高考数学（理）一轮讲义第36讲　合情推理与演绎推理

第36讲合情推理与演绎推理考纲要求考情分析命题趋势1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2017·全国卷Ⅰ，122016·北京卷，82015·江苏卷，112015·福建卷，15合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.分值：5分1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理．②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的__一般原理__.②小前提——所研究的__特殊情况__.③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×)(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B)A．28 B．32C．33 D．27解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，因此x＝32.4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中结论正确的个数是(B)A．0 B．1C．2 D．3解析只有③正确．5．观察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…按此规律，第五个不等式为__1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)__.解析观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).一类比推理(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．【例1】(1)若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))是等比数列，且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(dn))也是等比数列，则dn的表达式应为(D)A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)(2)在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A－CD－B，且与AB相交于E，则得到类比的结论是__eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)__.解析(1)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1,2)，即{dn}为等比数列，故选D．(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).二归纳推理归纳推理中几种问题的处理技巧(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【例2】观察下列等式：12＝1；12－22＝－3；12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10；…依此规律，第n个等式可为__12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)__.解析第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2).【例3】观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__28__个小正方形．解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝eq\f(71＋7,2)＝28，即第6个图中有28个小正方形．【例4】(2016·山东卷)观察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))－2＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))－2＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,7)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(6π,7)))－2＝eq\f(4,3)×3×4；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,9)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π,9)))－2＝eq\f(4,3)×4×5；…照此规律，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1)))－2＝__eq\f(4,3)n(n＋1)__.解析通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的eq\f(4,3)是个固定数，eq\f(4,3)后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，eq\f(4,3)后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为eq\f(4,3)×n×(n＋1)，即eq\f(4,3)n(n＋1)．三演绎推理演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．【例5】数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)·Sn(n∈N*)，证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝1≠0，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)1．(2018·安徽淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(B)A．2011 B．2012C．2013 D．2014解析根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a∈N*，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这9个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012，得a＝2．(2018·江西临川一中模拟)已知12＝eq\f(1,6)×1×2×3,12＋22＝eq\f(1,6)×2×3×5,12＋22＋32＝eq\f(1,6)×3×4×7,12＋22＋32＋42＝eq\f(1,6)×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝__eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)__(其中n∈N*)．解析根据题意可归纳出12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，故填eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__6n＋2__.…解析由题意知，图②的火柴棒比①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n条小鱼需要(2＋6n)根．4．(2018·北京海淀模拟)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2018,f2017)＝__2_018__.解析利用三段论．因为f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，(大前提)令b＝1，则eq\f(fa＋1,fa)＝f(1)＝2，(小前提)所以eq\f(f2,f1)＝eq\f(f4,f3)＝…＝eq\f(f2018,f2017)＝2.(结论)所以原式＝＝2018.易错点类比不当错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．【例1】在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解析如图(1)所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明如下：如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).【跟踪训练1】在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)__成立．解析在等差数列{an}中，由a10＝0，得：a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0∴S19＝a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0(n<19)，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17)．在等比数列{bn}中，b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)课时达标第36讲[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．一、选择题1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(B)A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析对于A项，小前提与结论互换，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项和D项，均为大前提错误，故选B．2．请仔细观察1,1,2,3,5，()，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(A)A．8 B．9C．10 D．11解析观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A．3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确结论的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4解析因为2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C．4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3,(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(D)A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．5．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·…·eq\f(lg8,lg7)＝3；….若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2018时，“企盼数”k为(C)A．22017＋2 B．22017C．22018－2 D．22017－4解析a1·a2·a3·…·ak＝eq\f(lgk＋2,lg2)＝2018，lg(k＋2)＝lg22018，故k＝22018－2.6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(B)A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误，故选B．二、填空题7．(2018·河南开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2<∫eq\o\al(a＋1,a)x2dx<(a＋1)2.运用类比推理，若对∀n∈N*，eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<A<eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋…＋eq\f(1,2n－1)恒成立，则实数A＝__ln2__.解析令eq\f(1,n＋1)<A1<eq\f(1,n)，eq\f(1,n＋2)<A2<eq\f(1,n＋1)，…，eq\f(1,2n)<An<eq\f(1,2n－1)，依据类比推理可得A1＝∫eq\o\al(n＋1,n)eq\f(1,x)dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝eq\i\in(n＋1,n＋2,)eq\f(1,x)dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝eq\i\in(2n－1,2n,)eq\f(1,x)dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln2.8．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为__n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2__.解析观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；……；第n个等式左边是2n－1个数相加，从n开始．等式的右边为左边2n－1个数的中间数的平方，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则__T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)__成等比数列．解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．三、解答题10．设f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3),\r(3)1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，同理可得f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3).由此猜想f(x)＋f(1－x)＝eq\f(\r(3),3).证明：f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(1,31－x＋\r(3))＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(3x,3＋\r(3)·3x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(3x,\r(3)\r(3)＋3x)＝eq\f(\r(3)＋3x,\r(3)\r(3)＋3x)＝eq\f(\r(3),3).11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和Sn.解析(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).综上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n，n为偶数，,\f(5,2)n－\f(1,2)，n为奇数.))12．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)的对称中心；(2)计算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2017)))＋feq