【矩阵的特征值与特征向量的应用探究（论文）6200字】

矩阵的特征值与特征向量的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\z\u中文摘要 1英文摘要 21引言 31.1本课题研究背景、目的和意义 31.2研究现状 32矩阵的特征值、特征向量的定义及其性质 52.1特征值与特征向量的定义 52.2特征值与特征向量的性质 53特征值和特征向量的求解方法 83.1一般求解法 83.2初等变换法 114矩阵的特征值与特征向量反问题 154.1特征值、特征向量反问题定义 154.2反问题求解A的方法 155特征值与特征向量的应用 185.1高阶解 185.2在实际生活中的应用 19结论 22参考文献 24-6-摘要：在本课题中，我研究的是高等代数的一个重要部分，那就是矩阵的特征值和特征向量，它们在理论研究和日常实践中都起着重要的作用。在本课题中，我首先简要介绍了矩阵的特征值，以及特征向量的定义和性质，然后详细描述了求解特征值和特征向量的方法，并对已知特征值和特征向量，给出了逆解矩阵A的问题，以及解决反问题的方法，最后根据以上内容应用矩阵的特征值和特征向量。关键词：矩阵；特征值；特征向量；初等变换1引言1.1本课题研究背景、目的和意义数学与各个领域之间有着无穷无尽的联系。要研究其自身，我们需要使用数学工具来分析和解决问题，以提出迫切需要的最佳解决方案。矩阵的特征值和特征向量，它们是线性代数的重要内容，也是解决高级数学研究问题的工具。它被用于许多学科，并且在现实生活中，许多问题可以用矩阵抽象地表示。矩阵是数学内容中重要的基本概念之一，矩阵是代数研究的对象，数学研究和应用的重要工具之一便是矩阵。矩阵理论的重要组成部分就包含了矩阵的特征值和特征向量。它们在高等代数和其他科学技术领域中具有重要地位。同时，特征值和特征向量贯穿了高等代数的许多重要方面。通过该课题的研究，会深化了我们对高等代数各部分的理解，因此我们对高等代数的相关理论有了更加深入的理解。矩阵特征值和特征向量的理论研究和应用不仅对理解相关课程有很大的帮助，而且在理论上也非常重要。它可以直接应用于解决实际问题。现在，矩阵已成为数学的独立分支，并且矩阵特征值和特征向量的应用变得多种多样。它不仅在数学领域中广泛使用，而且在现实生活中也广泛使用。1.2研究现状2019年，刘红梅发表《基于特征值与特征向量的应用研究》，在这给出了特征值和特征向量的相关性质，以及特征值和特征向量的应用。还介绍了特征值与特征向量反问题的研究[4]。陈玉文等人在2019年介绍了线性代数的基本内容和方法，尽量避开繁琐的理论证明，详细描述了矩阵及行列式的相关理论和方法；最重要的是介绍矩阵特征值和特征向量的概念[1]。2019年，周琴在《矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现》中阐述了矩阵理论中的一个重要内容：这些是矩阵的特征值与特征向量,它们也经常用于实际问题中；研究了矩阵的特征值和特征向量在预测分析中的应用[15]。2018年，张亚发表了《矩阵的特征值与特征向量及其应用》，它包含特征值和特征向量的概念和属性，以及如何找到和求出特征值和特征向量。[14]。2009年，赵院娥，李顺琴发表了《矩阵的特征值和特征向量》，在这里面具体介绍了几类矩阵和它的一些特征值相关问题。并且阐述了两种n阶矩阵的高次幂的求解。最后，给出了一种解决矩阵特征值与特征向量反问题的方法,并将其适当地广泛应用于实例当中[13]。2008年，刘英杰发表《矩阵的特征值和特征向量及其应用》，他在处理特征值和特征向量，以及在它们的应用方面做了大量工作，还进行了各种的专题研究和深入探讨，并为相关定理提供了具体的例子和解决办法[5]。2008年，王英瑛发表了《矩阵特征值和特征向量求法的探讨》，其中她充分利用了矩阵的初等变换理论，进行了详细的理论描述和分析[9]。2006年，黄金伟发表了《矩阵的特征值与特征向量的简易求法》，其中提出了一种简单的方法———求解矩阵特征值和特征向量：“列初等变换法”[10]。本文的研究课题集中性地汇集了前人的理论研究观点和实践案例研究，进一步地重新展开了矩阵理论的分析与实践研究，主要内容介绍了矩阵的特征值和特征向量的定义、基本性质、它们的求解方法，和矩阵特征值与特征向量的反问题，以及特征值和特征向量在数学领域和实际生活中的应用。2矩阵的特征值、特征向量的定义及其性质2.1特征值与特征向量的定义定义1设为阶方阵，假如存在常数，和维非零列向量,使得（1）那么，常数则称为阶方阵的特征值，维非零列向量，称为的对应于特征值的一个特征向量[1].2.2特征值与特征向量的性质性质1如果和都是的对应于特征值的特征向量，那么也是的对应于的特征向量。（其中，是任意常数，且）[2]。证明由于，是齐次线性方程组，的解，因此也属于上面式子的解。所以当时，是的对应于的特征向量。性质2如果都是矩阵的异特征值，其对应的特征向量分别为，那么…，线性无关[2]。性质3若是的重特征值，则对应的特征值，有个线性无关的特征向量,于是[3]。性质4若的特征值为，则=+…+，[3]。性质5实对称矩阵的特征值皆是实数，实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交[3]。性质6假如是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，则(1)是的特征值（是任意常数）;(2)是的特征值（是正整数）;(3)当可逆时，,为的特征值;且仍是矩阵,,的，分别对应于特征值，，的特征向量[4]。证明（1）因为是的属于的特征向量，即是方程的非零解，所以有且，要证方程有非零解，因为且，所以是方程的非零解，即是的特征值。证明（2）即再继续上述步骤次，就得。证明（3）当可逆时，，由可得，因此，所以是的特征值。性质7矩阵与特征值相等[4]。证明因为又所以因此，A和有完全相等的特征值。性质8矩阵具有可逆性的充要条件是：的所有特征值非零[5]。性质9哈密顿-凯莱定理设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则[6]。证明设是的伴随矩阵，由行列式的性质，可得因为矩阵的元素为的每个代数余子式，都是的多项式，其次数不超过.因此由矩阵的运算性质，可以写成其中都是阶数字矩阵.再设则(1)而(2)比较（1）和（2），得(3)以依次从右边乘（3）的第一式，第二式，…，第式，第式，得(4)把（4）的个式子一起加起来，左边变成零，右边即为.故,得证.性质10假设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式的特征值[7]。

3特征值和特征向量的求解方法3.1一般求解法以下就是特征值和特征向量的一般解决方法：求解特征多项式=0的全部根就是A的全部特征值；对任意一个特征值求解出它的齐次线性方程组，得出一个基础解系，此基础解系就是的属于的特征向量，所以的属于的全部特征向量就是，其中是不全为零的常数[7].例1求解矩阵A=的特征值和特征向量.解：由题得：特征多项式为：|λE–A|=−1−2−2−2−1−2−2−2−1=(+1所以特征值为-1和5.将特征值-1代入齐次方程组−1得到−2它的基础解系是.所以属于-1的特征向量就是（不全为零）.再用特征值5代入，就得到4它的基础解系是.属于5的特征向量是，是数域中任意不等于零的数.例2求矩阵的特征值与特征向量.解：由题得：特征多项式为：.得特征值为0(二重)，1，.将特征值0代入齐次方程组得到它的基础解系是.所以属于0的特征向量就是（不全为零）.再将特征值1代入，就得到它的基础解系是.属于1的特征向量为（）.将代入齐次方程组，得到它的基础解系是.属于的特征向量为（）.

3.2初等变换法矩阵的初等变换即特指下列三种变换：调换矩阵中两行（列）的位置，记作;将一个非零的数k乘以矩阵中某一行(列)的所有元素,记作;将某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去，记作，[8].这就是矩阵的初等变换（行初等变换和列初等变换）.定理1设是一个阶方阵，为待求特征值，若对矩阵施行一系列的行初等变换，可得到上三角矩阵，令主对角线上的元素的乘积为零，矩阵的特征值即为求得的值[9].定理2若对矩阵进行一系列行初等变换，把它转化为一个阶梯型的矩阵，与此同时对一个单位矩阵，进行同样的变换，使得[]，其中，为满秩的矩阵，中的个维行向量，它的转置，就是矩阵A的属于特征值的特征向量[9].例1求矩阵特征值与特征向量。解：~令的主对角线元素乘积为零，即，可得出特征值为，.当时，,于是对应的特征向量为所以的属于全部的特征向量为，其中不全为零的常数；当λ3=-5时于是λ3=-5对应的特征向量为.所以A的属于λ3=-5的特征向量为，其中不为零.定理3设是阶方阵，为阶单位矩阵，为待求特征值。若对矩阵施行一系列列初等变换，可得到下三角矩阵，则令的主对角线元素乘积为零，求得的值，即为矩阵的特征值[10]。定理4对矩阵施行一系列列初等变换，化为阶梯型，同时对单位矩阵也施行相应的变换，即存在阶可逆矩阵，使得其中为满秩矩阵，则分块矩阵的个维列向量，就是矩阵的特征值对应的特征向量[10]。例2求矩阵的特征值与特征向量。解：使得主对角元素乘积为零，即，所以可看出特征值.将代入，可得：,可以得出对应的特征向量为然后再将代入，可得：可得出特征值所对应的特征向量为

4矩阵的特征值与特征向量反问题4.1特征值、特征向量反问题定义定义：矩阵特征值反问题的求解，就是根据已知矩阵的特征值或者特征向量来决定矩阵中的元素[11]。4.2反问题求解A的方法1已知矩阵的全部特征值和特征向量，求矩阵定理一当矩阵A有个互不相同的特征值时，A必有n个特征向量，那么矩阵A必可对角化，即，这里B为由矩阵A的特征值所构成的对角矩阵，可逆矩阵P由A的n个线性无关的特征向量组成[11],由上面内容可得，。所以.例1设三阶方阵A的特征值是对应的特征向量分别是,求解A.解:因为是矩阵A对应于特征值的特征向量,所以有,令所以则有AP=PB,其中所以由上式可得：2已知实对称矩阵的部分特征值和特征向量，求矩阵利用性质5，这类问题的解题步骤为：设是实对称矩阵的个不同特征值，已知属于特征值的特征向量为（，若为重根，那么可能会多一个特征向量），设属于特征值的特征向量为,则由对称矩阵性质知：解这个方程组，可得到特征值的特征向量，进而求得实对称矩阵[12]。例2三阶的实对称矩的特征值是6、3、3,已知和6对应的特征向量是,求解.解:（1）首先我们要求矩阵的分别属于齐次线性方程组特征值3的两个线性无关的特征向量.由性质5，知：都正交，即有，也即是齐次线性方程组的两个线性无关解，其系数矩阵是，它的秩为1，于是，于是上述方程组的一个基础解系是，取其为.(2)把向量组予以正交化，得.(3)分别再把向量单位化，得令，则为正交矩阵，并有所以.5特征值与特征向量的应用5.1高阶解当n阶矩阵A可对角化时，即矩阵A可与对角阵相似时，计算其高次幂由简单的方法，当n阶矩阵A其满足下面的三个条件之一时，即可对角化，即,阶矩阵有个线性无关的特征向量;阶矩阵有个互不相等的特征值;为实对称矩阵.对来说，其中，它由A的n个特征向量构成.A的n个特征值构成的对角矩阵是，有，其中[13].例1已知矩阵，求（k是一个正整数）解：从题中可以看出，A是一个对称矩阵，所以可以利用上面所述方法计算，通过特征值的解法，可以得出矩阵A的特征值为，设特征向量是，故对角矩阵为，，且.又，则5.2在实际生活中的应用1为了探讨某个地区经济的发展和环境的污染之间的关系,可建立以下数学模型:[14]设分别为此地区当前的环境污染水平以及经济发展水平,分别是这个地区若干年以后环境污染和经济发展的水平,这两者之间有下述的关系:令∴由上可以得出：.那么，经济发展与污染的增长模型是令∴以上所描述关系的矩阵形式是∴从由上面的式子可以得到:（*）从矩阵A的特征多项式可以轻松得到A的特征值是对于,可解方程得特征向量对于,可解方程得特征向量显而易见,线性无关，那便可以分为以下三种情况作讨论:假设1:从（*）和它的性质可以知道即或从上述的式子可以看出:我们可以预测多年来该区域的水平。环境污染水平和经济发展水平在目前的条件下,年后,当经济发展水平非常高的时候，环境污染也同样保持着恶化趋势.假设2:∵,∴可以不用讨论此种情况.假设3:∵不是特征值,∴不能进行类似的分析,但是可以由唯一的线性表达出来由（*）式和特征值与特征向量它们的性质可以得到:也就是从上述式子可以预测出：这个地区年后的经济发展与环境污染的水平.因为没有实际的意义，所以在假设2中没有作相关讨论，但是，它在假设3中的讨论中起到了重要作用.由增长模型可以得出，矩阵的特征值与特征向量在模型的分析与实际生活中已被成功的应用.2设某中小城市，及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作，假设这个总人数在若干年内一直保持不变，而社会调查表明：在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，6万人经商；在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%改为经商；在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%改为经商；在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%改为务工。现想预测一、二年以后，从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数的发展趋势。若用三维向量表示第年后，从事这三种职业人员总数，则已知。而欲求并考察在时的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员综述应为即以代入上式，可得即一年后，从事各业人员的人数分别为：12.9万、9.9万、7.2万人。以及即两年后，从事各业人员的人数分别为：11.73万、10.23万、8.04万人。进而推得也就是年后从事各业人员的人数是由所决定的[15]。结论高等代数的一个重要部分是矩阵。特征值和特征向量的问题是矩阵理论的重要组成部分，特征值和特征向量具有许多特定的应用。在本课题中，寻找必要的信息并在老师的指导下，我总结了特征值和特征向量的应用：首先，我简要概述了特征值和特征向量的定义和性质，并研究了特征值和特征向量的两种解法：即一般解法和初等变换法，以及给出了相应的示例，并给出了求解过程。其次本课题致力于解决特征值和特征向量及其在各个领域的应用。在数学领域中，给出了解决高阶矩阵的应用。由此，如果知道对于高阶的矩阵可对角化，那么就会存在简便算法。在实际生活中，给出经济增长和环境污染及预测分析的应用，将通过具体示例来说明这两个应用。最终，我们可以得出结论，特征值和特征向量不仅在数学中发挥着重要作用，而且在诸如实际生活等其他领域也得到了广泛的应用。因此，矩阵的特征值和特征向量对于广泛讨论很有价值。

参考文献[1]陈玉文,嵇绍春,钱树华,王小才,张庆海,蒋同斌,杨立波.线性代数[M].第二版，南京:南京大学出版社:,201908.209.[2]汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探讨[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报,2008(S1):46-48.[3]向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报,2009,25(03):135-138.[4]刘红梅.基于矩阵特征值与特征向量的应用研究[J].许昌学院学报,2019,38(02):1-4.[5]刘英杰.矩阵的特征值和特征向量及其应用[J].世界华商经济年鉴·高校教育研究,2008(8):25