点：表示简单容易实现几何变换基本体素可以按需选择，表示范围较广可以精确表示物体缺点：分解方法不唯一，故表示方法不唯一物体的有效性难以保证《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿61三种空间分割方法的比较：空间位置枚举表示——同样大小立方体粘合在一起表示物体八叉树表示——不同大小的立方体粘合在一起表示物体单元分解表示——多种体素粘合在一起表示物体《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿62五、扫描表示法

Sweeping将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体。两种基本类型：平行扫描旋转扫描《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿633）在旋转或平移时作线性或非线性比例变换。4）旋转扫描时，旋转轴本身位置和方向作变化。复杂情况：1）某一区域沿一曲线移动，如一圆盘的中心沿一指定的曲线移动，移动时其法线方向始终与曲线的切线方向一致。2）某一区域绕一轴旋转的同时作平行于旋转轴方向的平移，或垂直于旋转轴方向的平移。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿64

平移sweep——将一个二维区域沿着一个矢量方向推移《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿65旋转sweep——将一个二维区域绕旋转轴旋转一周《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿66《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿67广义sweep

任意物体沿着任意轨迹推移

推移过程中物体可以变形《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿68优点：表示简单、直观适合做图形输入手段缺点作几何变换困难对几何运算不封闭《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿69六、结构实体几何法

ConstructiveSolidGeometry-CSG原理：基本体素经布尔操作获得复杂形体操作：交、并、差基本体素定义：参数法《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿70将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树U-U-T1T2T3T4《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿71叶节点——基本体素，如立方体、圆柱体等中间节点——正则集合运算《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿72《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿73优点：表示简单、直观是物体的构造方法，可用作图形输入手段容易计算物体的整体性质物体的有效性自动得到保证缺点：表示不唯一不能直接用于显示求交计算麻烦《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿74七、边界表示法

BoundaryRepresentation一个实体通过它的曲面片或平面多边形的集合来表示。平面多边形、曲面片称为物体边界一个实体的边界表示必须满足一定的条件：定义一个实体的边界的面片的个数有限任意一个面片都是它的边界的子集。所有面片的并集定义该实体的边界一个面片是它的扩展曲面或平面的一部分。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿75《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿76《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿77欧拉公式：V-e+f=2欧拉公式是必要条件《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿78广义欧拉公式：V-e+f-r=2(s-h)r:多面体表面上孔的个数s:相互分离的多面体数h:贯穿多面体的孔洞个数《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿79

优点：精确表示物体表示能力强几何变换容易适于显示处理

缺点：表示复杂有效性难以保证集合运算复杂《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿80八、特征造型

FeatureModeling实体模型虽描述了物体几何信息与拓扑信息，但明显缺乏工程含义，无法提取和识别工程信息。

对于一个产品，设计人员不仅关心其结构形状、公称尺寸，还关心其公差、表面粗糙度、材料性能、技术要求等非几何信息，它们也是加工零件所需信息的组成部分。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿81但这些却在实体造型中不能充分描述，影响CAPP、CAM系统直接使用CAD系统生成的产品信息，无法实现CAD/CAM的集成。后续系统需要重新输入产品设计信息。

特征造型方法：面向整个产品设计过程和生产制造过程，不仅包含与生产有关的信息，而且还能描述这些信息之间的关系。

通常，建立在实体造型基础上，在已有几何信息上附加，如“形位公差、表面粗糙度、材料性能”等制造信息。

《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿82特征造型提供了符合设计人员思维的人-机交互语言。特征定义

设计、加工、装配过程中关于零件形状和其它属性的信息。特征分类从生命周期看：设计特征、加工特征、分析特征、公差及检测特征、装配体特征。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿83从功能上看：形状特征、精度特征、材料特征、技术特征。从设计方法上看：通道特征、挤压特征、提拉特征、过渡特征、表面特征、形变特征。《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿847.5分形几何方法

Fractal分形物体特征

每点处有无限细节放大时逐步可见整体与局部特征之间的自相似性(树)整体与局部都不能用传统的几何语言来描述分形方法应用于

自然景物山、水、云、雾、岩层、植物、羽毛等的模拟《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿85生成过程

重复使用一给定变换函数P0=(x0,y0,z0)P1=F(P0),P2=F(P1),P3=F(P2)...

分形模型分类随机插值模型海岸线粒子系统模型火焰正规文法模型植物选代函数系统模型《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿86自相似分形的维数S单个缩放因子n分成子部分数目D分形维数

nSD=1ln(n)ln(1/S)D=Sk

不同部分的缩放因子

SkD=1D=1S=1/n,n=2D=2S=1/n1/2,n=4《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿87一、确定性自相似分形几何构造初始元--开始时给定的几何形状生成元--替代初始元中每一部分的模型Koch曲线缩放因子1/3D===1.2619lnNln(1/S)ln4ln3《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿88《图形学与虚拟环境》郑州大学信息工程学院赵新灿89L-系统最