湖北省公安县第三中学2025届数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

湖北省公安县第三中学2025届数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）A. B.C. D.2．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③3．函数的零点所在区间为()A. B.C. D.4．函数中，自变量x的取值范围是（）A. B.C.且 D.5．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（）A. B.C. D.6．若集合,则（）A. B.C. D.7．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（）A.10 B.30C.50 D.708．下列区间包含函数零点的为（）A. B.C. D.9．如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中的值为()A2 B.3C.4 D.510．已知角，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________12．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则______13．若函数的图象过点，则函数的图象一定经过点________.14．已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______15．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.16．函数的定义域是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：（天）（个）已知第天该商品日销售收入为元.（1）求出该函数和的解析式；（2）求该商品的日销售收入（元）的最小值.18．对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”满足函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}（Ⅰ）设f（x）=x2-2，求集合A和B；（Ⅱ）若f（x）=x2-a，且满足∅A=B，求实数a的取值范围19．如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.20．已知函数，其中（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值21．已知函数在区间上的最大值为6.（1）求常数m的值；（2）当时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，求函数的单调递减区间、对称中心.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且的零点为，即，解得，又因为，可得中，有1个负数、两个正数，或3个都负数，若中，有1个负数、两个正数，可得，即，根据零点的存在定理，可得或；若中，3个都是负数，则满足，即，此时函数的零点.故选：C.2、D【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.3、B【解析】根据零点存在性定理即可判断求解.【详解】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.故选：B.4、B【解析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.【详解】由题意知，，解得，即函数的定义域为.故选：B5、D【解析】由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm的正三角形，高为2cm，根据面积公式计算可得结果.【详解】正三棱柱如图，有，，三棱柱的表面积为.故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱结构特征，属于基础题.6、B【解析】集合、与集合之间的关系用或，元素0与集合之间的关系用或，ACD选项都使用错误。【详解】，只有B选项的表示方法是正确的，故选：B。【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系的表示方法，注意集合与集合之间的关系是子集（包含于），元素与集合之间的关系是属于或不属于。本题属于基础题。7、A【解析】利用分层抽样的等比例性质，结合已知求样本中中年职工人数.【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10故选：A8、C【解析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.【详解】，，，，，又为上单调递增连续函数故选：C.9、A【解析】由已知可得：该几何体是一个四棱锥和四棱柱的组合体，其中棱柱的体积为：3×2×1=6，棱锥的体积为：×3×2×x=2x则组合体的体积V=6+2x=10，解得：x=2，故选A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10、A【解析】依题意可得，再根据，即可得到，从而求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以，所以；故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】作，则为中点由题意得面作，连则为二面角的平面角故，，点睛：本题考查了由平面图形经过折叠得到立体图形，并计算二面角的余弦值，本题关键在于先找出二面角的平面角，依据定义先找出平面角，然后根据各长度，计算得结果12、【解析】先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.【详解】由三角函数的定义有，而.故答案为：13、【解析】函数的图象可以看作的图象先关于轴对称，再向右平移4个单位得到，先求出关于轴的对称点，再向右平移4个单位即得.【详解】由题得，函数的图象先关于轴对称，再向右平移个单位得函数，点关于轴的对称点为，向右平移4个单位是，所以函数图象一定经过点.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的平移变换和对称变换，考查了分析能力，属于基础题.14、或2【解析】先讨论范围确定的单调性，再分别进行求解.【详解】①当时，，得；②当时，，得，故或2故答案为：或2.15、12【解析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，列方程求解即可.【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则.故答案为：12.16、{|且}【解析】根据函数，由求解.【详解】因为函数，所以，解得，所以函数的定义域是{|且}，故答案为：{|且}三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）最小值为元【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式；（2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：依题意知第天该商品的日销售收入为，解得，所以，.由表格可知，解得.所以，.【小问2详解】解：由（1）知，当且时，，当且时，.，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即.当时，因为函数、均为减函数，则函数为减函数，所以当时，取得最小值，且.综上所述，当时，取得最小值，且.故该商品的日销售收入的最小值为元.18、（Ⅰ）A={-1，2}；B={-，-1，，3}（Ⅱ）[-，]【解析】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；求解x可得集合B.（Ⅱ）理解A=B时，它表示方程x2-a=x与方程（x2-a）2-a=x有相同的实根，根据这个分析得出关于a的方程求出a的值【详解】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；即x4-2x3-6x2+6x+9=0，即（x+1）（x-3）（x2-3）=0，解得x=-1，x=3，x=，x=-，故B={-，-1，，3}；（Ⅱ）∵∅A=B，∴x2-a=x有实根，即x2-x-a=0有实根，则△=1+4a≥0，解得a≥-由（x2-a）2-a=x，即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a，从而有（x2-x-a）（x2+x-a+1）=0∵A=B，∴x2+x-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程x2-x-a=0的根若x2+x-a+1=0没有实根，则a＜；若x2+x-a+1=0有实根且实根是方程x2-x-a=0的根，由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同，故此时x2+x-a+1=0有两个相等的根-，此时a=方程x2-x-a=0可化为：方程x2-x-=0满足条件，故a的取值范围是[-，]【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想19、(1)(2)见解析【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线解析：（1）取中点连结.在等边三角形中，，又∵在直三棱柱中，侧面面，面面，∴面，∴为三棱锥的高，又∵，∴，又∵底面为直角三角形，∴，∴三棱锥的体积（2）作法：在上取，使得，连结，即为所求直线.证明：如图，在矩形中，连结，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，而面，∴，又∵，∴面，又∵面，∴.点睛：这个题目考查的是立体几何中椎体体积的求法，异面直线垂直的证法；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题；或者通过证明线面垂直得到线线垂直；对于棱锥体积，可以等体积转化到底面积和高好求的椎体中20、（1）；（2）【解析】（1）由可得其定义域；（2），由于，，从而可得，进而可求出的值【详解】解：（1）要使函数有意义，则有，解得，所以