福建省厦门市重点中学2025届高二数学第一学期期末检测试题含解析

福建省厦门市重点中学2025届高二数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点．以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（）A. B.C. D.2．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-83．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B.C. D.4．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，Р是这对相关曲线在第一象限的交点，则点Р与以为直径的圆的位置关系是（）A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.不确定5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（）A.8 B.9C.10 D.116．年月日我国公布了第七次全国人口普查结果.自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）A.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破亿B.第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高C.我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势D.我国历次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势7．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（）A B.C.1 D.8．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为.焦点到顶点的距离与口径的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角满足，则该抛物面天线的焦径比为（）A. B.C. D.29．设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A.5 B.C. D.910．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.11．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）A. B.C. D.12．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，的面积为，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于、两点，交C的准线于、两点.，，则C的焦点到准线的距离为____.14．过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为___________.15．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______16．直线与直线垂直，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.（1）求证：数列{-5000}为等比数列；（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？18．（12分）已知抛物线C：经过点（1，-1）.（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C上一动点P作圆M：的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.19．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和20．（12分）在数列中，，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.21．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点.（1）若为线段的中点，证明：平面；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.22．（10分）已知，（1）若，p且q为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.【详解】如图，连接、，∵M是的中点，∴是的中位线，∴，且，根据双曲线的定义，得，∴，∵与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得双曲线的渐近线方程为.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.2、A【解析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，因直线与圆相切，从而得，即，解得或，所以c的值为8或-2.故选：A3、A【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.4、A【解析】设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据题意可得，设，根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示，设，再根据两点的距离公式将点的坐标用表示，从而可判断出点与圆的位置关系.【详解】解：设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，所以，以为直径的圆的方程为，设，则有，所以，设，，所以①，②，则①②得，所以，所以，将代入②得，所以，，则点到圆心的距离为，所以点Р在以为直径的圆外.故选：A.5、B【解析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.【详解】由，可得，，，，所以，，所以前项和，所以，故选：B.6、D【解析】根据统计图判断各选项的对错.【详解】由统计图第五次全国人口普查时，男性和女性人口数都超过6亿，故总人口数超过12亿，A对，由统计图，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比为107.56，超过余下几次普查的人口的性别比，B对，由统计图可知，我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势，C对，由统计图可知，第二次，第三次，第四次，第五次时总人口性别比呈递增趋势，D错,D错，故选：D.7、B【解析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设，有，线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，因此，，当且仅当时取“=”，所以线段EF长的最小值为.故选：B8、B【解析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得点坐标，代入抛物线方程化简即可求解【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为（）在中，则所以则所以，所以将代入抛物线方程中得所以或即或（舍）当时，故选：B9、B【解析】由双曲线的的定义可得，于是将问题转化为求的最小值，由得出答案.【详解】设双曲线的由焦点为，且点A在双曲线的两支之间.由双曲线的定义可得,即所以当且仅当三点共线时，取得等号.故选：B10、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.11、C【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，因为下一段圆弧半径为13，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为，故选：C12、C【解析】利用面积公式，求出，进而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【详解】由面积公式得：，因为的面积为，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【详解】解：设抛物线为y2＝2px，如图：，又，解得，设圆的半径为，，解得：p＝2，即C的焦点到准线的距离为：2.故答案为：2.14、9【解析】由焦点弦公式和中点坐标公式可得.详解】设，则，即，.故答案为：915、【解析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，则平面，平面，则，∴，设，则，，即，，∴，当且仅当时，等号成立，故答案为：16、##【解析】根据两直线垂直得，即可求出答案.【详解】由直线与直线垂直得，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）足够【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.【小问1详解】依题意，第1个月底股票市值则又∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.【小问2详解】由（1）知∴∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.18、（1），焦点坐标为；（2）【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；（2）设出点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出的最小值.【小问1详解】解：因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；【小问2详解】解：设，因为为圆的切线，所以，，所以，所以当时，四边形有最小值且最小值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.20、（1）（2）【解析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】由题意可知，，所以数列是公差的等差数列又，所以，故小问2详解】，则故21、（1）证明见解析；（2）存在点，且的长为，理由见解析.【解析】（1）取的中点为，连接，得到，结合面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面；（2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得的法向量为和向量，结合向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点为，连接，因为分别为的中点，所以，又因为平面，且，所以平面平面，又由平面，所以平面.【小问2详解】解：以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面是边长为2的菱形