湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期末考试高一数学试卷命题学校：武汉市关山中学命题教师：田艳审题教师：陈长西考试时间：2024年6月28日15：0017：00试卷满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，，则复数的模为（）A.B.C.5D.32.已知平面向量的夹角为，则（）A.2B.C.D.3.在一次数学测试中，高一某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A.100B.85C.65D.554.为两个不同的平面，为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（）①若，则②若，则③若，则④若，则A.1B.2C.3D.45.已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（）A.B.C.D.6.已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（）A.3B.1C.D.47.已知为三角形内一点，且满足和，则角为（）A.B.C.D.8.在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分.9.已知为虚数单位，以下说法正确的是（）A.复数在复平面对应的点在第一象限B.若复数满足，则C.若为纯虚数，则实数D.复数满足，则10.在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若为锐角三角形，则C.若，则满足条件的三角形有2个D.若不是直角三角形，则11.已知正方体的棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（）A.线段的长为B.三棱锥的体积为C.过三点的平面截正方体所得的截面面积为D.设为球上任意一点，则的范围为三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.某歌手在一次比赛中评委给分为（十分制）则该歌手得分的第七十五百分位数是__________.13.如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________.14.已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量（1）若与垂直，求的值；（2）若与共线，求的值.16.（15分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小.17.（15分）已知在中，角的对边分别为，且（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.18.（17分）随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号123456A小区（分钟）220185220225205235B小区（分钟）205195245235225215（1）分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？（3）市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？19.（17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求三棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由.武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期末考试高一数学答案一，单选题1.A2.C3.D4.B5.C6.A7.B8.D二，多选题9.CD10.BD11.ABD三，填空题12.13.14.四，解答题15.【详解】（1），，.与垂直，.（2）由（1）知，，得.16.【详解】（1）如图，取中点，连接，由于分别为的中点，故，且，又，可得，且，故四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）因为底面底面，又平面，平面.又平面.为的中点，，又平面平面，直线在平面内的射影为直线，故为直线与平面所成的角，由底面底面可得，，为等腰直角三角形，且平分，，所以直线与平面所成的角为.17.【详解】（1）故得所以，即.由正弦定理，得，显然，所以，所以.因为，所以.（2）由题设及（1）可知，的面积为锐角三角形，，解得，又，18.【详解】（1）（分钟），（分钟），总体的平均数，总体的方差（2）①按照方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），②由（1）知，小区平均每位住户每周需要220分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5名普通居民对生活垃圾分类的效果，小区一月需要专职工作人员至少（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.19.【详解】（1）如图所示，连接，由题意可知面，四边形是菱形.面，，又是中点，是正三角形，，显然面，面，面，，在菱形中，有，而分别是线段的中点，则，面，面；（2）方法一：如图所示，取的中点，连接，过作交于，过作分别交的延长线于，易知