【苏科】第一次月考B卷（考试版+解析）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测（考试时间：100分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章（苏科版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。1．如图，通过尺规作图得到∠A'O

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α

A．α=β B．α=2β C．α+β=90° D．α+2β=1804．如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正方形的顶点（格点上）．这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有（不含△ABC）（A．3 B．4 C．7 D．8

第4题图第5题图5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以AA．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm6．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的∠CFE

A．105° B．120° C．125° D．130°7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，点E、G分别在边AB、AC上，连接DE，DG．过D作DF⊥AB于F．已知DE=DG，S△ADG=12A．2 B．3 C．4 D．5

第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若A．6 B．8 C．10 D．12第Ⅱ卷二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．9．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是

第9题图第10题图第11题图10．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则∠1与∠2的数量关系是11．如图，∠DCE=∠A=∠CBE=90°，DC=CE，AD=312．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交点P，点E是AC上一点，且CE=CB．若PE

第12题图第13题图13．将一张边长为6cm的正方形纸片沿虚线对折得图①，再沿图①的虚线对折得图②的小正方形ABCD，已知点M是AB的中点，点N是AD的一个三等分点且更靠近点D，沿图②的虚线MN剪掉一个直角三角形后展开得图③的中空纸片，这张中空纸片的面积是．14．如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC

第14题图第15题图15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则°16．如图，在△ADE中，AC=BC=BD=DE，∠A=25°，则∠E的度数是°

第16题图第17题图第18题图17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，，交BD的延长线于点E，若BD=5，则CE的值为18．如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是．三、解答题：本题共7小题，共64分．（6分）19．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．

(1)作△ABC关于x轴对称的图形△A(2)求△A(3)在y轴上找一点P使得最小．（6分）20．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AB=CF．

(1)求证：△ABD(2)已知BC=7,AD=5，求的长．（8分）21．已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．

(1)求证：BE=CF；(2)若AB=15,AC=9，求CF的长．（8分）22．如图，、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．

(1)求证：PE=PF；(2)若∠A=70°，求（8分）23．我们在七年级曾学过“两点之间线段最短”，利用这一知识点也可以解决两条线段之和最小的相关问题．如图①，已知点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点P，使得PA+PB最小，我们只要作点B关于l的对称点B'（如图②），根据对称性可知，PB=PB'，因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB'最小，显然，当点A、P、B'在同一直线上时，AP+PB'最小，因此连接

探究：四边形ABCD是长方形台球桌的台面，有白、黑两球分别位于点E、F的位置．(1)如图③，怎样击打白球E，能使它先碰撞台边CD，经反弹后再击中黑球F？（画出白球E经过的路线）(2)如图④，怎样击打白球E，使它能先碰撞台边CD，经反弹后又碰撞台边AB，然后再击中黑球F？（画出白球E经过的路线）（8分）24．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为ts，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，

(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M；(2)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？如存在，请求出此时M、N（10分）25．问题解决：

(1)如图1，△ABC中，为BC边上的中线，则．(2)如图2，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，则S△DEF=_________(3)如图3，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，若，则S△ABC=问题探究：(1)如图4，CD,BE是△ABC的中线，CD,BE交于点与相等吗？解：△ABC中，由问题解决的结论可得，．∴∴即．(2)如图5，△ABC中，D是AC上的一点，是△ABC的中线，且S△ABC=48，试求S问题拓展：如图6，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD，则S△ADC=_________

（10分）26．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）．①顶角是30°②等腰直角三角形；③有一个角是30°(2)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接．①若BC=BE，求证：△ABE是“倍角三角形”②点P在线段AE上，连接BP．若∠C=30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测（考试时间：100分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章（苏科版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。1．如图，通过尺规作图得到∠A'O

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据作图过程利用SSS可以证明△OCD【详解】解：根据作图过程可知，在△OCD和△OOC=O'∴△OCD∴∠A故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．2．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（

）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】B【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第3块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS、SAS、HL．3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC∥OA时，α与

A．α=β B．α=2β C．α+β=90° D．α+2β=180°【答案】B【分析】由全等三角形的性质可推出∠BAC=【详解】解：∵△AOB∴AB=AC，∴∠BAC=在△ABC中，∠ABC=∵BC∥∴∠OBC=180∴β+整理得，α=2β．故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质．熟记相关结论是解题关键．4．如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正方形的顶点（格点上）．这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有（不含△ABC）（

A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根据SSS在图中画出格点△BAD，使得△BAD【详解】解：如图

所示，根据SSS，可得△BAD即以大正方形的每个边为底边，都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去△ABC外有七个与△ABC即：

故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q

A．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm【答案】C【分析】分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题．【详解】解：当△BCA∴AP=BC=6cm当△BCA∴PA=AC=12cm，∴AP的值是6cm或12cm．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找到对应边，是解题的关键．注意，分类讨论．6．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（

A．105° B．120° C．125° D．130°【答案】A【分析】在图a中，由题意可得：AD∥BC，则∠CFE=155°，∠EFB=25【详解】解：在图a中，由题意可得：AD∥∴∠CFE=155°，∠EFB=25在图b中，由折叠的性质可得：∠CFE=155°，∠∴∠在图c中，由折叠的性质可得：∠CFG=130°，∠∴∠CFE=105故选：A【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，点E、G分别在边AB、AC上，连接DE，DG．过D作DF⊥AB于F．已知DE=DG，S△ADG=12，S△AED=8，则

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】过点D作DH⊥AC于点，角平分线的性质得到DH=DF，进而推出Rt△DFE≌Rt△DHGHL，Rt△【详解】过点D作DH⊥AC于点

∵AD平分∠BAC，DF⊥∴∠1=∠2，DH=DF，∠DFE=又DE=DG，∴Rt△∴S△∵∠DHA=∴Rt△∴S△∴S△∴S△AED+S∴S△故选A．【点睛】本题考查角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等三角形．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作，垂足为点F，连接AD，在中，∠DCF=30°,DF=12DC,2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，【详解】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作，垂足为点F，连接AD，如图所示：在中，∠DCF=30°∴DF=1∵＝，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴△ABD∴AD=BD=AB=4，在Rt△ABC∴BC=8，∴DC=4，∴，∴AF=AD+DF=4+2=6，∴，∴2(AD+DC)的最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．第Ⅱ卷二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．9．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是

【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCEAF=DE∠∴△ABF≌△DCE添加：∠ABF=在△ABF和△DCE∠ABF=∴△ABF≌△添加：∠A=在△ABF和△DCE∠A=∴△ABF≌△DCE故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则∠1与∠2的数量关系是

【答案】【分析】证明△ABC≌△DEF得出∠2=∠DEF，根据∠1+∠DEF=90【详解】解：根据网格特点可知，∠ACB=∠DFE=90°，EF=BC，AC=DF，∴△ABC∴∠2=∵∠1+∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．11．如图，∠DCE=∠A=∠CBE=90°，DC=CE，AD=3，BE=7，则AB=．

【答案】4【分析】先证得，进而可证得△DCA≌△CEB，可得到AC=BE=7，AD=BC=3，即可求得答案．【详解】∵∠DCE=∴∠DCA+∠BCE=∠DCE=90°，∠BCE+∴．在△DCA和△CEB∠∴△DCA∴AC=BE=7，AD=BC=3．∴AB=AC-故答案为：4．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法（两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等）是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交点P，点E是AC上一点，且CE=CB．若PE∥AB，则∠A=

【答案】36【分析】根据题意可证△PCB≌△PCE，设∠A=∠PEC=x，则∠ABC=【详解】解：∵AB=AC∴∠∵分别平分∠ABC∴∠∵CE=CB∴△∴∠∵PE∴∠设∠A=∠PEC=x，则∠∴x+2x+2x=180解得：x=36故答案为：36【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理．掌握相关结论是解题关键．13．将一张边长为6cm的正方形纸片沿虚线对折得图①，再沿图①的虚线对折得图②的小正方形ABCD，已知点M是AB的中点，点N是AD的一个三等分点且更靠近点D，沿图②的虚线MN剪掉一个直角三角形后展开得图③的中空纸片，这张中空纸片的面积是．

【答案】6【分析】先根据进而求得AM,AN，得到△AMN【详解】解：由折叠的性质可得AB=AD=3cm∵点M是AB的中点，点N是AD的一个三等分点且更靠近点D，∴AM=∴△AMN的面积为12∴张中空纸片的面积是32故答案为6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形的面积公式、线段中点与等分点等知识点，根据题意求得△AMN14．如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S△ABE

【答案】5:2【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF，然后证明Rt△ABE≌Rt△AFEHL，根据全等三角形的面积相等可得S△ABE=【详解】如图，过点E作EF⊥AD于F，

∵∠B=90∴EB⊥∵AE平分∠BAD∴BE=EF，在Rt△ABE和AE=AEBE=EF∴Rt△∴S△同理：S△设S△CDE=2k，∴S△∴S△故答案为：5:2．【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则°

【答案】150【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出∠A【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N

∵∠DAB=105∴∠∵∠A'=∠MAA'，∠NAD=∠∴故答案为：150．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．16．如图，在△ADE中，AC=BC=BD=DE，∠A=25°，则∠E的度数是°

【答案】75【分析】首先根据∠A=25°，AC=BC，利用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=25°，然后利用三角形的外角的性质求得∠BCD=∠A+∠ABC=50°，再根据BC=BD得到∠BDC=∠BCD=50°，从而得到∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=80°，进一步得到∠DBE=180°-∠ABC-∠CBD=75°，最后利用BD=ED得到∠E=【详解】解：∵∠A=25°，AC=BC，∴∠∴∠∵BC=BD∴∠∴∠∴∠，∴∠E=故答案为：75．【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角，难度不大．17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，，交BD的延长线于点E，若BD=5，则CE的值为【答案】5【分析】延长BA、CE相交于点F，由角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD，利用ASA证明△BCE≌△BFE，得到CE=EF，根据同角的余角相等得到∠ABD=∠ACF，通过ASA证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，从而即可得到答案．【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，，∴∠BEF=在△BCE和△BFE∠ABD=∴△∴CE=EF∵∠BAC=90°∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+，∵∠BAC=90°，∠BAC+∴∠在△ABD和△ACF∠ABD=∴△，∵CF=CE+EF=2CE∴BD=2CE=5∴CE=故答案为：52【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．18．如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是．

【答案】1【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30【详解】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：

∵旋转角为60°∴∠又∵∠MBH+∴∠∵CH是等边△ABC∴HB=∴HB=BG又∵MB旋转到BN，∴BM=BN在△MBG和△NBHBG=BH∠∴△∴MG=NH根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，此时即HN最短，∵∠BCH=12×60°=30°在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，∴HN=MG=1故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30°三、解答题：本题共7小题，共64分．（6分）19．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．

(1)作△ABC关于x轴对称的图形△A(2)求△A(3)在y轴上找一点P使得最小．【答案】(1)见解析(2)S△(3)见解析【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（2）用△A（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点P【详解】（1）解：如图所示，△A；

（2）解：S△（3）解：如图所示，P点即为所求．，【点睛】此题考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系准确找出对应点的位置是解题的关键．（6分）20．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AB=CF．

(1)求证：△ABD(2)已知BC=7,AD=5，求的长．【答案】(1)见解析(2)AF=3【分析】（1）根据垂直的定义得出∠ADB=∠CDF，再根据同角的余角相等得出∠BAD=∠FCD，然后由AAS证明△ABD（2）由全等三角形的性质得出BD=DF，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥∴∠ADB=∴∠BAD+∴∠BAD=在△ABD和△CFD∠∴△ABD（2）解：∵△ABD∴BD=DF，∵BC=7,AD=DC=5，∴DF=BD=BC-∴AF=AD-【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．（8分）21．已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．

(1)求证：BE=CF；(2)若AB=15,AC=9，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接BD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，DC=DB，利用HL可证Rt△（2）利用HL可证Rt△【详解】（1）解：连接DB，

∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥∴DE=DF，∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC，在Rt△DCF与∵DE=DF,DB=DC∴Rt△∴；（2）在Rt△ADF与∵DE=DF,AD=AD∴Rt△∴AF=AE，∴AB-∵AB=15,AC=9，∴15-∴CF=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．证明Rt△（8分）22．如图，、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．

(1)求证：PE=PF；(2)若∠A=70°，求【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求证；（2）根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=110°，再推出∠BEP=【详解】（1）解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，P为BC中点，∴PF=12BC∴PE=PF（2）解：∵∠A=70∴∠∵P是BC边的中点，∴PF=BP=12BC∴∠BEP=∠ABC,∠CEP=∠ACB，则∠BEP+∴∠∴∠【点睛】本题主要了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．（8分）23．我们在七年级曾学过“两点之间线段最短”，利用这一知识点也可以解决两条线段之和最小的相关问题．如图①，已知点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点P，使得PA+PB最小，我们只要作点B关于l的对称点B'（如图②），根据对称性可知，PB=PB'，因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB'最小，显然，当点A、P、B'在同一直线上时，AP+PB'最小，因此连接

探究：四边形ABCD是长方形台球桌的台面，有白、黑两球分别位于点E、F的位置．(1)如图③，怎样击打白球E，能使它先碰撞台边CD，经反弹后再击中黑球F？（画出白球E经过的路线）(2)如图④，怎样击打白球E，使它能先碰撞台边CD，经反弹后又碰撞台边AB，然后再击中黑球F？（画出白球E经过的路线）【答案】(1)图见详解；(2)图见详解；【分析】（1）作出点E关于CD的对称点E'，连接交CD于一点M，连接EM，即可得到白球E的路线；（2）分别作E、F分别关于CD、AB的对称点E'，F'，连接【详解】（1）解：作出点E关于CD的对称点E'，连接交CD于一点M，连接EM，即可得到白球E的路线：EM-

；（2）解：分别作E、F分别关于CD、AB的对称点E'，F'，连接E'F'，交CD、AB于点M

【点睛】本题主要考查了利用轴对称作图，熟练掌握轴对称定义是解题的关键．（8分）24．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为ts，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，

(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M；(2)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？如存在，请求出此时M、N【答案】(1)BC中点，6(2)存在，运动的时间是8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：，求出t的值即可；（2）列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题．【详解】（1）当点N第一次到达B点时，t=18÷运动了1×9=9∴点M的位置在BC中点；当点N追上点M时，由题意得：，∴t=6∴当M、N运动6秒时，点N追上点M，故答案为：BC中点，6．（2）如图，AM=AN，作AH⊥BC于∴HC=HB，，∴MC=BN∴t∴t=8

、N运动的时间是8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于t的方程．（10分）25．问题解决：

(1)如图1，△ABC中，为BC边上的中线，则．(2)如图2，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，则S△DEF=_________(3)如图3，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，若，则S△ABC=问题探究：(1)如图4，CD,BE是△ABC的中线，CD,BE交于点与相等吗？解：△ABC中，由问题解决的结论可得，．∴∴即．(2)如图5，△ABC中，D是AC上的一点，是△ABC的中线，且S△ABC=48，试求S问题拓展：如图6，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD，则S△ADC=_________

【答案】问题解决：（2）18；(3)8；问题探究：（2）12；问题拓展：【分析】问题解决：（2）根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△DEC的面积，即可求得△DEF（3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用S△ABC表示出△ABD、△ACD、△BDE，△CDE的面积，然后表示出△BCE的面积，再表示出△问题探究：（2）先求出S△ABE，再结合S问题拓展：延长BD交AC于E，由“ASA”可证△ABD≌△AED，可得BD=DE，由面积关系可求解．【详解】解：问题解决：（2）如图2，∵D为B