浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学学科试题命题：临平中学朱华峰、林威审校：临安中学陈伟军、盛可淳淳安中学余建平考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解.【详解】全集，集合，，图中阴影部分的集合是.故选：D.2.用一个平面截长方体，如果截面形状三角形，则该截面三角形不可能是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断.【详解】如图1，在正方体中，易知为正三角形，于是答案都有可能，如图2，若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设，由正方体的性质可知：，，所以平面，而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误.故选：D.3.已知，为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算计算可得，再由共轭复数概念计算可得结果.【详解】由可得，所以，则.故选：C.4.已知平面向量，，且，则（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】因为，所以两边平方即可得到关于的一元二次方程，解出即可.【详解】，，，，两边平方得：，化简得到，，则.故选：B.5.下列说法正确的是（）A.过空间中的任意三点有且只有一个平面B.四棱柱各面所在平面将空间分成27部分C.空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面D.若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行【答案】B【解析】【分析】根据基本事实可判断A错误，由四棱柱的空间结构可判断B正确；利用异面直线定义可得C错误；当直线和平面相交时可知D错误.【详解】对于A，若空间中的三点共线，可以有无数个平面，即A错误；对于B，如下图所示，四棱柱的上下底面所在平面将空间分成了三层，每一层又被四个侧面分成了9个小部分，所以四棱柱各面所在平面将空间分成27部分,即B正确；对于C，如选项B中图所示，与异面，与异面，但与在同一平面内，即C错误；对于D，若直线a在平面外，当直线a在平面相交时，如下图所示：则平面内不存在直线与a平行，即D错误.故选：B6.若平面向量，，均是非零向量，则“”是“向量与共线”的（）A.充要条件 B.充分且不必要条件C.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的运算率和向量共线的条件，对充分性和必要性进行判断.【详解】若平面向量，，均是非零向量，①充分性：当时，若，则，有且，所以向量与共线，若，则有，有与共线，充分性成立；②必要性：当向量与共线时，设向量方向上的单位向量为，，若向量与方向相同，有，，，则，，满足，若向量与方向相反，有，，，则，，满足，必要性成立；所以“”是“向量与共线”的充要条件.故选：A.7.雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（）A.米 B.50米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值.【详解】由题可得，，，则，，由正弦定理可得：，即，解得，在中，.故选：A8.已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（）A B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得.【详解】作出函数的图象如下图所示：结合图象可知，令，令，则可得方程有两个不相等的实数根，不妨设；所以，解得或；若函数有6个不同的零点，根据图象可知当时符合题意，此时无解；当时，满足函数有6个不同的零点，根据二次函数根的分布可知此时需满足，解得，因此实数a的取值可以是.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据解析式画出函数图象，结合图象交点个数分类讨论确定零点分布情况，即可求得实数a的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于，有如下说法，其中正确的是（）A.满足条件，，的三角形共有两个B.若，则是直角三角形C.若，则为锐角三角形D.若是锐角三角形，则不等式恒成立【答案】AD【解析】【分析】利用正弦定理解三角形可判断A；根据诱导公式化为同名函数即可判断B；利用平方关系化为正弦，再由正弦定理角化边，然后利用余弦定理只能判断角C，可判断C；根据，结合诱导公式可判断D.【详解】对A，中，，，，由正弦定理有，则，，则或，即满足条件的三角形共有两个，A选项正确；对B，中，，有或，则是直角三角形或钝角三角形，B选项错误；对C，中，，则，由正弦定理可得，则，即为锐角，角与角的大小未知，则不一定为锐角三角形，C选项错误；对D，是锐角三角形，则，，有，则，即化为恒成立，D选项正确.故选：AD.10.已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（）A.圆台的高为2B.圆台的侧面积为C.圆台外接球的体积是D.在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5【答案】BCD【解析】【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项；【详解】对于A,如图所示，过作交于点，过作交于点,根据题意在中，,故A错误；对于B，圆台的侧面积为，故B正确；对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：.设，则，由，即，解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确；对于D，如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.故选：BCD.11.关于函数（），如下结论中正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于直线对称C.函数的值域是D.函数在上单调递减【答案】BD【解析】【分析】A选项，由可得的最小正周期不是；B选项，计算出，B正确；C选项，是的一个正周期，且关于直线对称，分和，求出；D选项，时，，由复合函数单调性可得答案.【详解】A选项，，故函数的最小正周期不是，A错误；B选项，，故函数的图象关于直线对称，B正确；C选项，，故是的一个正周期，又的图象关于直线对称，当时，，因为，故，当时，，因为，故，故当时，，结合函数对称性可得，C错误；D选项，时，，由于在上单调递减，且，而在上单调递增，由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，D正确.故选：BD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图所示，长方形的边长，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______________．【答案】16【解析】【分析】根据直观图中线段长度和位置关系，还原出原图形即可求出对应的原图周长.【详解】由直观图可知，所以可得，由勾股定理可知，且在原图中，根据直观图画法步骤还原原图如下：其中，则，因此原图形的周长为故答案为：1613.在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____．【答案】36【解析】【分析】由余弦定理得，利用三角形面积关系建立方程关系得，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可.【详解】由题意，如图所示，中，由余弦定理得，因为，所以.因为为的角平分线，所以的面积为，即，故，且，所以，当且仅当，即取等号.故的最小值为.故答案为：.14.已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值.【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，则，设，由，得，整理得，即因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，PA长的最大值等于.故答案为：.【点睛】方法点睛：由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）（1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？（2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？【答案】（1）个；（2）.【解析】【分析】（1）求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解；（2）利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得.【小问1详解】因为，所以，圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为，所以一个陀螺的体积为，质量为，所以该箱中共有陀螺个.【小问2详解】易知，则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为，底面面积为，所以一个陀螺的表面积为，所以，所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料.16.已知复数，是方程的解，复平面内表示的点A在第四象限，O是原点．（1）点A关于虚轴的对称点为点B，求向量对应的复数；（2）将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量，对应的复数为，求的值；【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）解方程得到，，然后根据对称性求对应的复数；（2）根据旋转得到，然后根据复数乘方和除法运算法则计算.【小问1详解】对于方程，，所以，方程有两个不等的虚根，因为复数、是方程的解，复平面内表示的点在第四象限，所以z1，z2，所以对应的复数为；【小问2详解】，．因此，，，．．17.如图，在△ABC中，已知，，，且．（1）若，求的值（2）求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由条件结合向量线性运算法则可得，得到，.（2）法一：由（1）知，平方得,同理得，利用即可得到答案；法二：以为轴，为原点，建立直角坐标系，写出各点坐标，得出答案.【小问1详解】由题意知，，则与的夹角为60°，，如图，，，，∴，，．【小问2详解】由（1）同理可得，，∴，，∴，.法二：以为轴，为原点，建立直角坐标系，则，，，，．∴．18.已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，如图．（ⅰ）若，求的面积；（ⅱ）若，，，求的值．【答案】（1）最小正周期，增区间为，；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，利用降幂公式和辅助角公式化简解析式，公式法求最小正周期，整体代入法求单调递增区间；（2），得，面积公式求的面积；设，和中利用正弦定理列方程组求出即可.【小问1详解】，∴最小正周期为，由，，得，，∴的单调递增区间为，；【小问2详解】（ⅰ），在中，因为，所以．．（ⅱ）设，则，，．中，由，得在中，由，得．联立上式，并由，得，整理得，所以，因为，所以，所以，解得，即的值为．19.若是定义在上增函数，其中，存在函数，，且函数图像上存在两点，图像上存在两点，其中两点横坐标相等，两点横坐标相等，且，则称在上可以对进行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函数”.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．（1）求满足的的值；（2）设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数是在上的“型平行追逐函数”，求正数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先确定的表达式，再解方程得到结果；（2）计算的表达式，然后对分类讨论即可；（3）将命题转化为在上不是单调函数，再通过对换元并分析单调性得到答案.【小问1详解】由于是奇函数，故，即恒成立，所以；由于是偶函数，故，即恒成立，所以.故