7.5 三角形内角和定理 同步练习

第七章平行线的证明5三角形内角和定理基础过关全练知识点1三角形内角和定理1.(2021广西梧州中考)在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C等于()A.32° B.36° C.40° D.128°2.(2023福建顺昌月考)如图，△ABC中，∠A=70°，将△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，则∠FDB+∠FEC=()A.140° B.60° C.70° D.80°3.如图，在△ABC中，将△BFE沿EF折叠，点B恰好落在点A处，若∠B=36°，∠CAE=30°，则∠C= °.

4.(2023广东广州海珠期末)如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，AE与BF交于点O，∠C=70°.(1)∠AOB的度数为 ；

(2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数.知识点2三角形内角和定理的推论5.(2023湖北利川期末)如图所示，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，并且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于()A.130° B.120° C.110° D.100°6.如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是()A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠1>∠2>∠A D.无法确定7.(2023湖北武汉武昌校级期中)下图是由一副三角板拼凑得到的，则∠ABC的度数为()A.50° B.60° C.75° D.80°[变式1]将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠CAF的度数等于()A.50° B.60° C.75° D.85°[变式2](2023四川苍溪期末)生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下图是由一副三角板拼凑得到的，则∠1= °.

[变式3](2021辽宁本溪中考)一副三角板按如图所示的方式摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是()A.80° B.95° C.100° D.110°8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E.(1)若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明.能力提升全练9.(2022山东淄博中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE=50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF=EF，则∠E的度数为()A.23° B.25° C.27° D.30°10.(2021河北中考)可调躺椅示意图(数据如图)如图所示，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 (填“增加”或“减少”) °.

11.(2022贵州黔西南州中考)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，AC与DE相交于点F.若BC∥AE，则∠AFE的度数为 .12.(2022辽宁沈阳铁西期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，射线AE交BC于点P，∠BAE=15°.过点C作CD⊥AE于点D，连接BE，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若∠ABE=75°，求证：BE∥CF.素养探究全练13.(2023辽宁鞍山期中)在△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.(1)若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2= ；

(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；

(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.14.在△ABC中，∠ACB>∠ABC，D，E分别是边BC和BC延长线上的点，连接AD，AE，∠CAE=∠B.(1)如图1，若∠ADE=60°，∠CAE=40°，求∠BAD的度数；(2)如图2，已知∠DAE=∠ADE.①判断AD是否平分∠BAC，并说明理由；②F为射线AD上一点(不与点D重合)，过点F作FG⊥BC，垂足为G.若∠B=α，∠ACB=β，直接用含α，β的式子表示出∠AFG的度数.

第七章平行线的证明5三角形内角和定理答案全解全析基础过关全练1.A∵∠A=20°，∠B=4∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴20°+4∠C+∠C=180°，∴5∠C=160°，∴∠C=32°.故选A.2.A∵△DEF是由△DEA折叠而成的，∴∠F=∠A=70°，∠A+∠ADF+∠AEF+∠F=360°，∴∠ADF+∠AEF=360°-∠A-∠F=220°，∵∠FDB=180°-∠ADF，∠FEC=180°-∠AEF，∴∠FDB+∠FEC=360°-(∠ADF+∠AEF)=140°，故选A.3.78解析∵将△BFE沿EF折叠，点B恰好落在点A处，∴∠EAF=∠B=36°，∵∠CAE=30°，∴∠BAC=∠EAF+∠CAE=66°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-36°-66°=78°.4.解析(1)∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC在△ABC中，∠C=70°，∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C=110°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-12(∠BAC+∠ABC)=125(2)∵在△ABC中，AD是高，∠C=70°，∠ABC=60°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=12∠BAC=25°∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°，∴∠DAE的度数为5°.5.A∵∠A=50°，BE⊥AC，∴∠ABE=90°-50°=40°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP=90°，∴∠BPC=∠BDP+∠ABE=130°.故选A.6.B∵∠2=∠1+∠DCE，∠1=∠A+∠ABD，∴∠2>∠1>∠A.故选B.7.C∵∠F=30°，∠BAC=45°，∠BAC是△ABF的外角，∴∠ABF=∠BAC-∠F=15°，∵∠CBF=90°，∴∠ABC=∠CBF-∠ABF=75°.故选C.[变式1]C∵∠DAC=∠DFE+∠C=60°+45°=105°，∴∠CAF=180°-∠DAC=75°.[变式2]105解析如图，∵∠CAB=90°，∠CAD=45°，∴∠EAB=45°，∵∠1是△ABE的一个外角，∴∠1=∠EAB+∠ABC=45°+60°=105°.[变式3]B如图，∠3=∠1-45°=35°，∴∠4=∠3=35°，∴∠2=∠4+∠5=95°，故选B.8.解析(1)∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=30°，∴∠ADC=30°+35°=65°，∴∠E=90°-65°=25°.(2)∠E=12(∠ACB-∠B)证明：设∠B=n°，∠ACB=m°，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=12∠BAC∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=(180-n-m)°，∴∠1=12(180-n-m)°∴∠3=∠B+∠1=n°+12(180-n-m)°=90°+12n°-1∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°-90°+12n°−12m°=12(m-n)能力提升全练9.B∵AB∥CD，∠BAE=50°，∴∠DFE=∠BAE=50°，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∵∠DFE=∠C+∠E=50°，∴∠E=25°.故选B.10.减少；10解析如图，延长EF交CD于点G，∵∠ACB=180°-50°-60°=70°，∴∠ECD=∠ACB=70°.∵∠DGF=∠DCE+∠E，∴∠DGF=70°+30°=100°.∵∠EFD=110°，∠EFD=∠DGF+∠D，∴∠D=10°.∴∠D应减少10°.故答案为减少；10.11.105°解析在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-60°=30°，∵BC∥AE，∴∠CAE=∠C=30°，在△ADE中，∠DAE=90°，∠D=45°，∴∠E=180°-∠DAE-∠D=45°，∴在△AEF中，∠AFE=180°-∠E-∠CAE=105°.12.解析(1)∵∠BAC=90°，∠BAE=15°，AB=AC，∴∠PAC=75°，∠ABC=∠ACB=45°，∵CD⊥AE，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=180°-∠ADC-∠DAC=15°，∴∠PCD=∠PCA-∠ACD=45°-15°=30°，∵EF∥BC，∴∠F=∠DCP=30°.(2)证明：∵∠ABE=75°，∠ABC=45°，∴∠CBE=75°-45°=30°，由(1)可得∠DCP=30°，∴∠DCB=∠CBE，∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行).素养探究全练13.解析(1)如图1，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°.(2)如图2，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α.(3)∠1=80°+∠2+∠α，理由如下：如图3，设BC与DP交于点M.∵在△CDM中，∠1=∠C+∠CMD，在△EMP中，∠CMD=∠2+∠α，∴∠1=∠C+∠2+∠α，即∠1=80°+∠2+∠α.14.解析(1)∵∠CAE=∠B，∠CAE=40°，∴∠B=40°，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADE-∠B=60°-40°=20°.(2)①AD平分∠BAC，理由如下：∵∠DAE=∠ADE，且∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，∵∠CAE=∠B，∴∠DAC=∠BAD，∴AD平分∠BAC.②∠AFG=12(β-α)详解：如图所