数学自我小测：数系的扩充与复数的引入第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(）A．AB．BC．CD．D2．下列命题,其中正确的个数是()①互为共轭复数的两个复数的模相等;②模相等的两个复数互为共轭复数;③若与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量在虚轴上,则a＝0，b≠0.A．0B．1C．2D．33．与x轴正方向同方向的单位向量e1和与y轴正方向同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是(）A．e1对应实数1，e2对应虚数iB．e1对应虚数i，e2对应虚数iC．e1对应实数1，e2对应虚数－iD．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i4．对于下列四个命题:①任何复数的模都是非负数；②如果复数z1＝eq\r（5)i，z2＝eq\r(2)－eq\r(3）i,z3＝－eq\r（5）i，z4＝2－i,那么这些复数的对应点共圆；③|cosθ＋isinθ｜的最大值是eq\r（2），最小值是0;④在复平面内，x轴是实轴，y轴是虚轴．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个5．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．设复数z＝x＋yi(x，y∈R）在复平面内的对应点为Z，则满足条件－2≤y≤1的点Z的几何图形是（）A．一个圆环区域 B．两条平行线C．一条线段（包括两个端点) D．两条平行线间的区域(包括这两条平行线)7．在复平面内，下列命题中的真命题有__________．(填序号)①x轴为实轴;②y轴为虚轴；③实轴上的点对应的复数全为实数；④虚轴上的点对应的复数全为纯虚数；⑤实轴与虚轴的单位都是1。8．设（sinθ－1)＋（sinθ－cosθ)i（θ∈R)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．9．设z∈C,则满足条件2≤|z｜≤4的点Z的集合对应的图形的面积为__________．10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋（2y＋x)i和3x－(y＋1）i互为共轭复数，求复数z＝x＋yi和eq\x\to（z）.11．在复平面内分别画出复数z1＝1，z2＝－eq\f（1,2)＋eq\f(\r(3)，2）i，z3＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r（3)，2)i对应的向量,，(O为坐标原点)，并求出各复数的模．12．已知虚数(x－2）＋yi(x,y∈R)的模为eq\r(3），求eq\f(y,x)的最大值．

参考答案1。解析:设z＝a＋bi（a，b∈R），则共轭复数为eq\x\to(z)＝a－bi（a，b∈R),∴表示z与eq\x\to(z）的两点关于x轴对称．故选B。答案:B2.答案：B3。答案:A4.解析：①正确，因为若z∈R，则|z｜≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a,b∈R），则｜z｜＝＞0;②正确,因为|z1|＝eq\r(5)，｜z2｜＝＝eq\r(5），｜z3|＝eq\r（5），｜z4|＝eq\r(5），这些复数的对应点均在以原点为圆心，eq\r(5）为半径的圆上；③错误，因为｜cosθ＋isinθ｜＝eq\r(cos2θ＋sin2θ）＝1为定值，最大值、最小值都是1;④正确．答案:D5.解析：∵eq\f(π，2)＜2＜π，∴sin2＞0，cos2＜0。∴复数z对应的点（sin2，cos2）位于第四象限，故选D.答案：D6。答案：D7.解析:原点在虚轴上，它对应的复数为0，故④不正确；实轴的单位是1，虚轴的单位是i，故⑤不正确．答案：①②③8。解析：由已知,(sinθ－1）＋（sinθ－cosθ)i对应的点（sinθ－1，sinθ－cosθ)在直线x＋y＋1＝0上，即sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，故tanθ＝eq\f（1,2).答案：eq\f(1,2)9.解析：满足条件2≤｜z｜≤4的点Z的集合对应的图形的面积是以原点O为圆心，以2及4为半径的两个圆所夹的圆环的面积，即S＝π×42－π×22＝12π.答案：12π10.分析：根据共轭复数的定义求出x，y的值，从而求出复数z及eq\x\to（z).解:若两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R）是共轭复数，则a＝c且b＝－d，由此可得到关于x,y的方程组：解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0,,y＝1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1,,y＝0。))所以z＝i或z＝1。当z＝i时，eq\x\to（z）＝－i；当z＝1时，eq\x\to(z）＝1。11.分析:由＝(1，0)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），\f(\r(3)，2）)),＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2），－\f（\r(3)，2)))可作图．由复数的模的计算公式|z｜＝|a＋bi|＝(a，b∈R)求模．解：向量，，在复平面内的位置如图所示．＝（1，0)，|eq\x\to（OZ1)|＝1，所以｜z1｜＝1。＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，\f(\r（3）,2）)），|｜＝1,所以|z2｜＝1.＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），－\f(\r（3），2)）），|｜＝1。所以|z3｜＝1。12.解：∵（x－2）＋yi是虚数，∴y≠0.又∵｜（x－2)＋yi|＝eq\r(3),∴(x－2)2＋y2＝3。其图象显然是圆，圆心为B(2,0)，半径为eq\r（3)(除去两点(2－eq\r（3），0），(2＋eq\r(3），0)）．设eq\f（y，x）＝k，则y＝kx（其图象显然是过原