专项11-角度计算的综合大题-专题训练（30道）

角度计算的综合大题-专题训练（30道）一．解答题（共30小题）1．（金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．2．（渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．3．（永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．4．（亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系：．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，则∠BDC1＝．（用含α的式子表示）5．（如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；（2）若∠ABC＝α，①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．6．（信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．（1）试说明∠ACB＝90°；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．7．（鼓楼区期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．8．（涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝°．（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．9．（丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．（1）在△ABC中，∠ACB＝°，∠BDC＝°；（2）在旋转过程中，如图2，当α＝°时，DE∥AC；当α＝°时，DE⊥AC；（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．①此时，α的取值范围是；②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．10．（大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为．11．（丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）你是怎么得到的？（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？12．（井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．13．（长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝°．【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．14．（无锡期中）阅读并解决下列问题：（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝．（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．15．（冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝；【变式思考】（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．16．（淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°−1说明∠P＝90°+12∠∵BP、CP是△ABC的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°−12∠∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是．（2）结合图①，写出说明∠M＝90°−12∠[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为度．17．（驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝；（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝．18．（镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为°；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为°；（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．19．（兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射线CE的反向延长线与射线（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；（2）若n＝75，则∠F＝．（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．20．（内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．（1）求∠M的度数；（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．21．（青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．（1）若∠A＝80°，∠BMC＝°，∠BNC＝°．（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．22．（承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．23．（农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是．拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝．24．（平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．25．（盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．【问题情境】（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为．（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．【操作思考】（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式：．26．（兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．27．（邗江区校级期中）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝3∠1，则∠1的度数＝；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；②求证：PQ∥FH．28．（阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=12（∠B+∠【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：29．（东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题：如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．①填空：∠OBC+∠ODC＝；②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如图1），试说明DE⊥BF．请你完成上述问题．（2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．30．（万州区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

角度计算的综合大题-专题训练（30道）解析版1．（金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，从而得到∠ACG＝2∠F，根据两直线平行，内错角相等可得∠ECB＝∠F，再求出∠ACB＝3∠F，从而得解．【解答】解：∠ACB＝3∠ECB．理由如下：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F．∵∠ACG＝∠AGC，∴∠ACG＝2∠F．∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠F．∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F．故∠ACB＝3∠ECB．2．（渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝135°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝45°；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；②由①的思路可得结论．【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠∴∠AEB＝135°；故答案为：135；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN=1∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．3．（永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠2＝∠BAE，然后根据平角是180°列出关于∠1与∠2的关系式进行计算即可；（2）分三种情况，点C在直线FH的上方，点C在直线FH与直线DE之间，点C在直线DE的下方．【解答】解：（1）∵l∥DE，∴∠2＝∠BAE，∵∠1+∠CAB+∠BAE＝180°，∠1＝8∠2，∠CAB＝45°，∴8∠2+45°+∠2＝180°，∴∠2＝15°，∴∠2的度数为15°；（2）分三种情况：当点C在直线FH的上方，如图：设AC与FH交于点G，∵FH∥DE，∴∠DAC＝∠FGC，∵∠FGC＝∠C+∠FBC，∠C＝90°，∴∠DAC＝90°+∠FBC，当点C在直线FH与直线DE之间，如图：延长AC交FH于点M，∵FH∥DE，∴∠DAC＝∠HMC，∵∠BCA＝∠HMC+∠FBC，∠BCA＝90°，∴∠DAC+∠FBC＝90°，当点C在直线DE的下方，如图：设BC与DE交于点N，∵FH∥DE，∴∠FBC＝∠DNC，∵∠DNC＝∠C+∠DAC，∠C＝90°，∴∠FBC＝90°+∠DAC，综上所述：当点C在直线FH的上方，∠DAC＝90°+∠FBC，当点C在直线FH与直线DE之间，∠DAC+∠FBC＝90°，当点C在直线DE的下方，∠FBC＝90°+∠DAC．4．（亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系：平行．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，则∠BDC1＝45°+34【分析】（1）直接根据平移的性质：平移图形中对应线段平行或在同直线上，便可直接得出结论；（2）根据角平分线定义求得∠ABO和∠AC1A1，再根据平行线的性质求得∠OAC，根据三角形的内角和性质依次求得∠BAC，∠AOB；（3）连接DO，与延长DO至E，根据三角形的外角性质便可得到∠BOC、∠DBO、∠DCO、∠BDC四角的关系，进而求得结果；（4）按照前面的方法依次用α表示∠BOC，∠DBO+∠DCO，进而运用（3）中方法便可求得∠BDC1．【解答】解：（1）根据平移的性质知，AC∥A1C1，故答案为：平行；（2）∵∠ABC＝90°，A1B平分∠ABC，∴∠ABO＝45°，由平移知，∠ACB＝∠A1C1B1＝60°，∵AC1平分∠A1C1B1，∴∠AC1A1＝30°，由平移知AC∥A1C1，∴∠CAC1＝∠AC1A1＝30°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝75°；（3）连接连接DO，与延长DO至E，如图，∵BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，∴∠OBD+∠OC1D=12（∠ABO+∠AC1A∵∠BOE＝∠OBD+∠ODB，∠C1OE＝∠OC1D+∠ODC1，∴∠BOE+∠C1OE＝∠OBD+∠ODB+∠OC1D+∠ODC1，即∠BOC1＝∠OBD+∠OC1D+∠BDC1，∵∠BOC1＝180°﹣∠AOB＝105°，∴105°＝37.5°+∠BDC1，∴∠BDC1＝67.5°；（4）∵∠BAC＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠ACB＝∠AC1B1，∠CAC1＝∠AC1B1，∴∠ABO+∠AC1A1＝∠ABO+∠CAC1=1∴∠BOC1＝∠ABO+∠BAO＝90°−12α+α＝90°∵BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，∴∠OBD+∠OC1D=12×（90°−∴∠BDC1＝∠BOC1﹣（∠OBD+∠OC1D）＝90°+12α﹣（45°−1故答案为：45°+35．（如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；（2）若∠ABC＝α，①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．【分析】（1）利用平行线的性质和直角三角形的性质求解；（2）①利用（1）的结论求解；②结合以上两问得出结论．【解答】解：（1）过点G作GH⊥AC于点H，则GH∥EF∥BC，∴∠HGB＝∠GBC，∵∠CEF的平分线EG，BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝20°，∠CEG=1所以∠G＝∠HGB+∠CEG＝20°+45°＝65°．（2）过点G作GH⊥AC于点H，①由（1）知：∠HGB＝∠GBC=12α，∠HGE＝∠∴∠G＝∠HGE﹣∠GBC＝45°−1②有变化．当点E在点D下方时，由①得：∠G＝45°−1当点E在点D上方时，由（1）得：∠G＝45°+16．（信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．（1）试说明∠ACB＝90°；（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据高定义求出∠CDA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；（2）根据角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根据对顶角相等求出即可．【解答】（1）解：∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；（2）解：∠CFE＝∠CEF，理由是：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），∴∠CEF＝∠DFA，∵∠DFA＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF．7．（鼓楼区期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝85°或100°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD′是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；（2）求出∠PBC+∠PCB＝90°，根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线求出∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，求出∠ABC+∠（3）画出符合的所有情况，①当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时，②当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时，③当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时，④当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，BD，BD'是∠ABC的“三分线”，∴∠ABD＝∠DBD'＝∠D'BC=13∠ABC∵∠A＝70°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+15°＝85°或∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+30°＝100°，故答案为：85°或100；（2）如图③，∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，∴∠PBC=23∠ABC，∠PCB=2∴23∠ABC+23∴∠ABC+∠ACB＝135°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°；（3）四种情况：①如图1，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时，∴∠ADE=13∠ADB=13m°，∠ACP∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠ADB＝∠B+∠ACB，∵∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，∴66°+m°＝45°+∠ACB，∴∠ACB＝21°+m°，∴∠ACP=23∠ACB＝14°+∵∠AED＝∠CEP，∴∠A+∠ADE＝∠DPC+∠ACP，∴66°+13m°＝∠DPC+14°+∴∠DPC＝（52−13②如图2，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠ADE=13∠ADB=13m°，∠ACP由①知：∠ACB＝21°+m°，同理得：66°+13m°＝∠DPC+7°+∴∠DPC＝59°；③如图3，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时，∴∠ADE=23∠ADB=23m°，∠ACP由①知：∠ACB＝21°+m°，同理得：66°+23m°＝∠DPC+14°+∴∠DPC＝52°；④如图4，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠ADE=23∠ADB=23m°，∠ACP由①知：∠ACB＝21°+m°，同理得：66°+23m°＝∠DPC+7°+∴∠DPC＝（59+13综上，∠DPC的度数为59°或52°或（52−13m）°或（59+8．（涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝155°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝50°．（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（3）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，故答案为：155，50；（2）∠DAB+∠CAE＝120°，理由如下：∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE＝∠DAC+∠BAE＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β．9．（丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．（1）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠BDC＝100°；（2）在旋转过程中，如图2，当α＝10°时，DE∥AC；当α＝100°时，DE⊥AC；（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．①此时，α的取值范围是70°＜α＜100°；②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形内角和是180°，再按比例分配进行计算即可；（2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的内角和进行计算即可；（3）①根据“端值”检测计算，即当DE与CD重合时最小值，当DF与CD重合时最大值；②连接MN，根据三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，∴∠BAC＝180°×22+1+6=40°，∠ABC＝180°×12+1+6∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=12∠∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝60°+40°＝100°，故答案为：120°，100°；（2）当DE∥AC时，∠BDE＝∠A＝40°，∵∠E＝90°，∠F＝60°．∴∠EDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴α＝40°﹣30°＝10°，即当α＝10°时，DE∥AC；当DE⊥AC时，即DE与AC成90°的角，∠EDB＝90°+∠A＝130°，∴α＝130°﹣30°＝100°，即当α＝100°时，DE⊥AC；故答案为：10，100；（3）①当DE与CD重合时，α为最小值，∵∠BDE＝∠A+∠ACD＝100°，∴α＝100°﹣30°＝70°；当DF与CD重合时，α为最大值，此时α＝100°，∴70°＜α＜100°，故答案为：70°＜α＜100°；②∠CMD+∠CND＝90°，理由如下：如图，连接MN，∵∠MCN＝∠ACB＝120°，∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣∠MCN＝60°，在△DMN中，∠DMN+∠DNM＝180°﹣∠MDN＝150°，∴∠CMD+∠CND＝150°﹣60°＝90°．10．（大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝70度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为110°．【分析】（1）根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；（2）先根据平行线的性质得到∠ABC的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求解；（3）①根据四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线定义得到∠EBC+∠ECB的度数，最后根据三角形内角和即可求解，②根据三角形内角和及角平分线定义即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．（2）∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．②∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．11．（丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）你是怎么得到的？（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？【分析】（1）根据外角的定义即可求解；（2）（3）根据多边形的外角和等于360度即可求解．【解答】解：（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5；（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是360度；（3）∵∠1+∠BAE＝∠2+∠ABC＝∠3+∠BCD＝∠4+∠CDE＝∠5+∠DEA＝180°，∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝5×180°﹣540°＝360°；（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么他每跑完一圈，身体转过的角度之和都是360度．12．（井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．【分析】（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=12y−12x＝30°，进而得出②当x＝y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．【解答】解：（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y；故答案为：360°﹣x﹣y；（2）如图1，延长DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=1又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，∴∠CDE＝∠CBF，又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝x+y，∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=12（x+如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，得∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+12（x+y）＝180°−12∴∠DFB=12y−解方程组：x+y=140°1解得：x=40°y=100°②当x＝y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．13．（长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝180°．【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．【分析】（1）根据四边形的性质，可得答案；（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；（3）根据补角的性质，可得∠CBM＝∠ODC，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：（1）由四边形内角的性质，得∠OBC+∠ODC＝180°，故答案为：180；（2）∵BD平分∠OBC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OM⊥ON，∴∠DOB＝90°，∴∠OBD+∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝∠CDB，∴BD平分∠ODC；（3）DE⊥BF，理由：如图，延长DE交BF于G，，∵∠ODC+∠OBC＝∠CBM+∠OBC＝180，∴∠CBM＝∠ODC，12∠CBM＝∠EBG=12∠ODC∵∠BEG＝∠DEC，∴△DEC∽△BEG，∴∠BGE＝∠DCE＝90°，∴DE⊥BF．14．（无锡期中）阅读并解决下列问题：（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝120°．（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度数和是多少；然后根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求出∠DBC、∠DCB的度数和是多少；最后在△BCD中，根据三角形的内角和定理，求出∠BDC的度数是多少即可．（2）首先根据AE∥BC，可得∠A+∠B＝180°，再用五边形的内角和减去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度数和；然后根据∠EDC＝70°，求出∠AED、∠EDC的度数和；最后根据EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度数和；再用四边形CDEF的内角和减去∠FED、∠FCD、∠EDC的度数和，求出∠EFC的度数．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠DBC，∠DCB＝∠ACD，∴∠DBC+∠DCB＝120°÷2＝60°，∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°；（2）∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵五边形ABCDE的内角和是540°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，∵∠EDC＝72°，∴∠AED+∠BCD＝360°﹣72°＝288°，∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，∴∠FED+∠FCD＝288°÷2＝144°，∴∠EFC＝360°﹣（∠FED+∠FCD+∠EDC）＝360°﹣（144°+72°）＝144°15．（冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝110；【变式思考】（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和和角平分线的性质，即可求得角度的大小．（2）将定角换成动角，同样利用三角形内角和和角平分线的性质，将角之间的关系表示出来．（3）在（2）结论基础上，通过角平分线的性质可求证FB∥OD，进而得出∠COD＝∠F＝β，再由∠BAC＝2∠BOC﹣180°以及∠BOD＝90°即可证明结论．【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°，故答案为：110．（2）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠α，∵BO、CO是角平分线，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=90°+1（3）∠BAC＝2β．理由：由（2）结论可知：∠BOC＝90°+∠BAC∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°．∵OB、BF分别平分∠ABC和∠ABE，∴∠ABO=12∠ABC，∠ABF=1∴∠OBF＝∠ABO+∠ABF=12（∠ABC+∠ABE）∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°．∵BF∥OD，∴∠COD＝∠F＝β．∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝90°+β，∵∠BAC＝2∠BOC﹣180°，∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°＝2β．∴∠BAC＝2β．16．（淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°−1说明∠P＝90°+12∠∵BP、CP是△ABC的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°−12∠∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180°．（2）结合图①，写出说明∠M＝90°−12∠[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为25度．【分析】【问题呈现】（1）根据三角形内角和定理解答；（2）根据角平分线的定义得到∠3=12∠EBC，∠4=1【拓展延伸】根据角平分线的定义得到∠1=12∠ACD，2=12∠ABC，根据三角形的外角的性质得到∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），求得∠Q＝∠1＝∠2，推出∠【解答】解：【问题呈现】（1）证明过程中步骤（2）的依据是三角形内角和等于180°，故答案为：三角形内角和等于180°；（2）∵BM、CM是△ABC的外角平分线，∴∠3=12∠EBC，∠4=1∴∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣2∠4，∴∠A+（180°﹣2∠3）+（180°﹣2∠4）＝180°，∴∠3+∠4＝90°+12∠∵∠3+∠4+∠M＝180°，∴∠M＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−1【拓展延伸】∵CQ平分∠ACD，∴∠1=12∠∵BQ平分∠ABC，∴∠2=12∠∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），∵∠1＝∠2+∠Q，∴∠Q＝∠1＝∠2，∴∠A＝2∠Q，即∠Q=12∠故答案为：25．17．（驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝12（x﹣y）（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝14（3x﹣y）【分析】（1）根据三角形的内角和得∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得∠BAE=12∠BAC（2）用含x、y代数式表示∠BAC和∠AEB即可；（3）由（2）同理可得；（4）根据∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x﹣y），得∠PAF=1【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴∠BAE=12∠BAC在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x−12（180°﹣x﹣y）＝90°−12∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+12x−12y=1故答案为12（x﹣y（3）成立，理由如下：∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x−12（180°﹣x﹣y）＝90°−12∴∠DEF＝∠AEB＝90°−12x+∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+12x−12y=1故答案为12（x﹣y（4）∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠PAF=14（180°﹣x﹣∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°−14（180°﹣x﹣y）﹣x]=14（3故答案为：14（3x﹣y18．（镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为12°；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为35或1103（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．【分析】（1）设最小角为α，由题意可得α+2α＝＝36°，求出α即为所求；（2）当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，α+2α＝110°，α＝（1103（3）三角形另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；【应用】由题意可得∠PAC＝180°﹣∠α，设∠PCA＝x，则x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分两种情况讨论：①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE=12∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE=12∠AEB或∠BAE＝2∠【解答】解：（1）设最小角为α，∵△ABC为开心三角形，∠A＝144°，∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，∴α＝12°，故答案为：12；（2）当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，∴α＝（1103故答案为：35或1103（3）∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，∴另一个开心角是2∠A，∴第三个内角是180°﹣3∠A，∵∠A是最小内角，∴∠A≤180°﹣3∠A，∴∠A≤45°；【应用】∵AD平分△ABC的内角∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，∴∠PAC＝180°﹣∠α，设∠PCA＝x，∵CD平分△ABC的外角∠BCF，∴∠BCD＝∠CDF＝x，∴∠ACB＝180°﹣2x，∵∠P＝30°，∴180°﹣2∠α+x＝150°，∴x＝2∠α﹣30°，∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣（240°﹣3∠α）＝2∠α﹣60°，①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE=12∠ABE或∠BAE＝2∠∴∠α=1解得∠α＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE=12∠AEB或∠BAE＝2∠∴∠α=1解得∠α＝48°或∠α＝（4807综上所述：40°或48°或（480719．（兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射线CE的反向延长线与射线（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；（2）若n＝75，则∠F＝50°．（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出∠OCD＝45°，接着利用邻补角的定义求出∠ACD＝135°，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可求出∠F；（2）利用和（1）的思路即可解决问题；（3）不会发生变化．设∠AOB＝x，∠CDO＝y，首先利用三角形内角和定理得到∠OCD＝180°﹣x﹣y，然后利用邻补角定义得到∠ACD＝x+y，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可得到∠F=23x=2【解答】解：（1）在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°，∴∠OCD＝45°，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝135°，∵∠ACE=13∠∴∠ECD=23∠∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝90°，∵∠FDO=13∠∴∠CDF=23∠∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝40°；（2）若n＝75°，则∠F＝50°；∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝75°，∠CDO＝x，∴∠OCD＝105°﹣x，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝75°+x，∵∠ACE=13∠∴∠ECD=23∠ACD=23（75°+x∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝130°−23∵∠FDO=13∠∴∠CDF=23∠CDO=∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝50°；故答案为：50°；（3）不会发生变化．设∠AOB＝x，∠CDO＝y，在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝180°﹣x﹣y，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝x+y，∵∠ACE=13∠∴∠ECD=23∠ACD=23（∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝180°−23（x+∵∠FDO=13∠∴∠CDF=23∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F=23∴∠F=23∠20．（内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．（1）求∠M的度数；（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；（2）结论：∠M1=12∠M．如图2中，过点M1作M1J∥（3）探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=1∴∠MEF+∠MFE=12（∠AEF+∠∴∠M＝180°﹣90°＝90°；（2）结论：∠M1=12∠理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．∵AB∥CD，M1J∥AB，∴M1J∥CD，∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=1∵∠EM1J＝∠AEM1，∠JM1F＝∠CFM1∴∠EM1F＝∠AEM1+∠CFM1=12（∠AEM+∠CFM）（3）由（2）可知，∠M1=1同法可知，∠M2=12∠M1=1•••，∠Mn＝（12）n当n＝2021时，∠M2021＝（12）202121．（青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．（1）若∠A＝80°，∠BMC＝130°，∠BNC＝50°．（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），再利用三角形的内角和定理可得∠M＝90°+12∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），再利用三角形的内角和定理可得∠（2）由角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），再利用三角形的内角和定理可得∠M＝90°+12∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），再利用三角形的内角和定理可得∠【解答】解：（1）如图①，∵∠B、∠C的平分线相交于M，∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=1∴∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠∵∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠BMC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BMC＝90°+12∠∵∠A＝80°，∴∠BMC＝130°；如图②，∵∠B、∠C外角的平分线相交于N，∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=1∴∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠∵∠NBC+∠NCB+∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A+∠ACB，∠QCB＝∠A+∠ABC，∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣∠BNC，∠PBC+∠QBC＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，∴180°﹣∠BNC=12（180°+∠即∠BNC＝90°−12∠∵∠A＝80°，∴∠BNC＝50°；故答案为：130；50；（2）如图①，∵∠B、∠C的平分线相交于M，∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=1∴∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠∵∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠BMC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BMC＝90°+12∠A＝90°如图②，∵∠B、∠C外角的平分线相交于N，∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=1∴∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠∵∠NBC+∠NCB+∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A+∠ACB，∠QCB＝∠A+∠ABC，∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣∠BNC，∠PBC+∠QBC＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，∴180°﹣∠BNC=12（180°+∠即∠BNC＝90°−12∠A＝90°22．（承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．【分析】（1）作PH∥AB，又AB∥CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；（2）根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；（3）利用（2）的结论、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：（1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°．如图①，过点P作PH∥AB，又AB∥CD，则PH∥CD，∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，∵∠MPN＝90°，∴∠NPH+∠HPM＝90°∴∠PFD+∠AEM＝90°．（2）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD﹣∠AEM＝90°，证明：设PN与AB相交于点G，如图②，∵AB∥CD，∴∠PFD＝∠PGB，∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°．（3）如图②，由（2）得∠PFD＝90°+∠PEB＝120°，∵∠DON＝15°，∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝45°．23．（农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是30°．拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝120°．【分析】（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案为：30°；（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案为：120°．24．（平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝126°；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．【分析】（1）作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质求解．（2）作CP∥a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF＝∠ACP+∠PCB＝90°．（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．【解答】解：（1）如图，作CP∥a，∵a∥b，CP∥a，∴CP∥a∥b，∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝126°．故答案为：126°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：如图，作CP∥a，则CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∵∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝140°，∴∠GOP＝140°﹣∠POQ，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF．如图，当点P在GF延长线上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．综上所述，∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系是∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．25．（盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．【问题情境】（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为30°．（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝